Atrapar luz: la guía de onda

Imagina que quieres enviar una señal de vídeo desde Madrid a Tokio. La señal es luz — pulsos de un láser a 1550 nm. Pero la luz se difracta: si la lanzas al aire, se esparce. Necesitas un canal que la mantenga confinada durante 10.000 km. Ese canal es una guía de onda — una fibra de vidrio más fina que un cabello que atrapa la luz por un principio que conocemos desde el Módulo 02: la reflexión total interna.

Reflexión total interna: el mecanismo

En el artículo 02 del Módulo 02 (Fresnel), vimos que cuando la luz pasa de un medio de índice alto $n_1$ a uno de índice bajo $n_2$ , y el ángulo de incidencia supera el ángulo crítico:

\theta_c = \arcsin\!\left(\frac{n_2}{n_1}\right)

la luz se refleja completamente — la reflexión total interna (TIR). No se transmite nada. Reflexión del 100%, sin pérdidas.

Ahora, construye una «sandwich»: una capa de material de índice $n_1$ (el núcleo) entre dos capas de índice $n_2 < n_1$ (el revestimiento). La luz que entra con un ángulo suficientemente rasante respecto al eje rebota en ambas interfaces por TIR. Cada rebote es perfecto — no pierde energía. La luz queda atrapada en el núcleo, propagándose a lo largo de la guía.

Pero hay una sutileza: el campo no se anula bruscamente en la interfaz. Penetra una distancia corta en el revestimiento como una onda evanescente — un campo que decae exponencialmente como $e^{-\gamma |x|}$ , donde $\gamma$ depende del ángulo y los índices. La onda no «escapa», pero existe fuera del núcleo. Eso tendrá consecuencias importantes (es lo que permite el acoplamiento entre guías, que veremos en el artículo 04).

De rayos a ondas: ¿por qué solo ciertos ángulos?

La imagen de rayos rebotando sugiere que cualquier ángulo por encima de $\theta_c$ serviría. Pero la óptica es onda, no rayo. Y una onda que rebota debe reencontrarse consigo misma en fase después de un viaje completo (ida y vuelta en la dirección transversal). Si no, interfiere destructivamente consigo misma y se cancela.

La condición de autoconsistencia es:

2\kappa d - 2\varphi_{\text{TIR}} = 2m\pi \quad (m = 0, 1, 2, \ldots)

Derivación de la condición de modo

Considera una onda plana dentro del núcleo, propagándose en zigzag con componente transversal $k_x = \kappa$ y componente longitudinal $k_z = \beta$ , donde $\kappa^2 + \beta^2 = n_1^2 k_0^2$ .

En un viaje transversal completo (ida y vuelta a través del núcleo de grosor $d$ ), la onda acumula una fase $2\kappa d$ . En cada reflexión TIR, adquiere un desfase adicional $\varphi_{\text{TIR}}$ (que depende del ángulo y los índices — viene de las ecuaciones de Fresnel para $\theta > \theta_c$ ).

Para interferencia constructiva, la fase total debe ser un múltiplo entero de $2\pi$ :

2\kappa d - 2\varphi_{\text{TIR}} = 2m\pi

Esto selecciona valores discretos de $\kappa$ , y por tanto de $\beta = \sqrt{n_1^2 k_0^2 - \kappa^2}$ . Cada solución es un modo.

Cada solución $m$ define un modo — una distribución del campo que se propaga a lo largo de la guía sin cambiar de forma. El modo fundamental (m=0) tiene un máximo en el centro del núcleo. Los modos de orden superior tienen nodos — puntos donde el campo se anula.

La onda guiada en acción

Mira cómo se ve un modo propagándose. El campo está confinado en el núcleo (la franja entre las líneas punteadas) y se extiende como colas evanescentes en el revestimiento. La onda viaja hacia la derecha sin cambiar de forma — eso es lo que define un modo:

Explorar

Modo TE0

Ancho núcleo 35%

Onda guiada en una slab (plano x-z)

Modo fundamental TE₀: campo máximo en el centro, sin nodos. Las colas evanescentes penetran en el revestimiento.

Observa qué pasa al cambiar de modo:

TE₀ (fundamental): campo máximo en el centro, sin nodos. La mayor parte de la energía está dentro del núcleo.
TE₁: un nodo en el centro. El campo cambia de signo. La componente transversal $\kappa$ es mayor → la componente longitudinal $\beta$ es menor → el modo «ve» un índice efectivo más bajo.
Modos superiores: más nodos, más campo fuera del núcleo, menor $n_{\text{eff}}$ .
Núcleo estrecho: las colas evanescentes penetran más. Si el núcleo es demasiado fino, los modos de orden alto dejan de existir — no caben.

¿Y cuántos modos caben?

No cualquier número de modos cabe en una guía. Depende del grosor del núcleo, del contraste de índices y de la longitud de onda. Un núcleo ancho con mucho contraste admite muchos modos. Un núcleo fino con poco contraste puede admitir solo uno — el fundamental, TE₀. En el siguiente artículo cuantificaremos esto: veremos qué determina cuántos modos existen y qué pasa exactamente cuando un modo desaparece.

Ejercicios

Ejercicio 1

Una guía planar tiene $n_1 = 1.50$ y $n_2 = 1.45$ . ¿Cuál es el ángulo crítico para TIR? Si un rayo dentro del núcleo incide a 80° respecto a la normal de la interfaz, ¿se refleja totalmente? ¿Y a 70°?

Solución

$\theta_c = \arcsin(1.45/1.50) = \arcsin(0.967) \approx 75.2°$ .

A 80°: sí, 80° > 75.2° → TIR. La luz queda atrapada.

A 70°: no, 70° < 75.2° → parte de la luz se transmite al revestimiento. Ese rayo escapa de la guía.

Ejercicio 2

Usa la visualización de arriba. Selecciona TE₁ y reduce el ancho del núcleo gradualmente. ¿Qué le pasa al modo? ¿Las colas evanescentes crecen o decrecen? Ahora selecciona TE₀ y haz lo mismo. ¿El modo fundamental se comporta igual?

Solución

El modo TE₁ necesita un núcleo lo suficientemente ancho para que «quepa» una oscilación completa. Al reducir el ancho, las colas evanescentes crecen — el modo se desconfina, cada vez más energía está fuera del núcleo. Eventualmente el modo desaparece: es su cutoff (lo cuantificaremos en el artículo 02). El modo TE₀, en cambio, nunca desaparece — se desconfina pero siempre existe, por fino que sea el núcleo.

Ejercicio 3

La condición de autoconsistencia dice que la fase acumulada en un viaje transversal completo debe ser múltiplo de $2\pi$ . Si el desfase de la TIR es $\varphi_{\text{TIR}} = 0$ (simplificación), ¿cuántos modos caben en un núcleo de grosor $d = 3\lambda / n_1$ ?

Solución

Con $\varphi_{\text{TIR}} = 0$ , la condición es $2\kappa d = 2m\pi$ , es decir $\kappa = m\pi/d$ .

El máximo valor de $\kappa$ es $n_1 k_0 = 2\pi n_1/\lambda$ (onda transversal pura). Con $d = 3\lambda/n_1$ : $m < n_1 k_0 d / \pi = 2n_1^2 \times 3 / n_1 = 6n_1$ . Pero necesitamos $\kappa < n_1 k_0$ y $\beta > n_2 k_0$ , lo que restringe más. La estimación rápida: ~6 modos (para n₁ ≈ 1.5). El cálculo exacto requiere resolver la ecuación trascendente — eso es el siguiente artículo.