Modos: las formas que cabe la luz

En el artículo anterior encontramos que la guía de onda solo admite ciertos valores discretos de $\beta$ — la constante de propagación. Cada uno corresponde a un modo, con su propio perfil de campo $E(x)$ . Pero, ¿qué aspecto tienen esos perfiles? ¿Cómo se calculan? ¿Y qué pasa cuando un modo desaparece?

El problema de eigenvalores

Buscar los modos de una guía es resolver un problema de eigenvalores: encontrar las funciones $E(x)$ que satisfacen la ecuación de onda en la sección transversal, con las condiciones de contorno correctas en las interfaces. Es el mismo tipo de problema que los modos normales de una cuerda vibrante — solo ciertas «formas» encajan.

Para una guía slab simétrica (revestimiento igual arriba y abajo), la ecuación de onda transversal se separa en dos familias:

Modos TE (transverso eléctrico): $E_y$ paralelo a las interfaces. Es la polarización que usamos en el artículo anterior.
Modos TM (transverso magnético): $H_y$ paralelo a las interfaces. La ecuación de eigenvalores es parecida pero con los índices intercambiados en la condición de contorno.

Dentro de cada familia, los modos se clasifican por su simetría:

Modos simétricos (TE₀, TE₂, TE₄...): $E(x) = E_0 \cos(\kappa x)$ dentro del núcleo. Campo máximo en el centro.
Modos antisimétricos (TE₁, TE₃, TE₅...): $E(x) = E_0 \sin(\kappa x)$ dentro del núcleo. Nodo en el centro.

Fuera del núcleo, el campo es siempre evanescente: $E(x) \propto e^{-\gamma|x|}$ .

La ecuación trascendente y su solución gráfica

La condición de continuidad de $E$ y $dE/dx$ en $x = \pm d/2$ da, para modos TE simétricos:

\kappa \tan\!\left(\frac{\kappa d}{2}\right) = \gamma

con la restricción $\kappa^2 + \gamma^2 = (n_1^2 - n_2^2) k_0^2$ , es decir $u^2 + w^2 = V^2$ (donde $u = \kappa d/2$ , $w = \gamma d/2$ ).

Gráficamente: las soluciones son los puntos donde la curva $w = u \tan u$ intersecta el círculo $u^2 + w^2 = V^2$ . Cada intersección es un modo. Si V es pequeño, el círculo solo corta una rama → un solo modo. Si V crece, corta más ramas → más modos.

Para modos antisimétricos: $w = -u \cot u$ , con las mismas intersecciones con el círculo de radio V.

Los perfiles de modo

El explorador de abajo resuelve la ecuación de eigenvalores numéricamente y muestra los perfiles de campo de cada modo TE. Ajusta los parámetros y observa cómo los modos aparecen y desaparecen:

Explorar

Ancho núcleo (λ) 4.0

n núcleo 1.50

n revestimiento 1.45

Perfiles de modos TE

Cada curva es el perfil de campo E(x) de un modo. Dentro del núcleo: oscilatorio. Fuera: evanescente.

Experimenta con los parámetros:

Núcleo fino ( $d \lesssim 2\lambda$ ): solo cabe TE₀. Es una guía monomodo. El campo se extiende bastante en el revestimiento — el modo está «débilmente confinado».
Núcleo grueso: aparecen TE₁, TE₂, etc. Cada modo de orden superior tiene un nodo más dentro del núcleo y un $n_{\text{eff}}$ más bajo.
Mayor contraste de índice: los modos se confinan más (las colas evanescentes son más cortas) y caben más modos al mismo ancho. Compara n_core = 1.5 con n_core = 3.5 (silicio).

El número V: cuántos modos caben

En el artículo anterior vimos que un núcleo fino solo admite unos pocos modos. ¿Cuántos exactamente? La respuesta la da un solo parámetro — el número V:

V = \frac{\pi d}{\lambda} \underbrace{\sqrt{n_1^2 - n_2^2}}_{\text{NA}}

donde NA es la apertura numérica. V combina todo lo que importa: grosor del núcleo, longitud de onda, y contraste de índice. Es el número universal de las guías de onda.

Cutoff: cuándo desaparece un modo

Cada modo tiene una frecuencia de corte: por debajo de cierto valor de V, el modo deja de existir. ¿Qué pasa exactamente en el cutoff?

Al reducir V (haciendo el núcleo más fino o reduciendo el contraste de índice), $\gamma \to 0$ — la tasa de decaimiento evanescente se anula. El campo ya no decae fuera del núcleo; se extiende hasta el infinito. El modo pierde su confinamiento y deja de ser guiado. Su $n_{\text{eff}} \to n_2$ (el índice del revestimiento).

Los valores de cutoff para una guía slab simétrica:

TE₀: sin cutoff — siempre existe, por débil que sea la guía.
TE₁: $V = \pi/2$
TE₂: $V = \pi$
TE₃: $V = 3\pi/2$
En general, TE $_m$ : $V = m\pi/2$

El número total de modos TE es aproximadamente $\lfloor 2V/\pi \rfloor + 1$ . La condición monomodo es:

V < \frac{\pi}{2} \quad \Leftrightarrow \quad d < \frac{\lambda}{2\,\text{NA}}

Cada modo viaja a distinta velocidad

Cada modo tiene su propio $n_{\text{eff}}$ , y por tanto su propia velocidad de fase: $v_p = c / n_{\text{eff}}$ . El modo fundamental (TE₀), con el mayor $n_{\text{eff}}$ , es el más lento. Los modos de orden superior, con $n_{\text{eff}}$ más bajo, son más rápidos.

¿Consecuencia? Si inyectas un pulso corto en una guía multimodo, cada modo transporta una fracción de la energía. Como viajan a velocidades distintas, llegan en momentos distintos. El pulso se ensancha — es la dispersión intermodal.

El ensanchamiento es $\Delta t \approx L \cdot \Delta n_{\text{eff}} / c$ . Con $\Delta n_{\text{eff}} \sim 0.01$ y $L = 1$ km: $\Delta t \sim 30$ ns — suficiente para destruir una señal a 1 Gbit/s (periodo de bit = 1 ns). Es la razón principal por la que las telecomunicaciones de larga distancia usan guías monomodo. En el siguiente artículo veremos cómo se implementa eso en la fibra óptica real.

Ejercicios

Ejercicio 1

Calcula la apertura numérica y el número V para una guía slab con n_core = 1.50, n_clad = 1.45, d = 4λ. ¿Cuántos modos TE caben? Verifica con el explorador de modos de arriba.

Solución

$\text{NA} = \sqrt{1.50^2 - 1.45^2} = \sqrt{0.1475} \approx 0.384$ .

$V = \pi \times 4 \times 0.384 \approx 4.83$ . Modos: $\lfloor 2 \times 4.83/\pi \rfloor + 1 = \lfloor 3.07 \rfloor + 1 = 4$ . El explorador debería mostrar TE₀, TE₁, TE₂ y TE₃.

Ejercicio 2

¿Cuál es el grosor máximo del núcleo para operación monomodo con n_core = 1.50, n_clad = 1.45 y $\lambda = 1550$ nm? ¿Y si el contraste es mayor (n_core = 3.5, n_clad = 1.45, como en silicio sobre sílice)?

Solución

Vidrio: $d < \lambda/(2 \cdot \text{NA}) = 1550/(2 \times 0.384) \approx 2018$ nm ≈ 2 μm.

Silicio/sílice: $\text{NA} = \sqrt{3.5^2 - 1.45^2} \approx 3.19$ . $d < 1550/(2 \times 3.19) \approx 243$ nm. Un núcleo de silicio monomodo tiene un cuarto de micra de ancho — por eso la fotónica integrada en silicio es nanofotónica.

Ejercicio 3

En el explorador, observa el $n_{\text{eff}}$ de cada modo para d = 6λ, n_core = 1.50, n_clad = 1.45. ¿Cuál es la diferencia de $n_{\text{eff}}$ entre TE₀ y el modo de orden más alto? Si la guía tiene 1 km de largo, ¿cuánto se separan temporalmente los pulsos?

Solución

Típicamente,

\Delta n_{\text{eff}}

entre el modo fundamental y el último es del orden de

\text{NA}^2/(2n) \approx 0.384^2/3 \approx 0.05

. Con L = 1 km:

\Delta t = 1000 \times 0.05 / (3 \times 10^8) \approx 170

ns. A 10 Gbit/s (100 ps entre pulsos), 170 ns de ensanchamiento es catastrófico — los pulsos se solapan completamente. Por eso las telecomunicaciones usan fibra monomodo.