Acoplar y dividir — Fotonario

Hasta ahora, cada guía de onda vivía aislada — atrapaba la luz y la llevaba en línea recta. Pero un sistema de comunicaciones necesita dividir señales, combinarlas, filtrarlas, conmutarlas. Para eso, las guías tienen que hablar entre sí. ¿Cómo? A través del campo que se les escapa: el campo evanescente.

El mecanismo: acoplamiento evanescente

En el artículo 01 vimos que el campo de un modo no se anula bruscamente en la interfaz núcleo-revestimiento — penetra una distancia $\sim 1/\gamma$ como onda evanescente. Si colocas una segunda guía dentro de esa distancia, su modo «siente» el campo de la primera. Y viceversa. Los dos modos se acoplan.

El coeficiente de acoplamiento $\kappa$ mide la fuerza de esta interacción. Depende exponencialmente de la separación entre guías:

\kappa \propto e^{-\gamma d}

donde $d$ es el gap y $\gamma = \sqrt{\beta^2 - n_2^2 k_0^2}$ es la constante de decaimiento del campo evanescente. Gap más pequeño → más acoplamiento. Más allá de unas pocas longitudes de penetración, las guías se desacoplan completamente.

Si te suena, es porque es el mismo mecanismo que el acoplamiento entre nanopartículas plasmónicas (Módulo 03, Artículo 03): el campo cercano de un dipolo «siente» al otro. La diferencia es que aquí el acoplamiento es a lo largo de la propagación, no transversal.

Teoría de modos acoplados

La teoría de modos acoplados (CMT) describe la evolución de las amplitudes modales $a_1(z)$ y $a_2(z)$ a lo largo de la propagación:

\frac{da_1}{dz} = -i\beta a_1 - i\kappa \, a_2 \qquad \frac{da_2}{dz} = -i\beta a_2 - i\kappa \, a_1

(para guías idénticas, $\beta_1 = \beta_2 = \beta$ ).

Solución: de las ecuaciones acopladas a cos² y sin²

Definimos $A_j = a_j e^{i\beta z}$ para eliminar la fase rápida. Las ecuaciones se simplifican a:

\frac{dA_1}{dz} = -i\kappa A_2 \qquad \frac{dA_2}{dz} = -i\kappa A_1

Sumando y restando: $d(A_1 + A_2)/dz = -i\kappa(A_1 + A_2)$ y $d(A_1 - A_2)/dz = +i\kappa(A_1 - A_2)$ . Son los supermodos:

A_+ = A_1 + A_2 \propto e^{-i\kappa z} \qquad A_- = A_1 - A_2 \propto e^{+i\kappa z}

El supermodo simétrico ( $A_+$ ) y el antisimétrico ( $A_-$ ) propagan con constantes $\beta \pm \kappa$ . Si toda la luz empieza en la guía 1 ( $A_1(0) = 1, A_2(0) = 0$ ), entonces $A_+ = A_- = 1$ y:

A_1(z) = \cos(\kappa z) \qquad A_2(z) = -i\sin(\kappa z)

Las potencias son $P_1 = \cos^2(\kappa z)$ , $P_2 = \sin^2(\kappa z)$ . La energía oscila entre las guías — es el batido entre los dos supermodos.

El resultado: la potencia oscila periódicamente entre las dos guías. La longitud de acoplamiento es $L_c = \pi/(2\kappa)$ :

A $z = L_c$ : toda la potencia pasa a la guía 2.
A $z = L_c/2$ : se reparte 50/50 — un divisor 3 dB.
A $z = 2L_c$ : la potencia vuelve a la guía 1.

Explorar

Acoplamiento κ 0.50

Desajuste Δβ 0.00

Transferencia de potencia entre guías

Sin desajuste: transferencia completa (100%) a la longitud de acoplamiento L_c.

Experimenta con los dos controles:

Acoplamiento κ: más acoplamiento → oscilación más rápida → L_c más corto. Reducir el gap entre guías aumenta κ exponencialmente.
Desajuste Δβ: si las guías no son idénticas ( $\beta_1 \neq \beta_2$ ), la transferencia no llega al 100%. La eficiencia máxima cae a:

\eta_{\max} = \frac{\kappa^2}{\kappa^2 + (\Delta\beta/2)^2}

Es análogo a la oscilación de Rabi con detuning en física atómica — la misma matemática, diferente física.

Supermodos: otra forma de verlo

Hay una interpretación alternativa (y más profunda) de la oscilación de potencia. El sistema de dos guías acopladas tiene sus propios modos — los supermodos:

Supermodo simétrico: las dos guías oscilan en fase. Constante de propagación $\beta_s = \beta + \kappa$ .
Supermodo antisimétrico: las dos guías oscilan en contrafase. Constante $\beta_a = \beta - \kappa$ .

Cuando inyectas luz en una sola guía, excitas ambos supermodos por igual. Como tienen $\beta$ ligeramente diferente, acumulan un desfase relativo $\Delta\phi = 2\kappa z$ con la propagación. Cuando $\Delta\phi = \pi$ , interfieren destructivamente en la guía 1 y constructivamente en la guía 2 — toda la potencia se ha transferido. Es un batido, igual que el batido entre dos diapasones de frecuencia cercana.

La analogía con el dímero plasmónico del Módulo 03 es exacta: el modo bonding (bajo) y antibonding (alto) del dímero son los supermodos del sistema de dos nanopartículas. La diferencia de energía entre ellos determina la velocidad de oscilación del campo — y en el dímero, el redshift espectral.

Aplicaciones

Divisor 3 dB / acoplador direccional: la pieza más básica de los circuitos fotónicos. Un acoplador de longitud $L_c/2$ divide la señal 50/50. Dos de ellos más un brazo con modulador de fase forman un interferómetro Mach-Zehnder — el modulador electro-óptico estándar en telecomunicaciones.
Filtros WDM: el acoplamiento $\kappa$ depende de λ (porque $\gamma(\lambda)$ cambia). A una longitud de onda, la transferencia es completa; a otra, no. Eso separa canales espectrales — es un demultiplexor.
Sensores evanescentes: la potencia acoplada depende exponencialmente de la separación. Midiendo $P_2/P_1$ , se mide el gap con precisión sub-nanométrica. Aplicación: sensores de presión, acelerómetros, giroscopios de fibra.
Fotónica integrada en silicio: en chips SOI, las guías de silicio (n = 3.5 sobre SiO₂) tienen un contraste enorme. El campo evanescente penetra solo ~100 nm. Eso permite acopladores con gaps de 200 nm y longitudes de decenas de micras — miles de componentes en un chip de 1 cm².

Cerrando el módulo

Con el acoplamiento cerramos el viaje por las guías de onda. De la reflexión total interna (un concepto de segundo de carrera) a los supermodos y el interferómetro Mach-Zehnder (ingeniería de máster) — pasando por los modos LP de la fibra óptica que lleva el 99% del tráfico de internet mundial. La fotónica integrada — chips que procesan luz como los circuitos integrados procesan electricidad — es el siguiente paso natural. Y todo empieza con dos guías que se miran.

Ejercicios

Ejercicio 1

Un acoplador direccional tiene $\kappa = 0.5$ mm⁻¹. ¿Cuál es la longitud de acoplamiento $L_c$ ? Si el acoplador mide exactamente $L_c/2$ , ¿qué fracción de potencia sale por cada guía? Compruébalo en la visualización de arriba.

Solución

L_c = \pi/(2\kappa) = \pi/(2 \times 0.5) = \pi \approx 3.14

mm. A

z = L_c/2 \approx 1.57

mm:

P_1 = \cos^2(\kappa L_c/2) = \cos^2(\pi/4) = 0.5

P_2 = 0.5

. Es un divisor 50/50 (3 dB).

Ejercicio 2

Dos guías tienen un desajuste $\Delta\beta = 1.0$ mm⁻¹ y acoplamiento $\kappa = 0.5$ mm⁻¹. ¿Cuál es la transferencia máxima de potencia? ¿Qué porcentaje de la potencia nunca llega a la guía 2? Usa la fórmula $\eta_{\max} = \kappa^2/(\kappa^2 + (\Delta\beta/2)^2)$ .

Solución

\eta_{\max} = 0.25 / (0.25 + 0.25) = 0.5 = 50\%

. Solo la mitad de la potencia llega a la guía 2; la otra mitad se queda oscilando en la guía 1. El desajuste actúa como un desacople parcial. Si

\Delta\beta = 2\kappa

, la transferencia cae al 50%. Si

\Delta\beta \gg \kappa

, las guías están completamente desacopladas.

Ejercicio 3

Un simulador de modos no te da $\kappa$ : te da los dos supermodos. Para un par de guías SOI idénticas a $\lambda = 1550$ nm devuelve $n_s = 2{,}4162$ (simétrico) y $n_a = 2{,}3894$ (antisimétrico). (a) Obtén $\beta_s$ , $\beta_a$ y de ahí $\kappa$ , y calcula la longitud del divisor 50/50. (b) Comprueba el resultado por un segundo camino que no pase por $\kappa$ . (c) Fabricación real: el gap sale 20 nm más estrecho de lo dibujado y $\kappa$ se duplica. ¿Qué sale por cada guía del acoplador ya cortado?

Solución

(a) $\beta = 2\pi n_{\text{eff}}/\lambda$ , luego $\beta_s = 9{,}7945$ μm⁻¹ y $\beta_a = 9{,}6858$ μm⁻¹. Como $\beta_s = \beta + \kappa$ y $\beta_a = \beta - \kappa$ , la resta da $\beta_s - \beta_a = 2\kappa = 0{,}1086$ μm⁻¹ y $\kappa = 0{,}0543$ μm⁻¹. Entonces $L_c = \pi/(2\kappa) = 28{,}9$ μm y el 50/50 se corta a $L_c/2 = 14{,}5$ μm.

(b) La transferencia completa ocurre cuando los dos supermodos han acumulado $\pi$ de desfase relativo: $(\beta_s - \beta_a)L_c = \pi$ , es decir $L_c = \lambda/(2\,\Delta n_{\text{eff}}) = 1{,}55/(2\times 0{,}0268) = 28{,}9$ μm. Coincide, y de paso enseña lo importante: el acoplador es un interferómetro de dos modos, y lo único que importa es la diferencia de índices efectivos. El valor absoluto de $\beta$ —los 9,79 μm⁻¹— no aparece por ningún lado y no hace falta medirlo.

(c) Con $\kappa$ doble, el acoplador de 14,5 μm ya no es medio $L_c$ : es un $L_c$ entero, así que $P_1 = \cos^2(2\kappa \cdot L_c/2) = \cos^2(\pi/2) = 0$ y toda la potencia sale por la guía 2. El divisor 3 dB se ha convertido en un conmutador. Ésta es la razón práctica de que se prefiera un MMI (curso 07, artículo 06) cuando hay que garantizar un 50/50 en producción: su reparto lo fija la anchura de una guía ancha, no un gap de decenas de nanómetros.

Resumen en frío · Guías de onda

Todo lo que el módulo deja utilizable para dimensionar una guía: índices, números V, cutoffs, pérdidas y longitudes de acoplamiento, con dónde se dedujo cada cosa. Si para calcular el V de una fibra o el L_c de un acoplador hay que volver al texto a buscar una constante, esta tabla ha fallado.

Qué	Fórmula o valor	Dónde
Reflexión total interna	θ_c = arcsin(n₂/n₁); con n₁ = 1.50 y n₂ = 1.45 → θ_c = 75.2°: a 80° hay TIR, a 70° la luz escapa	art. 01, ej. 1
Anatomía de la guía	Núcleo n₁ entre revestimiento n₂ < n₁; cada rebote refleja el 100 %, pero el campo penetra fuera como e^(−γ\|x\|)	art. 01
Condición de modo	Autoconsistencia de fase: 2κd − 2φ_TIR = 2mπ, con m = 0, 1, 2…; si φ_TIR = 0 queda κ = mπ/d	art. 01, ej. 3
Reparto del vector de onda	κ² + β² = n₁²k₀² con k₀ = 2π/λ; β = √(n₁²k₀² − κ²), y el κ máximo posible es n₁k₀	art. 01
Familias TE y TM	TE: E_y ∥ interfaces · TM: H_y ∥ interfaces. Los pares van como cos(κx) y los impares como sin(κx)	art. 02
Ecuación trascendente de la slab	Simétricos κ·tan(κd/2) = γ · antisimétricos w = −u·cot u, con u² + w² = V² (u = κd/2, w = γd/2)	art. 02
Apertura numérica	NA = √(n₁² − n₂²); vidrio 1.50/1.45 → 0.384; silicio sobre sílice 3.5/1.45 → 3.19	art. 02, ej. 1 y 2
Número V de la slab	V = πd·NA/λ; con d = 4λ y NA = 0.384 → V = 4.83	art. 02, ej. 1
Cutoff en la slab	TE₀ nunca desaparece; TE_m aparece en V = mπ/2 (π/2, π, 3π/2…). En el cutoff γ → 0 y n_eff → n₂	art. 02
Cuántos modos TE caben	N ≈ ⌊2V/π⌋ + 1; con V = 4.83 → 4 modos (TE₀ a TE₃)	art. 02, ej. 1
Monomodo en la slab	V < π/2 ⟺ d < λ/(2·NA); a 1550 nm son 2018 nm ≈ 2 μm en vidrio y 243 nm en silicio	art. 02, ej. 2
Velocidad de cada modo	v_p = c/n_eff; TE₀ es el de mayor n_eff, luego el más lento, y los de orden alto los más rápidos	art. 02
Dispersión intermodal	La fija la velocidad de GRUPO, no la de fase: el modo alto tiene v_p mayor pero v_g menor, y llega el último. Δt ≈ L·Δn_eff/c; con Δn_eff = 0.01 y L = 1 km → ~30 ns; con Δn_eff ≈ NA²/(2n) = 0.05 → 170 ns	art. 02 y ej. 3
De la slab al cilindro	Ecuación de Bessel: J_l(κr) dentro del núcleo (r < a) y K_l(γr) fuera, evanescente	art. 03
Guiado débil y modos LP	Δ = (n₁ − n₂)/n₁ ≈ 0.003 → modos LP_lm: l nodos angulares (lóbulos), m nodos radiales (anillos)	art. 03
Número V de la fibra	V = 2πa·NA/λ, con a el radio del núcleo — ojo, 2πa y no πd como en la slab	art. 03
Cutoff de los modos LP	LP₀₁ sin cutoff · LP₁₁ 2.405 (1.er cero de J₀) · LP₂₁ 3.832 (1.er cero de J₁); N ≈ V²/2 para V grande	art. 03
Monomodo en fibra	V < 2.405; la SMF-28 (a = 4.1 μm, NA = 0.12) da V = 1.99 a 1550 nm y V = 2.36 a 1310 nm	art. 03, ej. 1
Longitud de onda de corte	λ_c = 2πa·NA/2.405; para la SMF-28 → 1285 nm, y por debajo la fibra es multimodo	art. 03, ej. 1
Geometría de la fibra real	Núcleo de 4–62 μm de diámetro, revestimiento de 125 μm	art. 03
Las dos ventanas	1310 nm (banda O): dispersión cromática nula, λ₀ ≈ 1310 nm en SMF-28. 1550 nm (banda C): pérdida mínima	art. 03
Presupuesto de pérdidas	0.18 dB/km a 1550 nm; P/P₀ = 10^(−dB/10): 100 km son 18 dB → queda el 1.6 %. EDFA cada ~80 km	art. 03
Dispersión cromática	Δt = \|D\|·Δλ·L, con D ≈ 17 ps/(nm·km) en SMF-28 a 1550 nm; Δλ = 0.1 nm y 100 km → 170 ps	art. 03
Presupuesto cromático de un enlace	DFB con Δλ = 0.01 nm sobre 80 km → 13.6 ps, más de media ranura de bit a 40 Gbit/s (25 ps)	art. 03, ej. 2
Ranura de bit (el criterio)	T_bit = 1/tasa: 1 ns a 1 Gbit/s · 100 ps a 10 Gbit/s · 25 ps a 40 Gbit/s; hace falta Δt ≪ T_bit	art. 02 y 03
Acoplamiento evanescente	κ ∝ e^(−γd), con d el gap y γ = √(β² − n₂²k₀²); el campo penetra ~1/γ fuera del núcleo	art. 04
Teoría de modos acoplados	da₁/dz = −iβa₁ − iκa₂ (y la simétrica) → P₁ = cos²(κz), P₂ = sin²(κz)	art. 04
Longitud de acoplamiento	L_c = π/(2κ); con κ = 0.5 mm⁻¹ → L_c = 3.14 mm, y a L_c/2 = 1.57 mm el reparto es 50/50 (divisor 3 dB)	art. 04, ej. 1
Supermodos, y L_c sin pasar por κ	β_s = β + κ (simétrico) y β_a = β − κ (antisimétrico): el acoplador es el batido de los dos. De ahí L_c = π/(β_s − β_a) = λ/(2·Δn_eff) — sólo cuenta la DIFERENCIA de índices efectivos. n_s = 2,4162 y n_a = 2,3894 a 1550 nm → κ = 0,0543 μm⁻¹ y L_c = 28,9 μm	art. 04, ej. 3
Supermodos	β_s = β + κ (en fase) y β_a = β − κ (en contrafase); acumulan Δφ = 2κz y la transferencia es total en Δφ = π	art. 04
Desajuste entre guías	η_max = κ²/(κ² + (Δβ/2)²); con Δβ = 1.0 y κ = 0.5 mm⁻¹, es decir Δβ = 2κ, solo pasa el 50 %	art. 04, ej. 2
Guías de silicio (SOI)	n = 3.5 sobre SiO₂: la cola evanescente penetra ~100 nm → gaps de 200 nm y acopladores de decenas de μm	art. 04