La polarización no lineal

Todo lo que hemos visto hasta ahora en el Fotonario — difracción, interferencia, guías de onda, plasmones, láseres — asume una cosa: que la respuesta del material es proporcional al campo eléctrico. Doble campo → doble polarización → doble intensidad dispersada. Es la óptica lineal, y funciona perfectamente mientras la intensidad sea moderada. Pero cuando la intensidad es suficientemente alta — en el foco de un láser, en el hotspot de un dímero plasmónico, dentro de una fibra tras kilómetros de propagación — la proporcionalidad se rompe. Y cuando se rompe, pasan cosas extraordinarias.

¿Por qué la respuesta es lineal (y por qué deja de serlo)?

Los electrones en un material están ligados a los átomos por un potencial. A desplazamientos pequeños, el potencial es armónico (un muelle ideal) y la fuerza restauradora es proporcional al desplazamiento: $F = -kx$ . La respuesta del electrón al campo es proporcional — lineal.

Pero ningún potencial real es perfectamente armónico. A desplazamientos grandes, aparecen términos cúbicos, cuárticos... El muelle se «endurece» o se «ablanda». La fuerza restauradora ya no es proporcional al desplazamiento. La respuesta del electrón se distorsiona — y esa distorsión contiene frecuencias nuevas que no estaban en el campo incidente.

¿Cuándo es «grande» el desplazamiento? Cuando el campo eléctrico de la onda se acerca al campo atómico interno ( $E_{\text{at}} \sim 5 \times 10^{11}$ V/m). Con un láser focalizado, se puede llegar a $\sim 10^{10}$ V/m — un 2% del campo atómico. Pequeño, pero suficiente para que los efectos no lineales sean medibles.

La serie de potencias

La polarización del material se escribe como una serie de potencias del campo:

P = \varepsilon_0\!\left(\chi^{(1)} E + \chi^{(2)} E^2 + \chi^{(3)} E^3 + \cdots\right)

$\chi^{(1)}$ — la susceptibilidad lineal. Es lo que hemos usado en todos los módulos anteriores (M01–M04): determina el índice de refracción ( $n^2 = 1 + \chi^{(1)}$ ) y con él la propagación, la reflexión, la difracción — toda la óptica lineal. Todo lo anterior asumía que la respuesta era puramente χ⁽¹⁾.
$\chi^{(2)}$ — la susceptibilidad de segundo orden. Produce frecuencias al doble ( $2\omega$ ) y suma/resta de frecuencias. Es la base del SHG, que veremos en el artículo siguiente.
$\chi^{(3)}$ — la susceptibilidad de tercer orden. Produce el tercer armónico ( $3\omega$ ), el efecto Kerr ( $n = n_0 + n_2 I$ ), y la mezcla de cuatro ondas. Existe en todos los materiales.

¿Por qué χ⁽²⁾ genera el doble de la frecuencia?

Si el campo incidente es monocromático: $E(t) = E_0 \cos(\omega t)$ , el término cuadrático da:

\chi^{(2)} E^2 = \chi^{(2)} E_0^2 \cos^2(\omega t) = \frac{\chi^{(2)} E_0^2}{2}\left[1 + \cos(2\omega t)\right]

Aparecen dos cosas nuevas: un término constante (DC — una rectificación óptica) y una oscilación al doble de la frecuencia ( $2\omega$ — el segundo armónico). Ninguno estaba en el campo original. Han sido creados por la no linealidad.

Si el campo tiene dos frecuencias, $E = E_1\cos(\omega_1 t) + E_2\cos(\omega_2 t)$ , el término $E^2$ produce $2\omega_1$ , $2\omega_2$ , $\omega_1 + \omega_2$ (suma) y $\omega_1 - \omega_2$ (diferencia). Cuatro frecuencias nuevas de un solo término de la serie.

Simetría: la regla de selección

Una observación crucial: $\chi^{(2)} = 0$ en materiales con simetría de inversión (centrosimétricos). Esto incluye todos los líquidos, gases, vidrios y muchos cristales (como el silicio). ¿Por qué?

Si el material es centrosimétrico, la polarización debe cambiar de signo cuando el campo cambia de signo: $P(-E) = -P(E)$ . Pero el término $\chi^{(2)}E^2$ no cambia de signo ( $(-E)^2 = E^2$ ). La única forma de satisfacer ambas condiciones es $\chi^{(2)} = 0$ .

Consecuencia: para SHG necesitas cristales no centrosimétricos (LiNbO₃, KTP, BBO) o interfaces/superficies (donde la simetría siempre se rompe). En cambio, $\chi^{(3)}$ existe en todos los materiales — el término cúbico $(-E)^3 = -E^3$ sí cambia de signo.

Explora la distorsión

La visualización muestra cómo la no linealidad distorsiona la polarización. Arriba: el campo eléctrico sinusoidal. Abajo: la polarización P(t). La curva punteada es la respuesta lineal (χ⁽¹⁾ solo). Sube χ⁽²⁾ y χ⁽³⁾ para ver la distorsión:

Polarización no lineal

Amplitud E 1.0 χ⁽²⁾ 0.00 χ⁽³⁾ 0.00

Con χ⁽²⁾ > 0 aparece un offset DC y el segundo armónico. Con χ⁽³⁾ > 0, la forma se distorsiona simétricamente.

Observa:

χ⁽²⁾ > 0: la onda se distorsiona asimétricamente — los picos positivos y negativos ya no son iguales. Aparece un offset DC y el segundo armónico.
χ⁽³⁾ > 0: la distorsión es simétrica — los picos se agudizan (o aplanan), pero positivos y negativos son iguales. Aparece el tercer armónico.
Amplitud alta: los efectos no lineales crecen rápidamente. SHG va como $E^2$ (intensidad), THG como $E^3$ (intensidad $^{3/2}$ ). Por eso necesitas láseres potentes.

Órdenes de magnitud

¿Cuán no lineal es un material típico? Las susceptibilidades no lineales son diminutas:

$\chi^{(2)}$ : típico ~1–100 pm/V. Los mejores cristales (LiNbO₃, BBO) alcanzan ~30 pm/V. Necesitas $\sim 10^8$ V/m para que $P^{(2)} / P^{(1)} \sim 10^{-3}$ .
$\chi^{(3)}$ : típico $\sim 10^{-22}$ m²/V² para vidrio, $\sim 10^{-18}$ m²/V² para semiconductores. En una fibra óptica, el efecto se acumula sobre kilómetros compensando el valor pequeño de χ⁽³⁾.

Pero hay un truco: los hotspots plasmónicos del Módulo 03 amplifican el campo local por factores de $|E/E_0|^2 \sim 10^4$ . La clave: los procesos no lineales escalan como potencias del campo. Si un hotspot amplifica $E$ por un factor $F$ , SHG (que va como $E^4$ en intensidad) se amplifica por $F^4$ , no por $F^2$ . Este escalamiento en ley de potencias es lo que hace los números astronómicos. Como SHG va como $|E|^4$ y THG como $|E|^6$ , el enhancement no lineal puede ser de $10^8$ a $10^{12}$ . Eso es lo que hace la plasmónica no lineal tan potente — y es el tema del último artículo de este módulo.

Ejercicios

Ejercicio 1

Usa la visualización de arriba. Pon χ⁽²⁾ = 0.3 y χ⁽³⁾ = 0. Observa la forma de P(t). ¿Es simétrica respecto al eje horizontal? Ahora pon χ⁽²⁾ = 0 y χ⁽³⁾ = 0.3. ¿Cambia la simetría? Explica por qué usando la regla $P(-E) = -P(E)$ para materiales centrosimétricos.

Solución

Con χ⁽²⁾ > 0: P(t) es asimétrica — los picos positivos son más altos que los negativos (o viceversa). Hay un offset DC. Esto viola $P(-E) = -P(E)$ , por eso χ⁽²⁾ no puede existir en materiales centrosimétricos.

Con χ⁽³⁾ > 0: P(t) es simétrica — positivos y negativos se distorsionan por igual. Satisface $P(-E) = -P(E)$ , por eso χ⁽³⁾ existe en todos los materiales, incluidos los centrosimétricos.

Ejercicio 2

Un láser de Nd:YAG focalizado produce un campo de $E_0 = 10^9$ V/m en un cristal de KTP con $\chi^{(2)} = 16$ pm/V. Calcula el ratio $P^{(2)}/P^{(1)} = \chi^{(2)} E_0 / \chi^{(1)}$ , asumiendo $\chi^{(1)} \approx 3$ (KTP). ¿Es grande o pequeño?

Solución

$P^{(2)}/P^{(1)} = \chi^{(2)} E_0 / \chi^{(1)} = 16 \times 10^{-12} \times 10^9 / 3 \approx 5 \times 10^{-3}$ .

Medio porciento. Parece poco, pero como la eficiencia de SHG crece con $L^2$ (cristal largo) y $I$ (intensidad), un cristal de cm y un láser pulsado pueden convertir >50% de la potencia fundamental al segundo armónico.

Ejercicio 3

El vidrio de sílice tiene $\chi^{(2)} = 0$ (centrosimétrico) pero $\chi^{(3)} \approx 2.5 \times 10^{-22}$ m²/V². El índice no lineal es $n_2 = 3\chi^{(3)}/(4n^2\varepsilon_0 c) \approx 2.7 \times 10^{-20}$ m²/W. Si la intensidad dentro de una fibra óptica monomodo es $I = 10^{10}$ W/m² (1 W en un núcleo de 10 μm), ¿cuánto cambia el índice de refracción? ¿Tras cuántos kilómetros de fibra se acumula una fase no lineal de $\pi$ ?

Solución

$\Delta n = n_2 I = 2.7 \times 10^{-20} \times 10^{10} = 2.7 \times 10^{-10}$ .

Minúsculo. Pero la fase no lineal se acumula: $\phi_{\text{NL}} = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta n \cdot L$ . Para $\phi_{\text{NL}} = \pi$ :

$L = \frac{\lambda}{2 \Delta n} = \frac{1.55 \times 10^{-6}}{2 \times 2.7 \times 10^{-10}} \approx 2870$ m ≈ 3 km.

En 3 km de fibra, la fase no lineal es π — suficiente para distorsionar la señal. Eso es la automodulación de fase (SPM), que veremos en el artículo 05. A potencias mayores o con amplificadores (EDFA), la distancia se acorta a metros.