Efecto Purcell — Fotonario

En el artículo anterior calculamos $\Gamma_0$ , la tasa de decaimiento de un dipolo en un medio homogéneo infinito. Pero ningún emisor real vive en un medio infinito. Está cerca de una superficie, dentro de una cavidad, junto a una nanopartícula metálica. Y el entorno cambia la tasa de emisión — a veces por órdenes de magnitud. Eso es el efecto Purcell, y es uno de los fenómenos centrales de la nanofotónica.

La idea física

Un dipolo oscilante radia un campo. Ese campo se propaga, encuentra el entorno (una superficie, una cavidad, una nanopartícula) y parte de él regresa al punto del emisor. El dipolo siente su propio campo reflejado — el campo inducido $\mathbf{E}^{\text{ind}}$ . Ese campo modifica la potencia que el dipolo radia y, por tanto, su tasa de decaimiento.

La tasa de decaimiento total es:

\Gamma = \Gamma_0 + \frac{2}{\hbar}\,\text{Im}\!\left\{\mathbf{p}^* \cdot \mathbf{E}^{\text{ind}}(\mathbf{r}_0)\right\}

El primer término es la emisión en espacio libre. El segundo es la contribución del entorno: si $\text{Im}\{\mathbf{p}^* \cdot \mathbf{E}^{\text{ind}}\} > 0$ , el entorno aumenta la tasa de emisión (el dipolo radia más rápido). Si es negativo, la inhibe.

LDOS: la densidad local de estados

El campo inducido se expresa en términos de la función de Green del sistema: $E_i^{\text{ind}}(\mathbf{r}_0) = \frac{\omega^2}{\varepsilon_0 c^2}\sum_j G_{ij}^{\text{ind}}(\mathbf{r}_0,\mathbf{r}_0,\omega)\,p_j$ . Sustituyendo en la expresión de $\Gamma$ y sumando sobre orientaciones del dipolo:

\rho(\mathbf{r}_0, \omega) = \frac{2\omega}{\pi c^2}\,\text{Im}\!\left\{\text{Tr}\,\mathbf{G}(\mathbf{r}_0, \mathbf{r}_0, \omega)\right\}

Esta es la LDOS — la densidad local de estados ópticos. Mide cuántos «canales» tiene el emisor para radiar a esa frecuencia en ese punto del espacio. En espacio libre, la LDOS es suave y uniforme. Cerca de una estructura nanofotónica, tiene picos — los modos del sistema.

Conexión directa: en M03-04 vimos que EELS mide la LDOS proyectada. Ahora vemos el otro lado: la LDOS también determina la emisión espontánea. El mismo objeto matemático gobierna ambos fenómenos.

Factor de Purcell

El factor de Purcell cuantifica el efecto del entorno:

F_P = \frac{\Gamma}{\Gamma_0}

$F_P > 1$ : el entorno aumenta la emisión (enhancement). $F_P < 1$ : la inhibe. Para un emisor en espacio libre, $F_P = 1$ por definición.

Dipolo cerca de una superficie plana

El caso más simple y revelador: un dipolo a una distancia $z_0$ de una interfaz plana entre dos medios. El campo reflejado se calcula expandiendo el campo del dipolo en ondas planas y aplicando los coeficientes de Fresnel a cada componente:

\frac{\Gamma}{\Gamma_0} = 1 + \frac{3}{2}\,\text{Re}\int_0^{\infty} \frac{k_\parallel\,dk_\parallel}{k_z}\left[\left(1-\frac{k_\parallel^2}{k^2}\right)r_s + \left(1-\frac{k_\parallel^2}{k^2}\right)r_p + \frac{2k_\parallel^2}{k^2}r_p\right]e^{2ik_z z_0}

No necesitas memorizar esta fórmula. Lo importante es la física que contiene:

Tres regímenes según la distancia

La integral cubre tres rangos de $k_\parallel$ :

1. $k_\parallel < k$ (ondas propagantes): Estas contribuciones oscilan con $z_0$ — son interferencia entre el campo directo y el reflejado. A distancias $z_0 \gtrsim \lambda$ , la tasa de decaimiento oscila alrededor de $\Gamma_0$ . Es el análogo cuántico de las franjas de un espejo de Lloyd.

2. $k_\parallel \approx k_{\text{SPP}}$ (plasmón de superficie): Si la superficie es metálica, $r_p$ tiene un polo en $k_\parallel = k_{\text{SPP}}$ — el SPP. El dipolo puede emitir directamente al plasmón de superficie. Esto aumenta $\Gamma$ significativamente a distancias $z_0 \sim 10\text{–}100$ nm.

3. $k_\parallel \gg k$ (ondas evanescentes de alto momento): Estas componentes tienen $k_z$ imaginario puro — decaen exponencialmente. En un metal, son absorbidas (generan calor). A distancias $z_0 \lesssim 5$ nm, esta contribución domina y $\Gamma$ diverge como $1/z_0^3$ . Pero la energía se disipa como calor, no como fotones: es quenching.

Resultado neto para un emisor cerca de un metal:

Lejos ( $z_0 > \lambda$ ): $F_P \approx 1$ con oscilaciones.
Distancia intermedia ( $10 < z_0 < 100$ nm): enhancement por acoplamiento al SPP. $F_P \sim 5\text{–}50$ .
Muy cerca ( $z_0 < 5$ nm): quenching. $F_P \to \infty$ pero la emisión es no radiativa — el emisor se «apaga».

Hay un óptimo: la distancia donde el enhancement es máximo y la emisión sigue siendo radiativa. Típicamente 10–30 nm para metales nobles.

Explorar

Metal

Orientación dipolo

Factor de Purcell vs distancia a superficie metálica

Tres regímenes: quenching (d < 5 nm, no radiativo), SPP enhancement (10-100 nm), y campo libre (d > λ).

Purcell en una cavidad

El resultado más conocido de Purcell (1946) es para un emisor en una cavidad resonante con factor de calidad $Q$ y volumen modal $V$ :

F_P = \frac{3}{4\pi^2}\,Q\,\frac{(\lambda/n)^3}{V}

Dos botones de sintonía:

Q alto: la cavidad atrapa la luz por mucho tiempo, el campo se acumula, el dipolo ve un campo intenso. Cavidades Fabry-Pérot con $Q \sim 10^4$ : $F_P \sim 10$ . Microcavidades de cristal fotónico con $Q \sim 10^6$ : $F_P \sim 10^3$ .
V pequeño: confinar la luz en un volumen menor que $(\lambda/n)^3$ aumenta la densidad de energía. Cavidades plasmónicas pueden tener $V \sim 10^{-3}(\lambda/n)^3$ , compensando un Q moderado ( $\sim 10$ ) para dar $F_P \sim 10^3$ .

De la LDOS a la fórmula de Purcell para cavidades

Una cavidad con frecuencia de resonancia $\omega_c$ y factor de calidad $Q$ tiene una LDOS lorentziana:

\rho(\omega) \propto \frac{Q/\omega_c}{1 + 4Q^2(\omega-\omega_c)^2/\omega_c^2}

En resonancia ( $\omega = \omega_c$ ) y con el emisor en el máximo del campo, la LDOS se enhance por un factor:

\frac{\rho_{\text{cav}}}{\rho_0} = \frac{3}{4\pi^2}\,Q\,\frac{(\lambda/n)^3}{V}

El $Q$ aparece porque la resonancia estrecha concentra la densidad de estados en un rango estrecho de frecuencias. El $1/V$ aparece porque comprimir el modo en un volumen menor aumenta la densidad de energía. La competencia entre $Q$ (temporal) y $V$ (espacial) define dos paradigmas de nanofotónica: cavidades dieléctricas (alto Q, V grande) vs. cavidades plasmónicas (bajo Q, V minúsculo).

Purcell plasmónico vs. dieléctrico

Los dos paradigmas del efecto Purcell en nanofotónica:

Dieléctrico (microcavidades, cristales fotónicos): $Q \sim 10^4\text{–}10^6$ , $V \sim (\lambda/n)^3$ . Enhancement alto, pero hay que sintonizar la frecuencia del emisor con la cavidad. Ancho de banda estrecho.
Plasmónico (gaps, nanotips, bowties): $Q \sim 5\text{–}20$ , $V \sim 10^{-3}\text{–}10^{-5}(\lambda/n)^3$ . Enhancement comparable o mayor, ancho de banda amplio, pero las pérdidas óhmicas convierten parte de la energía en calor.

El cociente $Q/V$ es lo que importa. Los plasmones ganan en $V$ lo que pierden en $Q$ . Para aplicaciones de emisión de fotón único rápido, la opción plasmónica puede ser preferible: tiempos de vida subnanosegundo (GHz de repetición), aunque con eficiencia cuántica reducida por el quenching.

Aplicaciones

Fuentes de fotón único: nanodiamantes con centros NV acoplados a antenas plasmónicas. $F_P \sim 70$ demostrado experimentalmente (Akselrod et al., Nature Photonics, 2014).
LEDs: acoplar el emisor a un modo plasmónico que reemite radiativamente. Se gana en velocidad de modulación (>GHz).
Sensores: la tasa de decaimiento depende del entorno — un cambio en $n$ del medio se detecta como cambio en $\tau$ .

Ejercicios

Ejercicio 1

Una cavidad de cristal fotónico tiene $Q = 5 \times 10^4$ y $V = 0.5\,(\lambda/n)^3$ . Calcula el factor de Purcell. Si el emisor tiene un tiempo de vida en espacio libre de $\tau_0 = 10$ ns, ¿cuál es el nuevo tiempo de vida en la cavidad?

Solución

F_P = \frac{3}{4\pi^2} \times \frac{5 \times 10^4}{0.5} = \frac{3 \times 10^5}{4\pi^2} \approx 7600

\tau = \tau_0/F_P = 10\,\text{ns}/7600 \approx 1.3

ps. Un picosegundo de tiempo de vida — tres órdenes de magnitud más rápido. En la práctica, el acoplamiento perfecto (emisor en el máximo del campo, frecuencia exacta) es difícil de lograr, y

F_P

efectivo suele ser 10-100× menor que el ideal.

Ejercicio 2

Un emisor está a una distancia $z_0 = 3$ nm de una superficie de oro. A esa distancia, el decaimiento es dominado por el quenching (transferencia de energía no radiativa al metal). Si la tasa total de decaimiento es $\Gamma = 500\,\Gamma_0$ pero solo el 2% de la energía se emite como fotones, calcula la tasa de emisión radiativa $\Gamma_{\text{rad}}$ y la eficiencia cuántica efectiva.

Solución

\Gamma_{\text{rad}} = 0.02 \times 500\,\Gamma_0 = 10\,\Gamma_0

. La eficiencia cuántica es

\eta = \Gamma_{\text{rad}}/\Gamma = 10/500 = 2\%

. Paradoja:

F_P = 500

suena impresionante, pero el emisor es casi completamente no radiativo. La tasa radiativa sí aumentó (×10), pero la no radiativa aumentó mucho más (×490). A 3 nm del metal, el quenching destruye la utilidad del enhancement. Por eso la distancia óptima es 10-30 nm.