La fibra óptica — Fotonario

En los artículos anteriores resolvimos la guía planar — un problema en una dimensión transversal. La fibra óptica real tiene simetría cilíndrica: el núcleo es un cilindro de vidrio de 4–62 μm de diámetro, rodeado de un revestimiento de 125 μm. Pasar de la slab a la fibra cambia los senos y cosenos por funciones de Bessel, pero la física esencial es la misma: modos discretos, cutoff, y un número V que controla cuántos caben.

De la slab al cilindro

En la guía slab, la ecuación de onda transversal era $d^2E/dx^2 + \kappa^2 E = 0$ — soluciones: senos y cosenos. En la fibra, la simetría cilíndrica nos obliga a usar coordenadas $(r, \theta)$ , y la ecuación se convierte en la ecuación de Bessel:

r^2 \frac{d^2f}{dr^2} + r \frac{df}{dr} + (\kappa^2 r^2 - l^2) f = 0

donde $l = 0, 1, 2, \ldots$ es el orden azimutal (número de nodos en la dirección angular). Las soluciones son:

Dentro del núcleo ( $r < a$ ): $J_l(\kappa r)$ — la función de Bessel de primera especie. Oscila como un seno/coseno, pero en coordenadas radiales.
Fuera del núcleo ( $r > a$ ): $K_l(\gamma r)$ — la función de Bessel modificada, que decae exponencialmente (evanescente).

¿Por qué Bessel y no senos?

En coordenadas cartesianas, el laplaciano transversal es $\partial^2/\partial x^2 + \partial^2/\partial y^2$ , y las soluciones son productos de senos y cosenos: $\sin(k_x x) \cos(k_y y)$ .

En coordenadas cilíndricas, el laplaciano es $\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}$ . Separando variables con $f(r)\,e^{il\theta}$ , la parte radial satisface la ecuación de Bessel. Las funciones $J_l$ son las «sinusoides del cilindro» — la base natural para problemas con simetría circular.

Modos LP

En las fibras ópticas de telecomunicaciones, el contraste de índice es muy pequeño ( $\Delta = (n_1 - n_2)/n_1 \sim 0.003$ ). En ese límite de guiado débil, los modos TE y TM se mezclan y forman modos LP $_{lm}$ — linearly polarized — que son mucho más simples de clasificar:

$l$ : número de nodos angulares (lóbulos)
$m$ : número de nodos radiales (anillos)

El número V de la fibra tiene la misma interpretación que en la slab (artículo 02), pero la fórmula cambia porque la geometría es cilíndrica y el parámetro relevante es el radio $a$ , no el grosor $d$ :

V = \frac{2\pi a}{\lambda} \cdot \text{NA} = \frac{2\pi a}{\lambda} \sqrt{n_1^2 - n_2^2}

Los cutoffs también cambian. En la slab, eran múltiplos de $\pi/2$ (ceros de funciones trigonométricas). En la fibra, son los ceros de las funciones de Bessel — números menos «redondos», pero con la misma interpretación física:

LP₀₁: sin cutoff (siempre existe, igual que TE₀ en la slab)
LP₁₁: $V = 2.405$ (primer cero de $J_0$ )
LP₂₁: $V = 3.832$ (primer cero de $J_1$ )
LP₀₂: $V = 5.520$ (segundo cero de $J_0$ )

La condición monomodo para la fibra: $V < 2.405$ (compara con $V < \pi/2 \approx 1.57$ para la slab). El umbral es mayor porque la simetría cilíndrica confina mejor que la planar. Para V grande, el número total de modos es aproximadamente $N \approx V^2/2$ .

Explora los modos. Ajusta V y selecciona el modo para ver su distribución de campo en la sección transversal:

Explorar

Número V 4.0

Modo LP LP₀₁

Campo modal E(x,y) de la fibra

Multimodo: V > 2.405. Aparecen modos de orden superior con nodos angulares y radiales.

Observa la analogía con los orbitales atómicos:

LP₀₁ es como el orbital 1s: máximo en el centro, decaimiento suave. Es el modo que viaja por tu fibra de internet.
LP₁₁ es como un orbital p: dos lóbulos con un nodo en el medio. Aparece a V > 2.405.
LP₂₁ es como un orbital d: cuatro lóbulos.
LP₀₂: simetría circular pero con un anillo — un nodo radial. Como un orbital 2s.

¿Por qué 1310 nm y 1550 nm?

La elección de longitud de onda no es arbitraria. El vidrio de sílice (SiO₂) tiene un espectro de pérdidas con dos mínimos:

1310 nm (banda O): la dispersión cromática es cero en fibra estándar. Los pulsos no se ensanchan (salvo por dispersión de orden superior). Ideal para distancias medias.
1550 nm (banda C): la pérdida es mínima — solo ~0.18 dB/km. Un fotón puede viajar ~100 km antes de necesitar amplificación (EDFA). Hay dispersión cromática ( $D \approx 17$ ps/(nm·km)), pero se compensa con fibra de dispersión compensada.

¿Cuánto son 0.18 dB/km? Después de 100 km, la señal ha caído a $10^{-18/10} = 10^{-1.8} \approx 1.6\%$ de su valor original. Parece poco, pero un amplificador óptico (EDFA) la recupera sin convertir a eléctrico — y la señal sigue su camino. Los cables submarinos transoceánicos tienen un EDFA cada ~80 km.

Dispersión cromática

Incluso en fibra monomodo, un pulso se ensancha si tiene ancho espectral finito. La razón: el $n_{\text{eff}}$ del modo fundamental depende de $\lambda$ , así que cada componente espectral viaja a velocidad ligeramente distinta.

La dispersión tiene dos contribuciones:

Dispersión material: el índice del vidrio depende de λ ( $dn_{\text{glass}}/d\lambda \neq 0$ ). Domina a λ corto.
Dispersión de guía de onda: la fracción de campo en el núcleo vs revestimiento cambia con λ. Un modo más confinado «ve» más el índice del núcleo. Domina a λ largo.

Las dos contribuciones tienen signos opuestos y se cancelan a una longitud de onda concreta — la longitud de onda de dispersión cero $\lambda_0$ . Para SMF-28, $\lambda_0 \approx 1310$ nm.

El ensanchamiento temporal de un pulso de ancho espectral $\Delta\lambda$ tras propagarse una distancia $L$ es:

\Delta t = |D(\lambda)| \cdot \Delta\lambda \cdot L

A 1550 nm en SMF-28: $D \approx 17$ ps/(nm·km). Un láser con $\Delta\lambda = 0.1$ nm transmitiendo por 100 km produce $\Delta t = 17 \times 0.1 \times 100 = 170$ ps. Para señales a 10 Gbit/s (periodo de bit = 100 ps), es problemático pero manejable con compensación.

Ejercicios

Ejercicio 1

Una fibra tiene núcleo de radio $a = 4.1$ μm, NA = 0.12. ¿Cuál es V a 1550 nm? ¿Es monomodo? ¿Y a 1310 nm? ¿A qué longitud de onda deja de ser monomodo (V = 2.405)?

Solución

$V = 2\pi \times 4.1 / 1.55 \times 0.12 = 1.99$ . V = 1.99 < 2.405 → monomodo a 1550 nm.

A 1310 nm: $V = 2\pi \times 4.1 / 1.31 \times 0.12 = 2.36$ . Aún monomodo (justo por debajo de 2.405).

Cutoff: $\lambda_c = 2\pi a \cdot \text{NA} / 2.405 = 2\pi \times 4.1 \times 0.12 / 2.405 = 1.285$ μm = 1285 nm. Por debajo de 1285 nm, la fibra es multimodo. Estos son exactamente los parámetros de la SMF-28.

Ejercicio 2

Un enlace de fibra de 80 km opera a 1550 nm con $D = 17$ ps/(nm·km). El transmisor es un láser DFB con $\Delta\lambda = 0.01$ nm. ¿Cuánto ensanchamiento cromático sufre un pulso? ¿Es compatible con transmisión a 40 Gbit/s (periodo de bit = 25 ps)?

Solución

\Delta t = 17 \times 0.01 \times 80 = 13.6

ps. El periodo de bit a 40 Gbit/s es 25 ps. Un ensanchamiento de 13.6 ps es más de la mitad del periodo — empezará a causar errores (interferencia intersimbólica). Se necesitaría compensación de dispersión (fibra DCF o módulo de Bragg) o modulación de fase (formato DPSK/DQPSK) para que funcione.