Plasmones 2D y grafeno

Todo lo que hemos visto hasta ahora — plasmones localizados, SPPs, efecto Purcell, arrays — se aplica a metales tridimensionales: oro, plata, aluminio. Pero la plasmónica no necesita un volumen de metal. Un gas de electrones 2D — electrones confinados a moverse en un plano — soporta plasmones con propiedades radicalmente distintas. Y el material que mejor realiza esa idea es el grafeno.

Plasmones en 3D vs. 2D

En un metal 3D (M03-01), la frecuencia del plasmón de volumen es:

\omega_p = \sqrt{\frac{ne^2}{\varepsilon_0 m}} \qquad \text{(constante, no depende de }q\text{)}

El plasmón de volumen tiene una frecuencia fija, independiente del vector de onda $q$ . Los SPPs en una interfaz tienen una dispersión que se satura en $\omega_p/\sqrt{2}$ .

En 2D, la situación es completamente distinta. La relación de dispersión del plasmón 2D es:

\omega_{2D}(q) = \sqrt{\frac{n_{2D}\,e^2\,q}{2\varepsilon_0\,\bar{\varepsilon}\,m^*}}

donde $n_{2D}$ es la densidad de electrones por unidad de área, $m^*$ la masa efectiva, $\bar{\varepsilon}$ la permitividad promedio del entorno, y $q$ el vector de onda del plasmón.

La diferencia clave: $\omega \propto \sqrt{q}$ . No hay frecuencia de corte inferior — el plasmón 2D existe a todas las frecuencias, con $\omega \to 0$ cuando $q \to 0$ . Y para cualquier frecuencia dada, el vector de onda $q$ del plasmón es mucho mayor que el del fotón ( $q_{\text{fotón}} = \omega/c$ ). Eso significa una confinación extrema: $\lambda_{\text{plasmon}} \ll \lambda_{\text{foton}}$ .

Dispersión del plasmón 2D clásico

Para un gas 2D con conductividad de Drude $\sigma(\omega) = i n_{2D} e^2 / (m^*\omega)$ , la condición de existencia del plasmón es que el campo autosostenido satisfaga la ecuación de continuidad y las condiciones de contorno. El resultado es la relación de dispersión implícita:

1 + \frac{i\sigma(\omega)\,q}{2\varepsilon_0\bar{\varepsilon}\,\omega} = 0

Sustituyendo $\sigma$ :

1 - \frac{n_{2D}\,e^2\,q}{2\varepsilon_0\bar{\varepsilon}\,m^*\,\omega^2} = 0 \quad \Rightarrow \quad \omega^2 = \frac{n_{2D}\,e^2\,q}{2\varepsilon_0\bar{\varepsilon}\,m^*}

La dependencia $\omega \propto \sqrt{q}$ es consecuencia directa de la naturaleza 2D: la interacción de Coulomb en 2D tiene una transformada de Fourier que escala como $1/q$ (en vez de $1/q^2$ en 3D), y eso cambia la dispersión de $\omega = \text{const.}$ a $\omega \propto \sqrt{q}$ .

Grafeno: lo que cambia

El grafeno no es un gas 2D ordinario. Sus electrones tienen una dispersión lineal ( $E = \hbar v_F |k|$ , con $v_F \approx 10^6$ m/s) en lugar de la dispersión parabólica de un gas de electrones convencional. Son «fermiones de Dirac sin masa». Esto tiene consecuencias profundas para la conductividad óptica y, por tanto, para los plasmones.

La conductividad de grafeno en la aproximación intra-banda (válida para $\hbar\omega \ll 2E_F$ ) es:

\sigma(\omega) = \frac{ie^2 E_F}{\pi\hbar^2(\omega + i\gamma)}

donde $E_F$ es la energía de Fermi y $\gamma$ la tasa de amortiguamiento. Comparada con la conductividad de Drude 2D convencional ( $\sigma = in_{2D}e^2/(m^*\omega)$ ), la diferencia es que en grafeno $n_{2D}$ y $m^*$ se reemplazan por $E_F$ — que es eléctricamente sintonizable.

La dispersión del plasmón en grafeno:

\omega(q) = \sqrt{\frac{e^2 E_F\,q}{2\pi\varepsilon_0\bar{\varepsilon}\,\hbar^2}}

Sigue siendo $\omega \propto \sqrt{q}$ , pero ahora también $\omega \propto E_F^{1/2} \propto n^{1/4}$ . La frecuencia del plasmón depende de la densidad de electrones — y esa densidad se controla con un voltaje.

Confinación extrema

¿Cuánto se confina el plasmón en grafeno? Comparemos la longitud de onda del plasmón con la del fotón a la misma frecuencia:

Se despeja de la dispersión de arriba, sin trucos: $q = 2\pi\varepsilon_0\bar{\varepsilon}\hbar^2\omega^2/(e^2E_F)$ , y con $\lambda_{\text{pl}} = 2\pi/q$ , $\lambda_0 = 2\pi c/\omega$ y $e^2 = 4\pi\varepsilon_0\hbar c\,\alpha_{\text{fs}}$ :

\frac{\lambda_{\text{plasmon}}}{\lambda_{\text{foton}}} = \frac{2\alpha_{\text{fs}}\,E_F}{\bar{\varepsilon}\,\hbar\omega}

donde $\alpha_{\text{fs}} = e^2/(4\pi\varepsilon_0\hbar c) \approx 1/137$ es la constante de estructura fina. $E_F$ va arriba, y conviene detenerse en eso un segundo porque es el signo de la física: subir el dopaje sube $E_F$ , y eso afloja la confinación —el plasmón se parece más al fotón—, no la aprieta. La puerta que sintoniza la frecuencia sintoniza también cuánto se comprime, y en sentidos opuestos.

Para $E_F = 0.4$ eV, $\hbar\omega = 0.1$ eV (infrarrojo medio) y grafeno sobre SiO₂, donde el medio efectivo es la media del sustrato y el aire, $\bar{\varepsilon} \approx 2.5$ :

\frac{\lambda_{\text{plasmon}}}{\lambda_{\text{foton}}} = \frac{2 \times (1/137) \times 0.4}{2.5 \times 0.1} \approx \frac{1}{43}

Un fotón de infrarrojo medio ( $\lambda = 12$ $\mu$ m) se comprime en un plasmón de ~280 nm. Suspendido, sin sustrato ( $\bar{\varepsilon} = 1$ ), la razón sube a 1/17 y el plasmón mide ~700 nm: el sustrato ayuda a confinar. Y ese 40-60× es justo lo que midieron Fei et al. y Chen et al. en 2012 con microscopía de campo cercano — el número no es una promesa teórica, está fotografiado. Los SPPs de un metal noble en el infrarrojo medio apenas se despegan de la línea de luz ( $\lambda_{\text{spp}} \approx \lambda_0$ ), así que el grafeno gana ahí más de un orden de magnitud.

Explorar

Energía de Fermi E_F (eV) 0.40

Dispersión del plasmón en grafeno: ω ∝ √q vs. línea de luz

La curva del plasmón está muy por debajo de la línea de luz: confinación ~100× y sintonizable con E_F.

Sintonización eléctrica

La característica más disruptiva del grafeno para la nanofotónica: la energía de Fermi se controla aplicando un voltaje de puerta ( $V_g$ ) a través de un dieléctrico.

Más voltaje → más electrones → mayor $E_F$ → frecuencia del plasmón se desplaza al azul. La sintonización es continua, rápida (limitada por la constante RC del circuito, ~GHz) y reversible. No hay nada comparable en plasmónica de metales nobles: una nanopartícula de oro tiene su resonancia fijada por la geometría y el material. No se puede cambiar in situ.

En números: variando $E_F$ de 0.2 a 0.6 eV (factible experimentalmente), la frecuencia del plasmón cambia por un factor $\sqrt{3} \approx 1.7$ — casi una octava en frecuencia.

Plasmones en nanoestructuras de grafeno

Igual que una nanopartícula metálica confina un SPP en un LSPR, una nanoestructura de grafeno confina el plasmón 2D:

Nanocintas (nanoribbons): grafeno cortado en tiras de ancho $W$ . Los plasmones se cuantizan con $q_n \approx n\pi/W$ ( $n = 1, 2, 3, \ldots$ ). Resonancias en el infrarrojo medio para $W \sim 50\text{–}200$ nm.
Nanodiscos: modos localizados análogos a los de una nanopartícula. Los eigenmodos del artículo 04 se aplican: la geometría del disco fija los eigenvalores, $E_F$ fija las frecuencias.
Arrays de nanoestructuras: resonancias colectivas tipo artículo 03, pero sintonizables eléctricamente.

Modos cuantizados en una nanocinta

Una nanocinta de ancho $W$ impone condiciones de contorno al plasmón 2D. En la aproximación más simple, los bordes actúan como paredes perfectas y el vector de onda transversal se cuantiza:

q_n = \frac{n\pi}{W}, \quad n = 1, 2, 3, \ldots

Sustituyendo en la relación de dispersión del plasmón en grafeno:

\omega_n = \sqrt{\frac{e^2 E_F}{2\pi\varepsilon_0\bar{\varepsilon}\hbar^2}\cdot\frac{n\pi}{W}} \propto \sqrt{\frac{n\,E_F}{W}}

La frecuencia escala como $1/\sqrt{W}$ — cintas más estrechas tienen resonancias a frecuencias más altas. Para $W = 100$ nm y $E_F = 0.4$ eV suspendida ( $\bar{\varepsilon} = 1$ ), el modo fundamental ( $n=1$ ) cae en ~1500 cm $^{-1}$ (~6.7 $\mu$ m), en el infrarrojo medio.

Y el sustrato manda tanto como la anchura. Como $\omega \propto 1/\sqrt{\bar{\varepsilon}}$ , esa misma cinta depositada sobre SiO₂ —donde el medio efectivo es $\bar{\varepsilon} \approx 2{,}5$ , el valor que usa la sección anterior— baja a 950 cm⁻¹, es decir de 6,7 a 10,5 μm. No es un matiz: mueve la resonancia una banda entera del infrarrojo. Cualquier cifra de nanocinta que no diga sobre qué está apoyada la cinta está a medias.

Aplicaciones

Filtros sintonizables en infrarrojo medio: arrays de nanocintas de grafeno sobre un sustrato con electrodo de puerta. Cambiando $V_g$ , se desplaza la frecuencia de absorción. Moduladores ópticos controlados eléctricamente a frecuencias de THz-IR.
Biosensores: la confinación extrema del plasmón concentra el campo en ~10 nm sobre la superficie. Una molécula adsorbida cambia localmente $\bar{\varepsilon}$ y desplaza la resonancia. La sensibilidad por molécula es potencialmente superior a la de nanopartículas metálicas.
Espectroscopía molecular amplificada: los plasmones de grafeno operan en el infrarrojo medio, donde están las vibraciones moleculares. El campo plasmónico amplifica la señal IR de moléculas individuales (SEIRA).
Fotónica integrada: plasmones de grafeno como componentes de circuitos fotónicos on-chip. Ventaja: la sintonización eléctrica permite reconfigurar el circuito sin cambiar la geometría.

3D vs. 2D: tabla comparativa

Las diferencias fundamentales entre plasmones en metales 3D (M03) y en grafeno:

Dispersión: 3D: $\omega = \omega_p$ (constante). 2D: $\omega \propto \sqrt{q}$ (sin frecuencia mínima).
Confinación: 3D (SPP): $\lambda_{\text{SPP}}/\lambda \sim 0.5\text{–}0.9$ . 2D (grafeno): $\lambda_{\text{pl}}/\lambda \sim 1/100$ .
Sintonización: 3D: fijada por geometría + material. 2D: eléctrica, continua, reversible.
Rango espectral: 3D (Au, Ag): visible + IR cercano. 2D (grafeno): infrarrojo medio + THz.
Pérdidas: 3D: interbanda + Drude. 2D: fonones del sustrato + impurezas + interbanda ( $\hbar\omega > 2E_F$ ).

Resumen del módulo y del Fotonario

Con este artículo cerramos el módulo de Nanofotónica avanzada y, con él, el Fotonario. El recorrido ha sido largo: desde los fundamentos de la óptica de Fourier y la respuesta electromagnética de la materia, pasando por guías de onda, láseres, plasmónica, óptica no lineal y fotónica integrada, hasta las herramientas teóricas avanzadas de la nanofotónica.

Los seis artículos de este módulo forman un arco: el dipolo como ladrillo fundamental (01), la modificación de su emisión por el entorno (02), la respuesta colectiva de arrays periódicos (03), la descomposición en eigenmodos universales (04), la hibridación de modos (05), y finalmente los plasmones en sistemas 2D (06). Cada pieza se construye sobre las anteriores y sobre los módulos previos del Fotonario.

Ejercicios

Ejercicio 1

Un plasmón en grafeno con $E_F = 0.3$ eV opera a $\hbar\omega = 0.12$ eV (infrarrojo medio, $\lambda \approx 10.3$ $\mu$ m) en un medio con $\bar{\varepsilon} = 2.5$ . Calcula la razón $\lambda_{\text{plasmon}}/\lambda_{\text{foton}}$ y la longitud de onda del plasmón en nanómetros.

Solución

\lambda_{\text{pl}}/\lambda = 2\alpha E_F/(\bar{\varepsilon}\hbar\omega) = 2\times(1/137)\times 0.3/(2.5\times 0.12) = 0.0146\times(0.3/0.3) \approx 0.0146

\lambda_{\text{pl}} = 0.0146 \times 10300 \approx 150

nm. Un fotón de 10

\mu

m se comprime en un plasmón de 150 nm — un factor ~69 de confinación. Esa es la ventaja del grafeno: confinación extrema en el infrarrojo, donde los metales nobles no tienen plasmones útiles. Y es un número que se puede contrastar: Fei et al. y Chen et al. midieron en 2012 plasmones de unos 200 nm a ~10 μm, mismo orden.

Ejercicio 2

Si en el ejercicio anterior aumentas $E_F$ de 0.3 a 0.6 eV aplicando un voltaje de puerta, ¿cómo cambia la frecuencia del plasmón al mismo $q$ ? ¿Y el factor de confinación $\lambda_{\text{pl}}/\lambda$ ?

Solución

\omega \propto \sqrt{E_F}

, así que

\omega_{\text{new}}/\omega_{\text{old}} = \sqrt{0.6/0.3} = \sqrt{2} \approx 1.41

. La frecuencia del plasmón aumenta un 41% (se desplaza al azul). Para el factor de confinación no hace falta ni la fórmula cerrada, y así no hay dónde equivocarse: a

q

fijo,

\lambda_{\text{pl}} = 2\pi/q

no cambia, mientras que

\lambda_{\text{foton}} = 2\pi c/\omega

se acorta en ese mismo

\sqrt{2}

. El cociente, por tanto, sube en

\sqrt{2}

0.0146 \times \sqrt{2} \approx 0.0206

, es decir ~1/48 frente al 1/69 de partida.

Subir

E_F

confina menos, y la fórmula cerrada lo confirma:

\lambda_{\text{pl}}/\lambda = 2\alpha E_F/(\bar{\varepsilon}\hbar\omega) \propto E_F/\hbar\omega

, y

E_F

se duplica mientras

\hbar\omega

solo crece

\sqrt{2}

. La misma puerta que desplaza el plasmón al azul lo desconfina: son dos efectos de un solo mando, y en diseño hay que negociarlos.

Ejercicio 3

Una nanocinta de grafeno de ancho $W = 80$ nm con $E_F = 0.4$ eV tiene su modo fundamental a ~1600 cm $^{-1}$ . Si quieres desplazar ese modo a 1200 cm $^{-1}$ sin cambiar la geometría, ¿a qué valor de $E_F$ debes ajustar el voltaje de puerta?

Solución

\omega \propto \sqrt{E_F}

q

fijo, determinado por

W

). Queremos

\omega_{\text{new}}/\omega_{\text{old}} = 1200/1600 = 0.75

. Entonces

E_F^{\text{new}} = E_F^{\text{old}} \times 0.75^2 = 0.4 \times 0.5625 = 0.225

eV. Hay que reducir

E_F

a ~0.23 eV, lo cual se logra disminuyendo el voltaje de puerta. Esto demuestra la ventaja del grafeno: sintonización in situ de la resonancia sin fabricar una nueva muestra.

Resumen en frío · Nanofotónica

Lo que el curso deja utilizable, con el artículo donde se dedujo cada cosa. La nanofotónica se hace de anclas concretas — un factor de Purcell, un eigenvalor geométrico, una energía de Fermi —, así que la tabla las lleva dentro: si para resolver un problema del curso hay que volver al texto a buscar un número, esta tabla ha fallado.

Qué	Fórmula o valor	Dónde
Aproximación dipolar	p = −e⟨ψ_f\|r\|ψ_i⟩. Vale mientras a ≪ λ: átomo ~0,1 nm y punto cuántico ~5 nm frente a λ ~500 nm. A 100 nm la corrección cuadrupolar ya es del ~10 %	art. 01
Campo y patrón del dipolo	E ∝ (k²/4πε₀ε_h)(e^ikr/r)(r̂×p)×r̂ con k = √ε_h·ω/c: cae como 1/r y es transversal. dP/dΩ ∝ sen²θ (toroide, cero en el eje); promediado en orientaciones, ⟨sen²θ⟩ = 2/3, isotrópico	art. 01, ej. 3
Potencia radiada (Larmor)	P = √ε_h·k³ω p²/(3πε₀) ∝ ω⁴: un dipolo en el azul de 450 nm radia (700/450)⁴ ≈ 5,8 veces más que en el rojo de 700 nm. Eso es la dispersión Rayleigh	art. 01, ej. 2
Tasa de decaimiento libre	Γ₀ = 4√ε_h·k³p²/(3ħ) (gaussianas) = ω₀³\|d₁₂\|²/(3πε₀ħc³) (SI, vacío; ×n en un medio de índice n) = coeficiente A de Einstein. Emisor visible típico: Γ₀ ~10⁸ s⁻¹, τ ~10 ns; punto cuántico de CdSe ~20 ns; centro NV en diamante ~12 ns	art. 01
Punto cuántico de CdSe, cerrado	p = 6 D (1 D = 3,34×10⁻³⁰ C·m), λ = 620 nm, n = 1,5: k = 1,52×10⁷ m⁻¹, ω = 3,04×10¹⁵ rad/s → Γ₀ = ω³np²/(3πε₀ħc³) ≈ 7,1×10⁷ s⁻¹, τ ≈ 14 ns	art. 01, ej. 1
Tasa con entorno y factor de Purcell	Γ = Γ₀ + (2/ħ)·Im(p*·E^ind(r₀)) — el dipolo siente su propio campo reflejado. F_P = Γ/Γ₀: vale 1 en espacio libre, mayor que 1 es enhancement, menor es inhibición	art. 02
LDOS	ρ(r₀,ω) = (2ω/πc²)·Im(Tr G(r₀,r₀,ω)): cuenta los canales de radiación en ese punto y esa frecuencia. Es la misma magnitud que mide EELS	art. 02
Emisor frente a un metal, por distancia	z₀ mayor que λ: F_P ≈ 1 oscilando · 10–100 nm: F_P ~5–50 por acoplo al SPP · z₀ menor que 5 nm: Γ diverge como 1/z₀³ pero en calor (quenching). Óptimo práctico 10–30 nm	art. 02
Purcell en cavidad	F_P = (3/4π²)·Q·(λ/n)³/V. Dieléctrico: Q ~10⁴–10⁶ con V ~(λ/n)³. Plasmónico: Q ~5–20 con V ~10⁻³–10⁻⁵(λ/n)³. Los dos llegan a F_P ~10³ — lo que manda es Q/V	art. 02
Purcell y quenching, cerrados	Q = 5×10⁴ con V = 0,5(λ/n)³ → F_P ≈ 7600, y τ₀ = 10 ns pasa a 1,3 ps. A 3 nm de oro, Γ = 500Γ₀ con un 2 % radiativo → Γ_rad = 10Γ₀ y η = 2 %	art. 02, ej. 1 y 2
Purcell real frente al ideal	El F_P efectivo es 10–100× menor que el ideal (el emisor no está ni en el máximo del campo ni en frecuencia exacta): el récord medido es F_P ~70, centro NV en nanodiamante sobre antena plasmónica (Akselrod, 2014)	art. 02
Array como dipolos acoplados	p = (α⁻¹ − 𝒢)⁻¹E_ext, con la suma de red 𝒢(K,ω) = Σ_(R≠0) G₀(R)e^(iK·R). Resonancia colectiva donde Re[α⁻¹ − 𝒢] = 0	art. 03
Anomalía de Rayleigh	El orden (m,n) deja de propagar en \|K + G_mn\| = k₀; ahí 𝒢 = (1/A)Σ 1/k_z,mn diverge como 1/√(ω − ω_RA). A incidencia normal, λ_RA = n·a: array de a = 500 nm en n = 1,5 → 750 nm	art. 03, ej. 1
Estrechamiento por la red (SLR)	Nanopartícula de oro aislada: γ ~0,1 eV, ancho ~80 nm en λ, Q ~5–15. Array con a = 400–600 nm: ancho menor de 5 nm y Q ~100–500 — un factor 10–20× sin tocar el material	art. 03
Sensado refractométrico	Sensibilidad ~400 nm/RIU y FOM = S/FWHM ∝ Q: con Q_SLR = 200 frente a Q_LSPR = 8, la FOM mejora ×25	art. 03, ej. 2
Transmisión extraordinaria (EOT)	Agujeros subwavelength transmiten más que la ley de Bethe (∝ (d/λ)⁴) porque la red acopla la luz al SPP: k_SPP = k₀·senθ + m·2π/a_x + n·2π/a_y (Ebbesen, 1998)	art. 03
Geometría y material, separados	Ẽ = Ẽ^ext + η·M·Ẽ con η = (ε − ε_m)/(ε + ε_m): el operador M depende solo de la forma y el contraste dieléctrico η se lleva todo el material y la frecuencia. Resonancia donde η(ω) = η_n. Exacto si a ≪ λ; el retardo entra hacia a ~λ/10	art. 04
Eigenmodos de la esfera	η_l = 1/(2l+1), degeneración (2l+1): l = 1 da ε = −2ε_m (el «−2» de la LSPR), l = 2 da ε = −1,5ε_m, y l → ∞ da ε = −ε_m, el plasmón de superficie plana	art. 04
Esfera de plata con Drude	Con ε(ω) = 1 − ω_p²/ω² y ω_p = 9,0 eV en aire, ω_l = ω_p/√((2l+1)/l): 5,20 eV (l = 1), 5,69 eV (l = 2), 5,89 eV (l = 3), y el límite ω_p/√2 = 6,36 eV	art. 04, ej. 1
Qué modo es más plasmónico	η mayor pide \|ε\| mayor: resuena más al rojo y concentra más campo. Nanocubo: η_esquina = 0,85 frente a η_cara = 0,25. En partículas convexas 0 < η_n ≤ 1, con Σ_n η_n = 1	art. 04, ej. 2
Cambiar de material no cambia los modos	Un nanotriángulo de oro y uno de plata comparten eigenmodos e_n y eigenvalores η_n; solo cambia η(ω), que decide a qué frecuencia se enciende cada patrón	art. 04, ej. 3
Hibridación del dímero	ω± = ω₀√(1 ∓ Δ/d³), desdoblamiento ∝ 1/d³. Bonding (dipolos en fase): al rojo, dipolo neto grande, brillante. Antibonding (en contrafase): al azul, dipolo neto cero, oscuro	art. 05
Dónde falla el acoplo dipolar puro	En d − 2a ≲ a/5 (a = radio) entran los multipolos l = 2, 3, 4… y el bonding se va al rojo más deprisa que 1/d³	art. 05
Dímero de oro, cerrado	a = 40 nm y LSPR en λ₀ = 530 nm: δλ = 20 nm a d = 100 nm pasa a 20×(100/85)³ ≈ 33 nm a d = 85 nm — bonding ~547 nm, antibonding ~514 nm	art. 05, ej. 1
Nanoshell	Hibrida esfera maciza ω_l^sp = ω_p√(l/(2l+1)) con cavidad ω_l^cav = ω_p√((l+1)/(2l+1)), acoplo ∝ (a/b)^(2l+1). Con a/b = 0,9 y l = 1: ω₋ ≈ 0,36ω_p frente a 0,58ω_p de la esfera maciza	art. 05
Sintonía de la nanoshell	De ~530 nm (esfera de oro maciza de 50 nm) a más de 1000 nm. Con a = 45 nm y b = 50 nm (a/b = 0,9) cae en 700–900 nm, dentro de la ventana terapéutica del tejido (700–1100 nm)	art. 05, ej. 2
Hotspot y SERS	\|E_gap\|/\|E₀\| ∝ (a/g)^s con s ≈ 1–2, y la señal SERS va como \|E\|⁴ ∝ (a/g)^(4s). Entre un gap de 1 nm y uno de 10 nm se juega ver o no ver una molécula	art. 05
Plasmón 2D frente al 3D	ω_2D(q) = √(n_2D·e²q/(2ε₀ε̄m*)) ∝ √q, sin frecuencia mínima. En 3D, ω_p = √(ne²/ε₀m) es constante y el SPP satura en ω_p/√2	art. 06
Conductividad del grafeno	Dispersión lineal E = ħv_F\|k\| con v_F ≈ 10⁶ m/s, y σ(ω) = ie²E_F/(πħ²(ω + iγ)) mientras ħω ≪ 2E_F: E_F ocupa el sitio de n_2D y m* del gas 2D convencional	art. 06
Dispersión y sintonía eléctrica	ω(q) = √(e²E_F·q/(2πε₀ε̄ħ²)): ω ∝ √q y ω ∝ √E_F ∝ n^(1/4). Subir E_F de 0,2 a 0,6 eV con el voltaje de puerta mueve la frecuencia ×√3 ≈ 1,7, de forma continua, reversible y a ~GHz	art. 06
Confinación extrema	λ_plasmón/λ_fotón = 2α_fs·E_F/(ε̄·ħω) con α_fs = 1/137 — E_F arriba: más dopaje afloja la confinación. Con E_F = 0,4 eV, ħω = 0,1 eV y ε̄ = 2,5 (sobre SiO₂) sale 1/43: 12 μm comprimidos en ~280 nm, y ~700 nm si está suspendido. Medido por Fei y Chen en 2012	art. 06
Nanocintas de grafeno	q_n ≈ nπ/W → ω_n ∝ √(n·E_F/W). W = 100 nm con E_F = 0,4 eV: fundamental en ~1500 cm⁻¹ (~6,7 μm). Con W = 80 nm, bajar de 1600 a 1200 cm⁻¹ pide E_F = 0,4×0,75² = 0,225 eV	art. 06, ej. 3