Emisión estimulada: la idea

Un átomo en un estado excitado puede emitir un fotón de dos maneras. La primera — emisión espontánea — es la que produce la luz de una bombilla: el átomo decae cuando le da la gana, emitiendo un fotón en dirección aleatoria. La segunda — emisión estimulada — es la que hace posible el láser: un fotón que pasa cerca del átomo lo «obliga» a emitir un segundo fotón idéntico al primero. Misma frecuencia, misma fase, misma dirección. Donde había un fotón, ahora hay dos. Eso es amplificación de luz.

Los tres procesos de Einstein

En 1917, Einstein estaba analizando el equilibrio térmico de la radiación con la materia — cómo un gas de átomos y un campo de fotones llegan a un estado estable. Para que las cuentas cuadrasen con la ley de Planck, tuvo que postular tres procesos:

Absorción ( $B_{12}$ ): un fotón es absorbido por un átomo en el estado fundamental, que sube al estado excitado. Tasa proporcional a la densidad de fotones $\rho(\nu)$ y a la población $N_1$ .
Emisión espontánea ( $A_{21}$ ): el átomo excitado decae emitiendo un fotón en dirección aleatoria. No depende del campo — ocurre incluso en la oscuridad. Tasa proporcional solo a $N_2$ .
Emisión estimulada ( $B_{21}$ ): un fotón del campo induce al átomo excitado a emitir un fotón idéntico. Tasa proporcional a $\rho(\nu)$ y a $N_2$ .

Las tasas de transición por unidad de tiempo son:

R_{\text{abs}} = B_{12} \, \rho(\nu) \, N_1 \qquad R_{\text{esp}} = A_{21} \, N_2 \qquad R_{\text{est}} = B_{21} \, \rho(\nu) \, N_2

$A_{21}$ , $B_{12}$ y $B_{21}$ son los coeficientes de Einstein.

Las relaciones entre los coeficientes A y B

En equilibrio térmico, la tasa de transiciones hacia arriba debe igualar la tasa hacia abajo:

B_{12} \, \rho \, N_1 = A_{21} \, N_2 + B_{21} \, \rho \, N_2

Despejando $\rho$ :

\rho(\nu) = \frac{A_{21}/B_{21}}{(B_{12}/B_{21})(N_1/N_2) - 1}

En equilibrio térmico, $N_1/N_2 = e^{h\nu/k_BT}$ (distribución de Boltzmann). Para que esta expresión coincida con la ley de Planck $\rho(\nu) = \frac{8\pi h\nu^3/c^3}{e^{h\nu/k_BT} - 1}$ , necesitamos:

B_{12} = B_{21} \qquad \frac{A_{21}}{B_{21}} = \frac{8\pi h\nu^3}{c^3}

Resultado notable: la probabilidad de absorber un fotón es idéntica a la de emitirlo por estimulación ( $B_{12} = B_{21}$ ). Y la emisión espontánea domina a frecuencias altas (el factor $\nu^3$ ), por eso es difícil hacer láseres de rayos X.

¿Por qué la emisión estimulada es especial?

La emisión espontánea produce fotones en direcciones aleatorias, con fases aleatorias. Es luz incoherente — la luz de una bombilla. La emisión estimulada produce fotones que son clones del fotón que los indujo: misma frecuencia, misma fase, misma polarización, misma dirección. Es luz coherente.

Pero hay un problema. En equilibrio térmico, siempre hay más átomos abajo que arriba ( $N_1 > N_2$ , Boltzmann). Y como $B_{12} = B_{21}$ , por cada fotón emitido por estimulación se absorbe (al menos) uno. No hay ganancia neta. Para que la luz se amplifique, necesitas más átomos arriba que abajo: inversión de población.

Inversión de población: la condición imposible

La distribución de Boltzmann dice que $N_2/N_1 = e^{-h\nu/k_BT}$ , que es siempre menor que 1 para $T > 0$ . No puedes lograr $N_2 > N_1$ calentando — necesitarías temperatura infinita (o negativa, que es lo que los físicos a veces dicen en broma que tiene un láser).

La solución: sacar al sistema del equilibrio. Bombear energía selectivamente al nivel superior. Pero en un sistema de dos niveles puro, el bombeo satura en $N_1 = N_2$ — nunca logras inversión. ¿Por qué? Porque a medida que llenas el nivel superior, la emisión estimulada (hacia abajo) crece al mismo ritmo que la absorción (hacia arriba).

La salida es usar más niveles.

Tres niveles, cuatro niveles

El problema de dos niveles es una simetría fatal: como $B_{12} = B_{21}$ , absorción y emisión estimulada tienen exactamente la misma tasa por átomo. No puedes ganar esa pelea bombeando más fuerte — siempre empatas. Para romper esa simetría necesitas enrutar los átomos por niveles adicionales donde se acumulen sin poder ser reabsorbidos por el mismo canal.

El sistema de tres niveles (el del láser de rubí de Maiman, 1960): se bombea del nivel 1 a un nivel 3 alto, que decae rápidamente (no radiativamente) al nivel 2. La emisión láser ocurre del 2 al 1. Como el nivel 3 se vacía rápido, los átomos se acumulan en el 2. Pero el nivel inferior del láser (1) es el estado fundamental — está lleno. Hay que bombear más de la mitad de todos los átomos para lograr inversión. Es ineficiente.

El sistema de cuatro niveles resuelve esto: la transición láser va del nivel 2 al nivel 1, que no es el estado fundamental sino un nivel intermedio que se vacía rápidamente al nivel 0 (el verdadero fundamental). Como el nivel 1 está siempre casi vacío, cualquier población en el 2 ya es inversión. No necesitas bombear la mitad de los átomos — basta con unos pocos. Es mucho más eficiente, y por eso la mayoría de los láseres modernos (Nd:YAG, HeNe, fibra) son de cuatro niveles.

Explora los procesos

La visualización muestra los tres procesos de Einstein y la dinámica de poblaciones. Sube el bombeo y observa cómo la población del nivel superior crece hasta lograr (o no) la inversión:

Procesos de Einstein

Proceso Bombeo 30%

Sube el bombeo hasta lograr inversión de población (N₂ > N₁)

Fíjate: con bombeo bajo, $N_2$ sube pero nunca alcanza a $N_1$ — la emisión estimulada y la espontánea devuelven átomos al nivel inferior tan rápido como el bombeo los sube. Solo cuando el bombeo supera un umbral ( $\sim A_{21}$ ), la inversión es posible.

La ganancia: cuánto se amplifica

Cuando hay inversión ( $N_2 > N_1$ ), un haz de luz que atraviesa el medio se amplifica. La intensidad crece exponencialmente con la distancia:

I(z) = I_0 \, e^{\gamma z}

donde $\gamma$ es el coeficiente de ganancia:

\gamma = \sigma_{21} (N_2 - N_1)

donde $\sigma_{21}$ es la sección eficaz de emisión. Si $N_2 > N_1$ , $\gamma > 0$ y el medio amplifica. Si $N_2 < N_1$ , $\gamma < 0$ y el medio absorbe — como cualquier material normal.

De la inversión a la ganancia exponencial

Considera un haz de intensidad $I$ propagándose en la dirección $z$ a través de un medio con poblaciones $N_1$ y $N_2$ . En una rodaja de grosor $dz$ :

dI = (\text{emisión estimulada} - \text{absorción}) = \sigma_{21} N_2 \, I \, dz - \sigma_{12} N_1 \, I \, dz

Con $\sigma_{12} = \sigma_{21} \equiv \sigma$ (por $B_{12} = B_{21}$ ):

\frac{dI}{dz} = \sigma (N_2 - N_1) \, I = \gamma \, I

Es una ecuación diferencial lineal cuya solución es $I(z) = I_0 e^{\gamma z}$ . La ganancia es exponencial — cada centímetro de medio con inversión amplifica el haz por el mismo factor. Por eso el láser necesita poco: una ganancia del 1% por pasada, multiplicada por cientos de pasadas dentro de la cavidad, produce una amplificación enorme.

¿Y de dónde sale el láser?

Todavía no tenemos un láser. Tenemos un medio de ganancia — un material que amplifica la luz que lo atraviesa. Para convertirlo en un láser, necesitamos dos cosas más:

Retroalimentación: espejos que devuelvan la luz al medio de ganancia para que se amplifique una y otra vez. Eso es la cavidad — el tema del artículo siguiente.
Condición de oscilación: que la ganancia por pasada compense las pérdidas (transmisión del espejo de salida, absorción, difracción). Cuando ganancia = pérdidas, el láser oscila.

La palabra LASER lo dice todo: Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation. Amplificación de luz por emisión estimulada de radiación. Cada palabra cuenta.

Ejercicios

Ejercicio 1

Usa la visualización de arriba. Empieza con bombeo bajo y súbelo gradualmente. ¿A qué valor de bombeo (aproximadamente) se alcanza la inversión de población ( $N_2 > N_1$ )? ¿Por qué no se puede lograr inversión en un sistema de dos niveles puro con cualquier bombeo?

Solución

La inversión se alcanza cuando el bombeo supera aproximadamente la tasa de emisión espontánea $A_{21}$ . En la simulación, esto ocurre alrededor de bombeo ~50-60%.

En un sistema de dos niveles puro, el bombeo excita átomos de 1→2, pero la emisión estimulada devuelve átomos de 2→1 con la misma sección eficaz. A medida que $N_2$ crece, la emisión estimulada crece proporcionalmente, y el sistema satura en $N_1 = N_2$ — nunca hay ganancia neta. Por eso se necesitan 3 o 4 niveles: el nivel inferior del láser se vacía por otro canal (decaimiento rápido no radiativo), rompiendo la simetría.

Ejercicio 2

La relación de Einstein dice $A_{21}/B_{21} = 8\pi h\nu^3/c^3$ . Esto significa que a frecuencias altas, la emisión espontánea domina sobre la estimulada. Calcula el ratio $A_{21}/B_{21}$ para un láser de HeNe ( $\lambda = 633$ nm) y para un hipotético «láser» de rayos X ( $\lambda = 1$ nm). ¿Por qué es tan difícil hacer láseres de rayos X?

Solución

$\nu = c/\lambda$ , así que $A/B \propto \nu^3 \propto 1/\lambda^3$ .

El ratio es proporcional a $(633/1)^3 \approx 2.5 \times 10^8$ veces mayor para rayos X que para el visible. Esto significa que la emisión espontánea a frecuencias de rayos X es ~10⁸ veces más intensa que la estimulada (a misma densidad de fotones). Los átomos «se vacían» espontáneamente antes de que la emisión estimulada pueda amplificar el haz. Conseguir inversión requiere un bombeo colosal — por eso los láseres de rayos X (FEL, plasma) son instalaciones del tamaño de un edificio.

Ejercicio 3

Un medio de ganancia de Nd:YAG tiene $\sigma = 2.8 \times 10^{-19}$ cm² y una inversión de $\Delta N = N_2 - N_1 = 10^{18}$ cm⁻³. ¿Cuál es el coeficiente de ganancia $\gamma$ ? ¿Cuánto se amplifica un haz en una pasada de 10 cm?

Solución

$\gamma = \sigma \cdot \Delta N = 2.8 \times 10^{-19} \times 10^{18} = 0.28$ cm⁻¹.

Amplificación en 10 cm: $G = e^{\gamma L} = e^{0.28 \times 10} = e^{2.8} \approx 16.4$ . El haz se amplifica ~16× en una sola pasada. Dentro de una cavidad con espejos, la luz hace muchas pasadas, y la amplificación total puede ser de millones antes de alcanzar el estado estacionario.