Plasmones 2D y grafeno

Todo lo que hemos visto hasta ahora — plasmones localizados, SPPs, efecto Purcell, arrays — se aplica a metales tridimensionales: oro, plata, aluminio. Pero la plasmónica no necesita un volumen de metal. Un gas de electrones 2D — electrones confinados a moverse en un plano — soporta plasmones con propiedades radicalmente distintas. Y el material que mejor realiza esa idea es el grafeno.

Plasmones en 3D vs. 2D

En un metal 3D (M03-01), la frecuencia del plasmón de volumen es:

\omega_p = \sqrt{\frac{ne^2}{\varepsilon_0 m}} \qquad \text{(constante, no depende de }q\text{)}

El plasmón de volumen tiene una frecuencia fija, independiente del vector de onda $q$ . Los SPPs en una interfaz tienen una dispersión que se satura en $\omega_p/\sqrt{2}$ .

En 2D, la situación es completamente distinta. La relación de dispersión del plasmón 2D es:

\omega_{2D}(q) = \sqrt{\frac{n_{2D}\,e^2\,q}{2\varepsilon_0\,\bar{\varepsilon}\,m^*}}

donde $n_{2D}$ es la densidad de electrones por unidad de área, $m^*$ la masa efectiva, $\bar{\varepsilon}$ la permitividad promedio del entorno, y $q$ el vector de onda del plasmón.

La diferencia clave: $\omega \propto \sqrt{q}$ . No hay frecuencia de corte inferior — el plasmón 2D existe a todas las frecuencias, con $\omega \to 0$ cuando $q \to 0$ . Y para cualquier frecuencia dada, el vector de onda $q$ del plasmón es mucho mayor que el del fotón ( $q_{\text{fotón}} = \omega/c$ ). Eso significa una confinación extrema: $\lambda_{\text{plasmon}} \ll \lambda_{\text{foton}}$ .

Dispersión del plasmón 2D clásico

Para un gas 2D con conductividad de Drude $\sigma(\omega) = i n_{2D} e^2 / (m^*\omega)$ , la condición de existencia del plasmón es que el campo autosostenido satisfaga la ecuación de continuidad y las condiciones de contorno. El resultado es la relación de dispersión implícita:

1 + \frac{i\sigma(\omega)\,q}{2\varepsilon_0\bar{\varepsilon}\,\omega} = 0

Sustituyendo $\sigma$ :

1 - \frac{n_{2D}\,e^2\,q}{2\varepsilon_0\bar{\varepsilon}\,m^*\,\omega^2} = 0 \quad \Rightarrow \quad \omega^2 = \frac{n_{2D}\,e^2\,q}{2\varepsilon_0\bar{\varepsilon}\,m^*}

La dependencia $\omega \propto \sqrt{q}$ es consecuencia directa de la naturaleza 2D: la interacción de Coulomb en 2D tiene una transformada de Fourier que escala como $1/q$ (en vez de $1/q^2$ en 3D), y eso cambia la dispersión de $\omega = \text{const.}$ a $\omega \propto \sqrt{q}$ .

Grafeno: lo que cambia

El grafeno no es un gas 2D ordinario. Sus electrones tienen una dispersión lineal ( $E = \hbar v_F |k|$ , con $v_F \approx 10^6$ m/s) en lugar de la dispersión parabólica de un gas de electrones convencional. Son «fermiones de Dirac sin masa». Esto tiene consecuencias profundas para la conductividad óptica y, por tanto, para los plasmones.

La conductividad de grafeno en la aproximación intra-banda (válida para $\hbar\omega \ll 2E_F$ ) es:

\sigma(\omega) = \frac{ie^2 E_F}{\pi\hbar^2(\omega + i\gamma)}

donde $E_F$ es la energía de Fermi y $\gamma$ la tasa de amortiguamiento. Comparada con la conductividad de Drude 2D convencional ( $\sigma = in_{2D}e^2/(m^*\omega)$ ), la diferencia es que en grafeno $n_{2D}$ y $m^*$ se reemplazan por $E_F$ — que es eléctricamente sintonizable.

La dispersión del plasmón en grafeno:

\omega(q) = \sqrt{\frac{e^2 E_F\,q}{2\pi\varepsilon_0\bar{\varepsilon}\,\hbar^2}}

Sigue siendo $\omega \propto \sqrt{q}$ , pero ahora también $\omega \propto E_F^{1/2} \propto n^{1/4}$ . La frecuencia del plasmón depende de la densidad de electrones — y esa densidad se controla con un voltaje.

Confinación extrema

¿Cuánto se confina el plasmón en grafeno? Comparemos la longitud de onda del plasmón con la del fotón a la misma frecuencia:

\frac{\lambda_{\text{plasmon}}}{\lambda_{\text{foton}}} = \frac{2\pi/q}{\lambda} \approx \frac{2\alpha_{\text{fs}}\,\bar{\varepsilon}\,\hbar\omega}{E_F}

donde $\alpha_{\text{fs}} = e^2/(4\pi\varepsilon_0\hbar c) \approx 1/137$ es la constante de estructura fina. Para $E_F = 0.4$ eV y $\hbar\omega = 0.1$ eV (infrarrojo medio):

\frac{\lambda_{\text{plasmon}}}{\lambda_{\text{foton}}} \approx \frac{2 \times (1/137) \times 0.1}{0.4} \approx \frac{1}{274}

La longitud de onda del plasmón es ~1/300 de la del fotón. Un fotón de infrarrojo medio ( $\lambda = 12$ $\mu$ m) se comprime en un plasmón de ~40 nm. Eso es confinación a escalas 100 veces menores que lo que permiten los SPPs en metales nobles.

Explorar

Energía de Fermi E_F (eV) 0.40

Dispersión del plasmón en grafeno: ω ∝ √q vs. línea de luz

La curva del plasmón está muy por debajo de la línea de luz: confinación ~100× y sintonizable con E_F.

Sintonización eléctrica

La característica más disruptiva del grafeno para la nanofotónica: la energía de Fermi se controla aplicando un voltaje de puerta ( $V_g$ ) a través de un dieléctrico.

Más voltaje → más electrones → mayor $E_F$ → frecuencia del plasmón se desplaza al azul. La sintonización es continua, rápida (limitada por la constante RC del circuito, ~GHz) y reversible. No hay nada comparable en plasmónica de metales nobles: una nanopartícula de oro tiene su resonancia fijada por la geometría y el material. No se puede cambiar in situ.

En números: variando $E_F$ de 0.2 a 0.6 eV (factible experimentalmente), la frecuencia del plasmón cambia por un factor $\sqrt{3} \approx 1.7$ — casi una octava en frecuencia.

Plasmones en nanoestructuras de grafeno

Igual que una nanopartícula metálica confina un SPP en un LSPR, una nanoestructura de grafeno confina el plasmón 2D:

Nanocintas (nanoribbons): grafeno cortado en tiras de ancho $W$ . Los plasmones se cuantizan con $q_n \approx n\pi/W$ ( $n = 1, 2, 3, \ldots$ ). Resonancias en el infrarrojo medio para $W \sim 50\text{–}200$ nm.
Nanodiscos: modos localizados análogos a los de una nanopartícula. Los eigenmodos del artículo 04 se aplican: la geometría del disco fija los eigenvalores, $E_F$ fija las frecuencias.
Arrays de nanoestructuras: resonancias colectivas tipo artículo 03, pero sintonizables eléctricamente.

Modos cuantizados en una nanocinta

Una nanocinta de ancho $W$ impone condiciones de contorno al plasmón 2D. En la aproximación más simple, los bordes actúan como paredes perfectas y el vector de onda transversal se cuantiza:

q_n = \frac{n\pi}{W}, \quad n = 1, 2, 3, \ldots

Sustituyendo en la relación de dispersión del plasmón en grafeno:

\omega_n = \sqrt{\frac{e^2 E_F}{2\pi\varepsilon_0\bar{\varepsilon}\hbar^2}\cdot\frac{n\pi}{W}} \propto \sqrt{\frac{n\,E_F}{W}}

La frecuencia escala como $1/\sqrt{W}$ — cintas más estrechas tienen resonancias a frecuencias más altas. Para $W = 100$ nm y $E_F = 0.4$ eV, el modo fundamental ( $n=1$ ) cae en ~1500 cm $^{-1}$ (~6.7 $\mu$ m), en el infrarrojo medio.

Aplicaciones

Filtros sintonizables en infrarrojo medio: arrays de nanocintas de grafeno sobre un sustrato con electrodo de puerta. Cambiando $V_g$ , se desplaza la frecuencia de absorción. Moduladores ópticos controlados eléctricamente a frecuencias de THz-IR.
Biosensores: la confinación extrema del plasmón concentra el campo en ~10 nm sobre la superficie. Una molécula adsorbida cambia localmente $\bar{\varepsilon}$ y desplaza la resonancia. La sensibilidad por molécula es potencialmente superior a la de nanopartículas metálicas.
Espectroscopía molecular amplificada: los plasmones de grafeno operan en el infrarrojo medio, donde están las vibraciones moleculares. El campo plasmónico amplifica la señal IR de moléculas individuales (SEIRA).
Fotónica integrada: plasmones de grafeno como componentes de circuitos fotónicos on-chip. Ventaja: la sintonización eléctrica permite reconfigurar el circuito sin cambiar la geometría.

3D vs. 2D: tabla comparativa

Las diferencias fundamentales entre plasmones en metales 3D (M03) y en grafeno:

Dispersión: 3D: $\omega = \omega_p$ (constante). 2D: $\omega \propto \sqrt{q}$ (sin frecuencia mínima).
Confinación: 3D (SPP): $\lambda_{\text{SPP}}/\lambda \sim 0.5\text{–}0.9$ . 2D (grafeno): $\lambda_{\text{pl}}/\lambda \sim 1/100$ .
Sintonización: 3D: fijada por geometría + material. 2D: eléctrica, continua, reversible.
Rango espectral: 3D (Au, Ag): visible + IR cercano. 2D (grafeno): infrarrojo medio + THz.
Pérdidas: 3D: interbanda + Drude. 2D: fonones del sustrato + impurezas + interbanda ( $\hbar\omega > 2E_F$ ).

Resumen del módulo y del Fotonario

Con este artículo cerramos el módulo de Nanofotónica avanzada y, con él, el Fotonario. El recorrido ha sido largo: desde los fundamentos de la óptica de Fourier y la respuesta electromagnética de la materia, pasando por guías de onda, láseres, plasmónica, óptica no lineal y fotónica integrada, hasta las herramientas teóricas avanzadas de la nanofotónica.

Los seis artículos de este módulo forman un arco: el dipolo como ladrillo fundamental (01), la modificación de su emisión por el entorno (02), la respuesta colectiva de arrays periódicos (03), la descomposición en eigenmodos universales (04), la hibridación de modos (05), y finalmente los plasmones en sistemas 2D (06). Cada pieza se construye sobre las anteriores y sobre los módulos previos del Fotonario.

Ejercicios

Ejercicio 1

Un plasmón en grafeno con $E_F = 0.3$ eV opera a $\hbar\omega = 0.12$ eV (infrarrojo medio, $\lambda \approx 10.3$ $\mu$ m) en un medio con $\bar{\varepsilon} = 2.5$ . Calcula la razón $\lambda_{\text{plasmon}}/\lambda_{\text{foton}}$ y la longitud de onda del plasmón en nanómetros.

Solución

\lambda_{\text{pl}}/\lambda = 2\alpha\bar{\varepsilon}\hbar\omega/E_F = 2\times(1/137)\times 2.5\times 0.12/0.3 = 2\times 0.0073\times 0.4 \approx 0.0058

\lambda_{\text{pl}} = 0.0058 \times 10300 \approx 60

nm. Un fotón de 10

\mu

m se comprime en un plasmón de 60 nm — un factor ~170 de confinación. Esa es la ventaja del grafeno: confinación extrema en el infrarrojo, donde los metales nobles no tienen plasmones útiles.

Ejercicio 2

Si en el ejercicio anterior aumentas $E_F$ de 0.3 a 0.6 eV aplicando un voltaje de puerta, ¿cómo cambia la frecuencia del plasmón al mismo $q$ ? ¿Y el factor de confinación $\lambda_{\text{pl}}/\lambda$ ?

Solución

\omega \propto \sqrt{E_F}

, así que

\omega_{\text{new}}/\omega_{\text{old}} = \sqrt{0.6/0.3} = \sqrt{2} \approx 1.41

. La frecuencia del plasmón aumenta un 41% (se desplaza al azul). El factor de confinación

\lambda_{\text{pl}}/\lambda \propto \hbar\omega/E_F

: como

\omega

cambió pero

q

es el mismo,

\lambda_{\text{pl}}

no cambia, pero

\lambda_{\text{foton}}

disminuye (mayor frecuencia → menor

\lambda

). El factor

\lambda_{\text{pl}}/\lambda

aumenta a

\approx 0.0058 \times \sqrt{2} \approx 0.0082

. La confinación sigue siendo extrema (~1/120) pero algo menor que antes.

Ejercicio 3

Una nanocinta de grafeno de ancho $W = 80$ nm con $E_F = 0.4$ eV tiene su modo fundamental a ~1600 cm $^{-1}$ . Si quieres desplazar ese modo a 1200 cm $^{-1}$ sin cambiar la geometría, ¿a qué valor de $E_F$ debes ajustar el voltaje de puerta?

Solución

\omega \propto \sqrt{E_F}

q

fijo, determinado por

W

). Queremos

\omega_{\text{new}}/\omega_{\text{old}} = 1200/1600 = 0.75

. Entonces

E_F^{\text{new}} = E_F^{\text{old}} \times 0.75^2 = 0.4 \times 0.5625 = 0.225

eV. Hay que reducir

E_F

a ~0.23 eV, lo cual se logra disminuyendo el voltaje de puerta. Esto demuestra la ventaja del grafeno: sintonización in situ de la resonancia sin fabricar una nueva muestra.