Fundamentos — Fotonario

Esta página recoge los conceptos que usamos en todos los módulos. No pretende enseñar cada tema en profundidad — para eso hay cursos enteros — sino darte las herramientas mínimas para seguir los artículos sin perderte en la notación.

Ondas

Una onda armónica se describe con cuatro parámetros: amplitud $A$ , longitud de onda $\lambda$ , frecuencia $f$ , y fase $\varphi$ :

E(x, t) = A \sin\!\left(\frac{2\pi}{\lambda} x - 2\pi f \, t + \varphi\right) = A \sin(kx - \omega t + \varphi)

donde $k = 2\pi/\lambda$ es el número de onda y $\omega = 2\pi f$ la frecuencia angular. La velocidad de propagación es $c = \lambda f = \omega/k$ .

Explorar

Amplitud A 1.00

Frecuencia f 2.0

Fase φ 0.0π

Onda: A sin(kx − ωt + φ)

Fasor

La onda real (izquierda) es la proyección del fasor giratorio (derecha) sobre el eje real.

El principio de superposición dice que si dos ondas se encuentran, el campo total es simplemente su suma. De aquí sale la interferencia: dos ondas en fase se refuerzan; en contrafase, se cancelan.

Notación compleja

Escribir senos y cosenos se vuelve tedioso. La notación compleja lo simplifica todo. Representamos la onda como:

\tilde{E}(x,t) = A \, e^{i(kx - \omega t + \varphi)}

La onda real es la parte real: $E = \text{Re}(\tilde{E})$ . La ventaja: las operaciones con exponenciales (sumar, multiplicar, derivar) son mucho más limpias que con senos y cosenos.

En el diagrama de fasores de arriba, la flecha giratoria es $\tilde{E}$ . Su longitud es la amplitud. Su ángulo es la fase instantánea $kx - \omega t + \varphi$ . La proyección sobre el eje real es la onda física.

¿Por qué funciona la notación compleja?

La fórmula de Euler: $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ . Las ecuaciones de Maxwell son lineales, así que si $\tilde{E}$ es solución de la ecuación de onda compleja, su parte real también lo es. Trabajamos con la exponencial compleja (más fácil de manipular) y al final tomamos la parte real.

Bonus: la intensidad es $I = |\tilde{E}|^2 = \tilde{E}\,\tilde{E}^*$ , que evita tener que promediar senos cuadrados en el tiempo.

La transformada de Fourier

La transformada de Fourier descompone cualquier función en una suma de sinusoides de distinta frecuencia. Es la herramienta central del Módulo 01:

F(u) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, e^{-2\pi i u x} \, dx

Y su inversa:

f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} F(u) \, e^{+2\pi i u x} \, du

Explora los pares de Fourier más importantes. Fíjate en la reciprocidad: una función estrecha en $x$ tiene una transformada ancha en $u$ , y viceversa. Es el principio de incertidumbre.

Explorar

Par de Fourier

Ancho 15

f(x)

F(u) = 𝓕{ f }

La transformada de una gaussiana es otra gaussiana. Estrecha en x → ancha en u, y viceversa.

Propiedades clave

Estas propiedades aparecen constantemente en los artículos:

Linealidad: $\mathcal{F}\{af + bg\} = a\mathcal{F}\{f\} + b\mathcal{F}\{g\}$
Desplazamiento: $\mathcal{F}\{f(x - a)\} = e^{-2\pi i u a} F(u)$ — un desplazamiento en $x$ añade una fase lineal en $u$ .
Escalado: $\mathcal{F}\{f(ax)\} = \frac{1}{|a|} F(u/a)$ — comprimir en $x$ expande en $u$ .
Convolución: $\mathcal{F}\{f * g\} = F \cdot G$ — convolución en espacio = multiplicación en frecuencia (Artículo 05).
Parseval: $\int |f|^2 dx = \int |F|^2 du$ — la energía se conserva entre dominios.

Las ecuaciones de Maxwell

Cuatro ecuaciones que describen toda la óptica. En medios lineales, homogéneos e isótropos:

\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon} \qquad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0

\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \qquad \nabla \times \mathbf{B} = \mu \varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \mu \mathbf{J}

En ausencia de cargas y corrientes libres ( $\rho = 0$ , $\mathbf{J} = 0$ ), se combinan para dar la ecuación de onda:

\nabla^2 \mathbf{E} = \mu \varepsilon \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}

con velocidad de propagación $v = 1/\sqrt{\mu\varepsilon}$ . En el vacío, $v = c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}$ . En un material, $v = c/n$ , donde el índice de refracción es $n = \sqrt{\varepsilon_r \mu_r} \approx \sqrt{\varepsilon_r}$ (para materiales no magnéticos).

Referencia rápida

Fórmulas que aparecen repetidamente en los módulos:

Parámetro de tamaño: $x = \frac{2\pi a}{\lambda} = ka$
Índice relativo: $m = n_{\text{partícula}} / n_{\text{medio}}$
Fresnel (incidencia normal): $r = \frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2}, \quad R = |r|^2$
Rayleigh: $Q_{\text{sca}} = \frac{8}{3} x^4 \left|\frac{m^2-1}{m^2+2}\right|^2$
Clausius-Mossotti: $\alpha = 4\pi a^3 \frac{\varepsilon - \varepsilon_m}{\varepsilon + 2\varepsilon_m}$
Condición LSPR: $\text{Re}(\varepsilon) = -2\varepsilon_m$
Drude: $\varepsilon(\omega) = \varepsilon_\infty - \omega_p^2 / (\omega^2 + i\gamma\omega)$
Número V (fibra): $V = \frac{2\pi a}{\lambda} \text{NA}$ , monomodo: $V < 2.405$
Apertura numérica: $\text{NA} = \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$
Límite de difracción (Abbe): $d_{\min} = \lambda / (2\,\text{NA})$
Condición CFL (FDTD): $c\,\Delta t \leq \Delta x / \sqrt{d}$

Ejercicios de calentamiento

Ejercicio 1

Un láser HeNe emite a $\lambda = 633$ nm en el vacío. ¿Cuál es su frecuencia $f$ ? ¿Y su número de onda $k$ ? Si el haz entra en un vidrio con $n = 1.52$ , ¿cuál es la longitud de onda dentro del vidrio? ¿Cambia la frecuencia?

Solución

$f = c/\lambda = 3 \times 10^8 / 633 \times 10^{-9} \approx 4.74 \times 10^{14}$ Hz.

$k = 2\pi/\lambda = 2\pi / 633 \times 10^{-9} \approx 9.93 \times 10^6$ m⁻¹.

En vidrio: $\lambda_{\text{vidrio}} = \lambda_0/n = 633/1.52 \approx 416$ nm. La frecuencia no cambia — es una propiedad de la fuente, no del medio. Lo que cambia es la longitud de onda y la velocidad ( $v = c/n$ ).

Ejercicio 2

Dos ondas de igual amplitud $A$ y frecuencia se superponen. La primera tiene fase $\varphi_1 = 0$ , la segunda $\varphi_2 = \pi/2$ (90°). Usando notación compleja, calcula la amplitud resultante $|A_1 + A_2 e^{i\pi/2}|$ . ¿Y si $\varphi_2 = \pi$ (contrafase)?

Solución

Con $\varphi_2 = \pi/2$ : $A_{\text{total}} = |A + Ae^{i\pi/2}| = |A(1 + i)| = A\sqrt{2} \approx 1.41A$ . Intensidad: $I \propto 2A^2$ (doble que una sola onda).

Con $\varphi_2 = \pi$ : $A_{\text{total}} = |A + Ae^{i\pi}| = |A - A| = 0$ . Interferencia destructiva total — las ondas se cancelan exactamente.

Ejercicio 3

Usa la visualización de pares de Fourier de arriba. Selecciona la gaussiana y observa que su transformada es también una gaussiana. Si reduces el ancho de la gaussiana a la mitad, ¿qué le pasa al ancho de su transformada? Esto ilustra la relación de incertidumbre de Fourier.

Solución

Si la gaussiana en

x

tiene ancho

\sigma

, su transformada tiene ancho

1/(2\pi\sigma)

. Reducir

\sigma

a la mitad duplica el ancho en frecuencia. El producto

\Delta x \cdot \Delta u

es constante — no puedes localizar una función simultáneamente en el espacio y en frecuencia. La gaussiana es el único caso donde este producto alcanza su mínimo.