La función de Green

Si pones un dipolo puntual en un punto del espacio y preguntas «¿qué campo eléctrico produce en otro punto?», la respuesta es la función de Green. Parece una pregunta trivial — un solo dipolo, nada más. Pero resulta que si sabes la respuesta a esa pregunta, sabes la respuesta a todas las preguntas: cualquier distribución de corrientes es una suma de dipolos, y por superposición, el campo total es una suma de funciones de Green.

La función de Green es el «átomo» de la teoría de campos clásica. Aparece en todas partes: en BEM (Módulo 02, Art. 07), donde construir la solución se reduce a propagar funciones de Green por la superficie; en EELS (Módulo 03, Art. 04), donde la señal mide la parte imaginaria de la función de Green evaluada en la posición del haz; y en la LDOS, que determina la emisión espontánea de un emisor cuántico. Todo pasa por aquí.

La ecuación de Helmholtz y su Green escalar

Empecemos por lo más simple. En espacio libre, un campo escalar $\phi(\mathbf{r})$ que oscila a frecuencia $\omega$ satisface la ecuación de Helmholtz:

\nabla^2 \phi + k^2 \phi = -\delta^3(\mathbf{r} - \mathbf{r}')

donde $k = \omega/c$ es el número de onda. La fuente es un punto — una delta de Dirac. La solución es la función de Green escalar:

g(\mathbf{r}, \mathbf{r}') = \frac{e^{ik|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}}{4\pi|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}

Una onda esférica que sale del punto fuente $\mathbf{r}'$ . La amplitud decae como $1/r$ y la fase avanza como $e^{ikr}$ . Es lo más simple que puede hacer una onda: expandirse en todas direcciones desde un punto.

De la ecuación de onda a exp(ikr)/r

Queremos resolver $(\nabla^2 + k^2)g = -\delta^3(\mathbf{r})$ con condición de radiación (ondas salientes). Por simetría esférica, $g = g(r)$ y el laplaciano se reduce a:

\frac{1}{r}\frac{d^2}{dr^2}(rg) + k^2 g = 0 \quad (r \neq 0)

Definimos $u(r) = rg(r)$ , que satisface $u'' + k^2 u = 0$ — un oscilador armónico. Las soluciones son $u = Ae^{ikr} + Be^{-ikr}$ . La condición de radiación (onda saliente) elimina $B$ :

g(r) = \frac{Ae^{ikr}}{r}

Para fijar $A$ , integramos la ecuación original sobre una esfera de radio $\epsilon \to 0$ :

\int_{V_\epsilon} (\nabla^2 g + k^2 g)\,d^3r = -1

El término $k^2 g$ se anula cuando $\epsilon \to 0$ (volumen → 0). El laplaciano da, por el teorema de la divergencia:

\oint \nabla g \cdot d\mathbf{S} = \left.\frac{d}{dr}\left(\frac{Ae^{ikr}}{r}\right)\right|_{r=\epsilon} \cdot 4\pi\epsilon^2 \xrightarrow{\epsilon\to 0} -4\pi A

Igualando: $-4\pi A = -1$ , luego $A = 1/(4\pi)$ . Resultado:

g(r) = \frac{e^{ikr}}{4\pi r}

La función de Green diádica

El campo electromagnético es vectorial, no escalar. El campo eléctrico producido por una corriente $\mathbf{J}(\mathbf{r}')$ no es simplemente un número por la Green escalar — es un tensor. La función de Green diádica $\mathbf{G}(\mathbf{r}, \mathbf{r}', \omega)$ es un tensor de rango 2 (una matriz 3×3) que satisface:

\nabla \times \nabla \times \mathbf{G} - k^2 \mathbf{G} = \mathbf{I}\,\delta^3(\mathbf{r} - \mathbf{r}')

Cada columna $j$ de $\mathbf{G}$ da el campo eléctrico producido por un dipolo unitario orientado en la dirección $\hat{e}_j$ . Si el dipolo apunta en $\hat{x}$ , la primera columna te da $(E_x, E_y, E_z)$ . El tensor completo te da la respuesta a cualquier orientación.

En espacio libre homogéneo:

\mathbf{G}_0(\mathbf{r}, \mathbf{r}') = \left(\mathbf{I} + \frac{\nabla\nabla}{k^2}\right) g(|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|)

Esa fórmula compacta esconde una estructura rica. Escribiendo $R = |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|$ y $\hat{R}$ el vector unitario:

\mathbf{G}_0 = \frac{e^{ikR}}{4\pi R}\left[\left(1 + \frac{i}{kR} - \frac{1}{k^2R^2}\right)\mathbf{I} + \left(-1 - \frac{3i}{kR} + \frac{3}{k^2R^2}\right)\hat{R}\hat{R}\right]

Campo cercano y campo lejano

Los tres términos de la Green diádica dominan en regiones distintas. Definamos $x = kR = 2\pi R/\lambda$ :

Campo lejano ( $x \gg 1$ , es decir $R \gg \lambda$ ): solo sobrevive el término $1/R$ . Es la radiación — la onda esférica saliente. La intensidad decae como $1/R^2$ , que es la ley del cuadrado inverso.
Campo cercano ( $x \ll 1$ , $R \ll \lambda$ ): domina el término $1/R^3$ . Este campo es el campo cuasi-estático. Es enorme cerca de la fuente, pero no transporta energía — es reactivo, como la energía almacenada en un condensador.
Zona intermedia ( $x \sim 1$ ): el término $1/R^2$ . Aquí los tres contribuyen y la situación es complicada.

La frontera está en $R \sim \lambda/(2\pi)$ . Para luz visible ( $\lambda \approx 500$ nm), eso es ~80 nm. A escala nanométrica, vives en el campo cercano. A escala de laboratorio, en el campo lejano. La nanofotónica es fundamentalmente una ciencia de campo cercano.

Términos de la Green diádica

λ (nm) 500

Frontera campo cercano/lejano: r ≈ λ/(2π) = 80 nm. Mover λ desplaza la frontera pero no cambia las pendientes.

Expansión en ondas planas

La función de Green esférica $e^{ikR}/R$ es útil conceptualmente, pero a veces conviene descomponerla en ondas planas. La representación de Weyl expresa la Green escalar como:

\frac{e^{ikR}}{R} = \frac{i}{2\pi}\int \frac{d^2\mathbf{q}}{q_z}\, e^{i\mathbf{q}\cdot\boldsymbol{\rho} + iq_z|z|}

donde $\mathbf{q} = (q_x, q_y)$ es la componente transversal del vector de onda, $q_z = \sqrt{k^2 - q^2}$ , y $\boldsymbol{\rho} = (x,y)$ .

Lo crucial: cuando $q > k$ (momento transversal mayor que el número de onda), $q_z$ se vuelve imaginario. Esas componentes son ondas evanescentes — decaen exponencialmente en $z$ y no propagan. Son exactamente las componentes que dominan en el campo cercano.

Moraleja: el campo cercano (1/R³) no es misterioso — es la contribución de las ondas evanescentes, que tienen momento alto (detalles espaciales finos) pero no pueden propagarse al campo lejano. Esto es exactamente lo que establece el límite de difracción: la información con resolución mejor que $\lambda$ está codificada en modos evanescentes que se pierden a unos pocos cientos de nanómetros de la fuente.

Significado físico: campo de un dipolo

Un dipolo oscilante con momento $\mathbf{p}$ en la posición $\mathbf{r}'$ produce un campo eléctrico:

\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{\omega^2}{\varepsilon_0 c^2}\,\mathbf{G}_0(\mathbf{r}, \mathbf{r}')\cdot\mathbf{p}

La función de Green diádica es el campo del dipolo, salvo constantes. Cuando colocas ese dipolo cerca de una nanopartícula, la Green se modifica: aparecen términos adicionales que reflejan la dispersión por la estructura. La Green total $\mathbf{G} = \mathbf{G}_0 + \mathbf{G}_{\text{scat}}$ incluye tanto la propagación directa como la interacción con el entorno.

Esta descomposición es la base de BEM (Módulo 02, Art. 07): la parte $\mathbf{G}_0$ la conocemos analíticamente, y BEM calcula $\mathbf{G}_{\text{scat}}$ resolviendo las condiciones de contorno en la superficie de la nanopartícula.

Potencia radiada por un dipolo y la LDOS

La potencia disipada por el dipolo es el trabajo del campo sobre la corriente. Para un dipolo armónico $\mathbf{p}e^{-i\omega t}$ :

P = \frac{\omega}{2}\,\text{Im}\!\left[\mathbf{p}^* \cdot \mathbf{E}(\mathbf{r}')\right] = \frac{\omega^3 |\mathbf{p}|^2}{2\varepsilon_0 c^2}\,\text{Im}\!\left[\hat{p}\cdot\mathbf{G}(\mathbf{r}', \mathbf{r}', \omega)\cdot\hat{p}\right]

En espacio libre, esto da la fórmula de Larmor. Cerca de una estructura, $\mathbf{G}$ cambia — y con ella la tasa de emisión. La razón entre la tasa de emisión modificada y la de espacio libre es el factor de Purcell:

F_P = \frac{6\pi c}{\omega}\,\text{Im}\!\left[\hat{p}\cdot\mathbf{G}(\mathbf{r}', \mathbf{r}', \omega)\cdot\hat{p}\right]\Big/\text{Im}\!\left[\hat{p}\cdot\mathbf{G}_0(\mathbf{r}', \mathbf{r}', \omega)\cdot\hat{p}\right]

La LDOS (densidad local de estados ópticos) es proporcional a $\text{Im}[\text{Tr}\,\mathbf{G}(\mathbf{r}, \mathbf{r}, \omega)]$ . Es exactamente lo que EELS mide (Módulo 03, Art. 04).

Conexiones

La función de Green es el hilo conductor de este módulo. En los artículos que siguen veremos que:

La susceptibilidad $\chi(\mathbf{r}, \mathbf{r}', \omega)$ (Art. 02) es una función de Green del sistema de muchos cuerpos — la respuesta de la densidad de carga a un potencial externo.
Las relaciones de Kramers-Kronig (Art. 04) son consecuencia de que la función de Green sea causal — no puede haber respuesta antes de la excitación.
El teorema óptico (Art. 06) relaciona la extinción con la parte imaginaria de la Green evaluada en dirección forward.

Ejercicios

Ejercicio 1

Estima la distancia a la que el campo cercano (término $1/R^3$ ) y el campo lejano (término $1/R$ ) tienen la misma magnitud, para $\lambda = 600$ nm. ¿Qué fracción de $\lambda$ es esa distancia?

Solución

La igualdad ocurre cuando

1/(kR)^2 \sim 1

, es decir

R \sim 1/k = \lambda/(2\pi)

. Para

\lambda = 600

nm:

R \approx 95

nm, que es

\lambda/6.3

. A 100 nm de un dipolo óptico, campo cercano y lejano son del mismo orden. Más cerca, el campo cercano domina completamente.

Ejercicio 2

En la representación de Weyl, ¿qué pasa con una componente de onda plana con $q = 2k$ (momento transversal el doble que el número de onda)? Calcula $q_z$ y la longitud de decaimiento $1/|q_z|$ . Para $\lambda = 500$ nm, ¿cuántos nanómetros penetra?

Solución

q_z = \sqrt{k^2 - q^2} = \sqrt{k^2 - 4k^2} = ik\sqrt{3}

. Es imaginario puro — onda evanescente. La longitud de decaimiento es

1/(k\sqrt{3}) = \lambda/(2\pi\sqrt{3}) \approx 46

nm para

\lambda = 500

nm. A 46 nm de la fuente, esta componente ha caído a

1/e

de su valor. A 140 nm, a

1/e^3 \approx 5\%

. La información de alta resolución se pierde rápidamente.

Ejercicio 3

Un dipolo oscilante está orientado en $\hat{z}$ a 10 nm de la superficie de una nanopartícula de oro. ¿Qué componente de la Green diádica necesitas para calcular el factor de Purcell? ¿Por qué la componente $\mathbf{G}_{\text{scat}}$ domina sobre $\mathbf{G}_0$ a esa distancia?

Solución

Necesitas

\text{Im}[G_{zz}(\mathbf{r}', \mathbf{r}', \omega)]

, la componente

zz

evaluada en la posición del dipolo. A 10 nm de la superficie, estamos profundamente en el campo cercano (

R \ll \lambda/(2\pi) \approx 80

nm). Los términos

1/R^3

\mathbf{G}_{\text{scat}}

son enormes — el dipolo «siente» su propia imagen reflejada por la nanopartícula. El factor de Purcell puede alcanzar

10^3

10^4

a esas distancias.