Emisión dipolar — Fotonario

Toda la nanofotónica empieza aquí: un sistema cuántico de dos niveles que emite luz. No importa si es un átomo, una molécula, un punto cuántico o un centro de color en diamante — a escalas mucho menores que la longitud de onda, la fuente de radiación es un dipolo eléctrico. El dipolo es el ladrillo fundamental. Si entiendes cómo radia un dipolo, entiendes el 90% de la interacción luz-materia en nanofotónica.

El emisor cuántico como dipolo

Considera un sistema cuántico con dos niveles: un estado fundamental $|\psi_i\rangle$ y un estado excitado $|\psi_f\rangle$ , separados por una energía $\hbar\omega_0$ . Cuando el sistema transiciona del estado excitado al fundamental, emite un fotón. La cantidad que gobierna esa emisión es el momento dipolar de transición:

\mathbf{p} = -e\langle\psi_f|\,\mathbf{r}\,|\psi_i\rangle

Este vector tiene toda la información relevante: su magnitud $p = |\mathbf{p}|$ determina la intensidad de la emisión, y su dirección determina el patrón de radiación. El sistema cuántico, visto desde lejos, es indistinguible de un dipolo clásico oscilando a frecuencia $\omega_0$ .

¿Por qué funciona la aproximación dipolar? Porque el tamaño típico de un emisor (un átomo: ~0.1 nm, un punto cuántico: ~5 nm) es mucho menor que la longitud de onda de la luz que emite (~500 nm). La luz «no ve» la estructura interna del emisor — solo ve un punto que oscila. La aproximación dipolar es exacta en el límite $a/\lambda \to 0$ .

Campo radiado por un dipolo

Un dipolo oscilante $\mathbf{p}\,e^{-i\omega t}$ ubicado en el origen produce un campo eléctrico que, en la zona de radiación ( $r \gg \lambda$ ), tiene la forma:

\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{k^2}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_h}\,\frac{e^{ikr}}{r}\,(\hat{r}\times\mathbf{p})\times\hat{r}

donde $k = \sqrt{\varepsilon_h}\,\omega/c$ es el vector de onda en el medio y $\varepsilon_h$ es la permitividad del medio anfitrión. Dos cosas saltan a la vista:

El campo decae como $1/r$ — onda esférica.
El factor $(\hat{r}\times\mathbf{p})\times\hat{r}$ selecciona la componente de $\mathbf{p}$ perpendicular a $\hat{r}$ . El campo radiado es puramente transversal.

El patrón de radiación

Si el dipolo apunta en la dirección $\hat{z}$ , la intensidad radiada por unidad de ángulo sólido es:

\frac{dP}{d\Omega} \propto \sin^2\theta

donde $\theta$ es el ángulo respecto al eje del dipolo. Máxima radiación en el plano ecuatorial ( $\theta = \pi/2$ ), cero a lo largo del eje ( $\theta = 0, \pi$ ). Es el patrón toroidal clásico — forma de donut. Si alguna vez has visto una antena dipolar de radio, ya conoces este patrón.

Potencia total radiada por un dipolo

Integrando $dP/d\Omega$ sobre todo el ángulo sólido:

P = \int \frac{dP}{d\Omega}\,d\Omega = \frac{k^4 c^2 p^2}{12\pi\varepsilon_0\varepsilon_h} \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\pi} \sin^2\theta \cdot \sin\theta \, d\theta

La integral angular vale $8\pi/3$ :

\int_0^{\pi}\sin^3\theta\,d\theta = \frac{4}{3}

El resultado es la fórmula de Larmor para un dipolo armónico en un medio dieléctrico:

P = \frac{\sqrt{\varepsilon_h}\,k^3\,\omega\,p^2}{3\pi\varepsilon_0}

La potencia escala como $\omega^4$ (a través de $k^3\omega$ ). La luz azul se radia más eficientemente que la roja — eso es lo que hace el cielo azul (dispersión Rayleigh).

Explorar

Orientacion del dipolo 90°

Patron de radiacion dipolar (corte polar)

Radiacion maxima perpendicular al eje del dipolo. Cero a lo largo del eje.

Tasa de decaimiento espontáneo

Un emisor cuántico excitado tiene una probabilidad por unidad de tiempo de decaer al estado fundamental emitiendo un fotón. Esa probabilidad es la tasa de decaimiento $\Gamma_0$ . Se obtiene igualando la potencia radiada clásica con la energía de un fotón dividida por el tiempo de vida: $P = \hbar\omega\,\Gamma_0$ .

En unidades gaussianas (las que usa la mayor parte de la literatura de nanofotónica):

\Gamma_0 = \frac{4\sqrt{\varepsilon_h}\,k^3\,p^2}{3\hbar}

Esta expresión es exactamente el coeficiente A de Einstein — la misma cantidad que Einstein introdujo en 1917 para la emisión espontánea. El cálculo clásico del dipolo oscilante da el resultado correcto, confirmado por la electrodinámica cuántica. Eso no es casualidad: el acoplamiento del vacío al dipolo de transición reproduce exactamente la potencia clásica.

Para un emisor típico en el visible ( $p \sim 1$ Debye, $\lambda \sim 600$ nm), $\Gamma_0 \sim 10^8$ s $^{-1}$ , es decir, un tiempo de vida $\tau = 1/\Gamma_0 \sim 10$ ns. Un punto cuántico de CdSe emite su fotón en ~20 ns. Un centro NV en diamante, en ~12 ns.

Conexión con el coeficiente A de Einstein

En el modelo de Einstein (M05-01), la tasa de emisión espontánea del nivel $|2\rangle$ al nivel $|1\rangle$ es:

A_{21} = \frac{\omega_0^3\,|\mathbf{d}_{12}|^2}{3\pi\varepsilon_0\hbar c^3}

donde $\mathbf{d}_{12} = e\langle 1|\mathbf{r}|2\rangle$ es el momento dipolar de transición (en unidades SI). Esta es exactamente $\Gamma_0$ en el vacío ( $\varepsilon_h = 1$ ). El coeficiente A de Einstein es la tasa de decaimiento dipolar.

La conexión profunda: Einstein dedujo $A_{21}$ por termodinámica. Dirac lo calculó con QED. Ambos dan lo mismo que el dipolo clásico oscilante. Tres caminos, una respuesta.

El dipolo como bloque fundamental

¿Por qué invertir un artículo entero en el dipolo? Porque en nanofotónica, todo se construye a partir de dipolos:

Un emisor cuántico es un dipolo.
Una nanopartícula mucho menor que $\lambda$ responde al campo externo como un dipolo inducido (eso es la polarizabilidad $\alpha$ ).
La interacción entre emisor y entorno se describe como la acción del campo inducido por el dipolo sobre sí mismo — $\mathbf{E}^{\text{ind}}$ en la posición del dipolo.
La LDOS — que determina cuánto se modifica la emisión espontánea por el entorno — se calcula a partir de la función de Green del dipolo.

Todo el módulo de nanofotónica se apoya en esta base. El efecto Purcell (artículo siguiente), los arrays periódicos, los eigenmodos — todos parten del dipolo y su campo.

Más allá del dipolo

La aproximación dipolar falla cuando el emisor no es pequeño comparado con $\lambda$ . Para una nanopartícula de 100 nm iluminada con luz visible (~500 nm), la corrección cuadrupolar ya es del ~10%. También falla cuando el campo no es uniforme a la escala del emisor — algo que ocurre precisamente en nanofotónica, donde los campos plasmónicos varían en escalas de pocos nanómetros. Pero esos son refinamientos: la física esencial ya está en el dipolo.

Ejercicios

Ejercicio 1

Un punto cuántico de CdSe tiene un momento dipolar de transición $p = 6$ Debye ( $1$ Debye $= 3.34 \times 10^{-30}$ C·m) y emite a $\lambda = 620$ nm en un medio con $n = 1.5$ ( $\varepsilon_h = 2.25$ ). Calcula la tasa de decaimiento $\Gamma_0$ y el tiempo de vida $\tau$ .

Solución

k = 2\pi n/\lambda = 2\pi(1.5)/(620\times 10^{-9}) \approx 1.52 \times 10^7

^{-1}

. En SI:

\Gamma_0 = \omega^3 n\, p^2 / (3\pi\varepsilon_0 \hbar c^3)

. Con

p = 6 \times 3.34 \times 10^{-30} = 2.0 \times 10^{-29}

C·m y

\omega = 2\pi c/\lambda = 3.04 \times 10^{15}

rad/s:

\Gamma_0 \approx 5.2 \times 10^{7}

^{-1}

, es decir

\tau \approx 19

ns. Comparable a los valores experimentales (~20 ns) para QDs de CdSe en matrices de vidrio.

Ejercicio 2

La potencia radiada por un dipolo escala como $\omega^4$ . ¿Cuántas veces más potencia radia un dipolo que emite en el azul ( $\lambda = 450$ nm) comparado con uno idéntico que emite en el rojo ( $\lambda = 700$ nm)? ¿Qué relación tiene esto con la dispersión Rayleigh y el color del cielo?

Solución

P_{\text{azul}}/P_{\text{rojo}} = (\omega_{\text{azul}}/\omega_{\text{rojo}})^4 = (\lambda_{\text{rojo}}/\lambda_{\text{azul}})^4 = (700/450)^4 \approx 5.8

. La luz azul se dispersa casi 6 veces más que la roja. Esto es exactamente la dispersión Rayleigh: las moléculas de la atmósfera actúan como dipolos inducidos, y la potencia radiada escala como

\omega^4

. El cielo es azul porque los dipolos atmosféricos radian más eficientemente la luz azul.

Ejercicio 3

Un dipolo orientado a lo largo de $\hat{z}$ no radia en la dirección $\hat{z}$ ( $\sin^2\theta = 0$ para $\theta = 0$ ). Si colocas un detector en el eje del dipolo, ¿ves señal? ¿Y si el dipolo está orientado aleatoriamente (emisor en solución)? Calcula el patrón promediado $\langle\sin^2\theta\rangle$ sobre todas las orientaciones posibles del dipolo.

Solución

Para un dipolo fijo en

\hat{z}

, el detector en el eje no ve nada. Pero si el dipolo tiene orientación aleatoria, se promedia sobre todas las direcciones de

\hat{p}

\langle\sin^2\theta\rangle = 2/3

. Esto se obtiene promediando

\sin^2\theta

con el peso

\sin\theta\,d\theta/(4\pi)

sobre la esfera. El resultado es un patrón isotrópico: la misma intensidad en todas las direcciones. Un emisor en solución radia como una fuente esférica.