Modos transversales y haces gaussianos

En los artículos anteriores construimos la dinámica temporal del láser: cuándo arranca, cuánto tarda en estabilizarse, a qué frecuencias oscila. Pero falta una pregunta: ¿qué forma tiene la luz que sale? Hasta ahora tratamos la cavidad como un problema unidimensional — la luz va y viene entre dos espejos. Pero la luz tiene extensión transversal, y la difracción impide que un haz se propague indefinidamente sin expandirse. ¿Qué distribución transversal puede rebotar entre los espejos sin deformarse? La respuesta es una familia de modos transversales — y el más importante de todos es el haz gaussiano.

El modo TEM₀₀

El modo fundamental de una cavidad láser tiene un perfil de intensidad gaussiano:

I(r, z) = I_0 \left(\frac{w_0}{w(z)}\right)^2 \exp\!\left(-\frac{2r^2}{w(z)^2}\right)

donde $w(z)$ es el radio del haz — el radio donde la intensidad cae a $1/e^2$ del máximo. Su evolución con la propagación:

w(z) = w_0 \sqrt{1 + \left(\frac{z}{z_R}\right)^2}

Tres parámetros lo definen todo:

$w_0$ — el waist (cintura): el radio mínimo del haz.
$z_R$ — el rango de Rayleigh: $z_R = \pi w_0^2 / \lambda$ . Distancia donde el radio se ha expandido un factor $\sqrt{2}$ .
$\theta$ — la divergencia en campo lejano: $\theta = \lambda / (\pi w_0)$ .

La relación de incertidumbre del haz gaussiano

El producto waist × divergencia es constante:

w_0 \cdot \theta = \frac{\lambda}{\pi}

Un waist más pequeño (haz más concentrado) implica una divergencia mayor. Un haz muy colimado (divergencia baja) necesita un waist grande. Es la misma relación de incertidumbre de Fourier que vimos en el Módulo 01: estrecho en el espacio = ancho en frecuencias. Aquí: estrecho en posición transversal = ancho en ángulo.

El haz gaussiano es el caso de igualdad — el mínimo producto $w_0 \cdot \theta$ posible para un haz. Cualquier otro perfil (uniforme, anular, multimodal) diverge más para el mismo tamaño de waist. El gaussiano es el «estado coherente mínimo» de la óptica.

Explora el haz

La visualización muestra la envolvente del haz (la curva roja), las líneas de Rayleigh (amarillas), las asíntotas de campo lejano (punteadas) y el perfil del modo transversal (recuadro):

Haz gaussiano

w₀ (mm) 0.50 λ (μm) 0.63 Modo

Experimenta:

Reducir w₀: el waist se estrecha pero la divergencia crece — el haz se abre más rápido. El rango de Rayleigh se acorta (el haz «pierde la colimación» antes).
Aumentar λ: la divergencia crece ( $\theta \propto \lambda$ ). Por eso los láseres infrarrojos divergen más que los visibles, a igual waist.
Modos superiores (TEM₁₀, TEM₁₁...): tienen lóbulos y nodos. Son las analogías de los modos de orden superior en guías de onda (M04-02).

Modos de orden superior

La cavidad no solo soporta el TEM₀₀. Tiene una familia completa de modos Hermite-Gauss (en coordenadas cartesianas) o Laguerre-Gauss (en coordenadas cilíndricas):

TEM₀₀: gaussiana pura. Un lóbulo central. Es el modo preferido.
TEM₁₀: dos lóbulos horizontales con un nodo en el centro.
TEM₀₁: dos lóbulos verticales.
TEM₁₁: cuatro lóbulos, patrón de trébol.
TEM₂₀: tres lóbulos horizontales (polinomio de Hermite de orden 2).

Cada modo de orden $m + n$ tiene una frecuencia ligeramente distinta del TEM₀₀ — la frecuencia de Gouy:

\nu_{mnq} = \frac{c}{2L}\left[q + \frac{m + n + 1}{\pi}\arccos\!\sqrt{g_1 g_2}\right]

donde $g_i = 1 - L/R_i$ son los parámetros de estabilidad de la cavidad y $R_i$ los radios de curvatura de los espejos.

Estabilidad de la cavidad

No cualquier par de espejos forma una cavidad estable. La condición de estabilidad es:

0 \leq g_1 g_2 \leq 1

Casos importantes:

Plano-plano ( $R_1 = R_2 = \infty$ , $g_1 g_2 = 1$ ): justo en el borde de la estabilidad. Difícil de alinear. El láser de HeNe lo evita usando al menos un espejo cóncavo.
Confocal ( $R_1 = R_2 = L$ , $g_1 g_2 = 0$ ): máxima tolerancia al desalineamiento. El waist está en el centro. Usado en espectroscopía.
Hemisférico (o semiconcéntrico; $R_1 = \infty$ , $R_2 = L$ , $g_1 g_2 = 0$ ): el centro de curvatura del espejo esférico cae justo sobre el espejo plano — de ahí el nombre. El waist está en el espejo plano. Es la cavidad del HeNe comercial.
Semiconfocal ( $R_1 = \infty$ , $R_2 = 2L$ , $g_1 g_2 = 1/2$ ): la mitad de una confocal de longitud $2L$ , cortada por su plano de simetría. El waist también está en el espejo plano. Común en láseres de diodo.

El factor M²: calidad del haz

Un haz real nunca es un TEM₀₀ perfecto. Puede tener contribuciones de modos de orden superior, aberraciones, o inhomogeneidades. El factor M² mide cuánto se desvía el haz real del gaussiano ideal:

M^2 = \frac{w_0 \theta}{\lambda / \pi}

$M^2 = 1$ : gaussiano perfecto (TEM₀₀ puro). $M^2 > 1$ : el haz diverge más de lo que debería para su tamaño. Un láser de HeNe tiene $M^2 \approx 1.0$ ; un diodo láser multimodo, $M^2 \approx 3{-}10$ .

El factor M² es la métrica universal de calidad de haz en la industria. Cuanto más cerca de 1, más focalizable es el haz (menor spot) y mejor funciona para corte, grabado, microscopía y comunicaciones.

Ejercicios

Ejercicio 1

Un láser de HeNe ( $\lambda = 633$ nm) tiene un waist de $w_0 = 0.5$ mm. Calcula el rango de Rayleigh $z_R$ y la divergencia $\theta$ . ¿A qué distancia se ha duplicado el radio del haz ( $w = 2w_0$ )? Verifica con la visualización.

Solución

$z_R = \pi w_0^2/\lambda = \pi \times (0.5 \times 10^{-3})^2 / (633 \times 10^{-9}) \approx 1.24$ m.

$\theta = \lambda/(\pi w_0) = 633 \times 10^{-9} / (\pi \times 0.5 \times 10^{-3}) \approx 0.40$ mrad.

$w = 2w_0$ cuando $\sqrt{1 + (z/z_R)^2} = 2$ , es decir $z = \sqrt{3} \, z_R \approx 2.15$ m. El haz se mantiene bien colimado durante más de 2 metros — por eso un puntero láser parece un punto a 10 metros de distancia (aunque en realidad ha crecido de 0.5 a ~4 mm).

Ejercicio 2

Quieres focalizar un láser de $\lambda = 1064$ nm al spot más pequeño posible. Si usas una lente de focal $f = 50$ mm y el haz incidente tiene $w = 5$ mm en la lente, ¿cuál es el waist focalizado? Usa $w_0' \approx f\lambda/(\pi w)$ .

Solución

$w_0' = \frac{f\lambda}{\pi w} = \frac{50 \times 10^{-3} \times 1064 \times 10^{-9}}{\pi \times 5 \times 10^{-3}} \approx 3{,}4$ μm.

Un spot de 3,4 μm — comparable al tamaño de una bacteria. Para un spot más pequeño necesitas: λ menor, f menor, o w mayor (llenar más la lente).

¿Y dónde está el techo? Aquí es fácil coger el límite equivocado. La apertura numérica de este montaje es $\text{NA} \approx w/f = 0{,}1$ , y el límite de un haz gaussiano es $w_0' \geq \lambda/(\pi\,\text{NA})$ , que vale 3,39 μm: exactamente lo que acabamos de calcular. No es coincidencia — es la misma cuenta escrita al revés, porque $f\lambda/(\pi w) = \lambda/\big(\pi\,(w/f)\big)$ . La lección es que para un gaussiano el «límite de difracción» no es una restricción extra: lo fija el ángulo de convergencia y ya está. Para bajar de ahí hay que abrir NA — con una lente de NA 0,5 saldrían 0,68 μm.

Y ojo con el otro límite, el $\lambda/(2\,\text{NA})$ de Abbe que sale en óptica de Fourier: ése es el periodo más fino que un microscopio resuelve con iluminación incoherente, no la cintura de un haz focalizado. Aplicado aquí daría 5,32 μm — más que los 3,4 μm que la lente produce de verdad, o sea un «límite» que el propio montaje ya viola. Los separa el factor π/2 = 1,57, y la diferencia es que uno mide un corte en frecuencia espacial y el otro un radio a 1/e².

Ejercicio 3

En la visualización, selecciona el modo TEM₁₀ y compáralo con el TEM₀₀. ¿Cuántos nodos tiene en la dirección horizontal? Si la cavidad tiene un diafragma (apertura) intracavidad, ¿qué modo sufrirá más pérdidas — el TEM₀₀ o el TEM₁₀? ¿Por qué esta es la técnica estándar para forzar operación TEM₀₀?

Solución

El TEM₁₀ tiene un nodo en el centro y dos lóbulos laterales. Su extensión transversal es mayor que la del TEM₀₀.

Un diafragma intracavidad con radio ligeramente mayor que $w_0$ del TEM₀₀ bloquea las alas de los modos de orden superior (que se extienden más) sin afectar significativamente al TEM₀₀. El TEM₁₀ sufre más pérdidas por difracción en el diafragma → no supera el umbral → solo oscila el TEM₀₀. Es la forma más simple de lograr un haz gaussiano puro.

Ejercicio 4

Una cavidad de $L = 30$ cm con dos espejos iguales de $R_1 = R_2 = 1$ m. (a) ¿Cuánto separa en frecuencia al TEM₁₀ del TEM₀₀ del mismo $q$ , y qué fracción es eso de $c/2L$ ? (b) Demuestra que en la cavidad confocal esa separación vale exactamente la mitad de $c/2L$ , y di qué le pasa entonces al espectro. (c) Con los mismos 30 cm pero espejos de $R = 10$ m, ¿cuántas familias transversales caben dentro de los 1,5 GHz de anchura Doppler de la ganancia del HeNe? Relaciónalo con el ejercicio 3.

Solución

(a) $g_1 = g_2 = 1 - 0{,}30/1 = 0{,}70$ , luego $g_1g_2 = 0{,}49$ y $\sqrt{g_1g_2} = 0{,}70$ . La fórmula de Gouy da, para $\Delta(m+n) = 1$ , $\Delta\nu_\perp = \frac{c}{2L}\cdot\frac{\arccos\sqrt{g_1g_2}}{\pi} = 500\ \text{MHz} \times \frac{0{,}795}{\pi} = 127$ MHz, es decir el 25,3 % del intervalo entre longitudinales. Fíjate en que la separación transversal no depende de $q$ : el peine transversal es el mismo en cada orden longitudinal.

(b) Confocal es $R_1 = R_2 = L$ , luego $g_1 = g_2 = 0$ y $\arccos\sqrt{0} = \pi/2$ : la fracción vale $(\pi/2)/\pi = 1/2$ exactamente, sin depender de $L$ ni de $\lambda$ . Es una degeneración: el TEM₁₀ de orden $q$ cae justo encima del punto medio, y el TEM₂₀ cae sobre el TEM₀₀ de orden $q+1$ . Todos los modos de orden $m+n$ par comparten frecuencia con los TEM₀₀ y todos los impares con el punto medio, así que el espectro observado tiene un intervalo libre aparente de $c/4L$ — la mitad del que le tocaría. Por eso el interferómetro confocal de barrido se especifica siempre con $\text{FSR} = c/4L$ : quien use $c/2L$ se equivoca por un factor 2 en cada frecuencia que mida con él.

(c) $g_1 = g_2 = 0{,}97$ , $g_1g_2 = 0{,}941$ , $\arccos(0{,}97) = 0{,}246$ rad y $\Delta\nu_\perp = 39$ MHz. En 1,5 GHz caben $1500/39 \approx 38$ familias transversales, contra las 12 de la cavidad (a). Cuanto más cerca del borde $g_1g_2 = 1$ , más se apiñan los modos transversales sobre el TEM₀₀ y más difícil es que gane sólo él: la cavidad casi plana es justo la que obliga a poner el diafragma del ejercicio 3, porque la discriminación en frecuencia ya no la hace la cavidad. Con la confocal el problema es el opuesto y peor: allí los modos no compiten, están degenerados, y ningún diafragma los separa en frecuencia.