Rate equations: la dinámica

En los dos artículos anteriores construimos las piezas: un medio que amplifica (emisión estimulada) y una cavidad que retroalimenta (espejos). Pero falta la dinámica: ¿cómo arranca el láser? ¿Cuánto tarda en estabilizarse? ¿Qué pasa si cambias el bombeo de golpe? Las rate equations responden a todo esto con dos ecuaciones diferenciales acopladas — el «circuito equivalente» del láser.

Las dos ecuaciones

Dos variables describen el láser: cuántos átomos están excitados ( $N$ , la inversión de población) y cuántos fotones rebotan dentro de la cavidad ( $S$ ). Su evolución está acoplada — los fotones nacen de átomos excitados (emisión estimulada) y los átomos excitados mueren cuando emiten fotones. Es un sistema depredador-presa: más fotones consumen más inversión, menos inversión produce menos fotones.

El estado del láser se describe con dos variables: la inversión de población $N(t)$ y el número de fotones intracavidad $S(t)$ . Sus ecuaciones de evolución:

\frac{dN}{dt} = R_p - \frac{N}{\tau_s} - G \cdot N \cdot S

\frac{dS}{dt} = G \cdot N \cdot S - \frac{S}{\tau_p} + \beta \frac{N}{\tau_s}

donde:

$R_p$ es la tasa de bombeo — cuántos átomos se excitan al nivel superior por unidad de tiempo.
$\tau_s$ es el tiempo de vida espontáneo del nivel superior (inverso del coeficiente A de Einstein).
$\tau_p$ es el tiempo de vida del fotón en la cavidad — cuánto dura un fotón antes de escapar por un espejo o ser absorbido.
$G = v_g \sigma$ es la constante de acoplamiento ganancia-fotones ( $v_g$ : velocidad de grupo, $\sigma$ : sección eficaz de emisión).
$\beta$ es el factor de emisión espontánea — la fracción de fotones espontáneos que caen en el modo de la cavidad. Es pequeño ( $\sim 10^{-5}$ ), pero crucial: es la «semilla» que arranca el láser.

¿De dónde salen estas ecuaciones?

La primera ecuación es un balance del nivel superior:

$+R_p$ : el bombeo excita átomos (entra).
$-N/\tau_s$ : la emisión espontánea los devuelve al nivel inferior (sale). Tasa: $A_{21} = 1/\tau_s$ .
$-G \cdot N \cdot S$ : la emisión estimulada — proporcional a la inversión $N$ y al número de fotones $S$ . Cada evento de emisión estimulada baja un átomo y produce un fotón.

La segunda ecuación es un balance de fotones:

$+G \cdot N \cdot S$ : cada evento de emisión estimulada crea un fotón (entra).
$-S/\tau_p$ : los fotones se pierden por transmisión de los espejos y otras pérdidas (sale).
$+\beta N/\tau_s$ : una fracción β de la emisión espontánea cae en el modo de la cavidad (semilla).

Son las ecuaciones de Lotka-Volterra (depredador-presa) del láser: $N$ es la «presa» (inversión) que el «depredador» $S$ (fotones) consume por emisión estimulada.

Estado estacionario: umbral y potencia

En el estado estacionario ( $dN/dt = dS/dt = 0$ ), las ecuaciones se resuelven analíticamente.

Bajo el umbral ( $R_p < R_{\text{th}}$ ): $S \approx 0$ (solo emisión espontánea residual). La inversión crece linealmente con el bombeo: $N = R_p \tau_s$ .

En el umbral: la inversión alcanza el valor $N_{\text{th}} = 1/(G\tau_p)$ , que es exactamente la condición de que la ganancia iguale las pérdidas. El bombeo umbral es:

R_{\text{th}} = \frac{N_{\text{th}}}{\tau_s} = \frac{1}{G \tau_s \tau_p}

Por encima del umbral: la inversión se clampea en $N_{\text{th}}$ — no sube más, por mucho que bombees. Todo el exceso de bombeo se convierte en fotones:

S = \tau_p (R_p - R_{\text{th}}) = \tau_p R_{\text{th}} \left(\frac{P}{P_{\text{th}}} - 1\right)

La curva L-I: potencia vs bombeo

La potencia de salida es proporcional a los fotones que escapan por el espejo de salida:

P_{\text{out}} = \frac{S \cdot h\nu}{\tau_{\text{out}}}

donde $\tau_{\text{out}} = 2L/(c \cdot \ln(1/R_2))$ es la tasa de escape por el espejo de salida. Sustituyendo $S$ :

P_{\text{out}} = \eta_s \cdot (P_{\text{pump}} - P_{\text{th}})

donde $\eta_s$ es la eficiencia de pendiente (slope efficiency). La relación es lineal: es la famosa «curva en L». El umbral define dónde arranca, y la pendiente define cuánta potencia sacas por unidad de bombeo adicional.

Dinámica transitoria: oscilaciones de relajación

¿Qué pasa si enciendes el bombeo de golpe? El láser no arranca suavemente — oscila. La inversión sube (bombeo), luego los fotones se multiplican (emisión estimulada), lo que vacía la inversión (demasiados fotones), lo que reduce los fotones (no hay ganancia), lo que permite que la inversión vuelva a subir... Es un ciclo amortiguado: oscilaciones de relajación.

La frecuencia de estas oscilaciones es:

\omega_r = \sqrt{\frac{R_p}{R_{\text{th}}} - 1} \cdot \frac{1}{\sqrt{\tau_s \tau_p}}

Más bombeo → oscilaciones más rápidas. Mayor ratio $\tau_s/\tau_p$ → oscilaciones más pronunciadas (más ciclos antes de amortiguarse). En un láser de semiconductor, $\tau_s/\tau_p \sim 1000$ , y las oscilaciones de relajación están en el rango de GHz — son el factor que limita la velocidad de modulación directa del láser.

Explora la dinámica

La simulación resuelve las rate equations normalizadas en tiempo real. Arriba: la evolución temporal de la inversión (azul) y los fotones (rojo). Abajo: la curva L-I (potencia de salida vs bombeo) con un punto que marca la posición actual:

Dinámica del láser

Bombeo P/P_th 1.50 τ_s/τ_p 100

Experimenta:

Bombeo bajo el umbral (P/P_th < 1): N sube, S ≈ 0. Sin láser.
Justo por encima (P/P_th ≈ 1.2): el láser arranca con oscilaciones de relajación suaves que se amortiguan hasta el estado estacionario.
Muy por encima (P/P_th > 2): oscilaciones de relajación más rápidas y pronunciadas. N se clampea en N_th, S crece.
Subir τ_s/τ_p: las oscilaciones son más violentas y tardan más en amortiguarse. Esto es lo que pasa en semiconductores (τ_s/τ_p ∼ 1000).

¿Cuándo valen las rate equations?

Las rate equations son un modelo de campo medio — promedian sobre los muchos fotones y átomos del sistema. Son excelentes para:

Láseres continuos (CW): el estado estacionario es exacto.
Modulación directa: la respuesta en frecuencia del láser se calcula linealizando las rate equations alrededor del punto de operación.
Q-switching: las rate equations predicen la forma del pulso, su energía y su duración (Artículo 06).

No valen cuando los efectos cuánticos importan (pocos fotones en la cavidad, fluctuaciones de fase, estadística sub-Poissoniana) o cuando la dinámica espacial es relevante (filamentation, modos transversales). Para eso hacen falta las ecuaciones de Maxwell-Bloch completas — pero para la inmensa mayoría de los láseres, las rate equations son más que suficientes.

Ejercicios

Ejercicio 1

Un láser de Nd:YAG tiene $\tau_s = 230$ μs y $\tau_p = 10$ ns. ¿Cuál es el ratio $\tau_s/\tau_p$ ? Si se bombea a $P/P_{\text{th}} = 2$ , ¿cuál es la frecuencia de oscilación de relajación? Compara con la visualización de arriba usando ese ratio.

Solución

$\tau_s/\tau_p = 230 \times 10^{-6} / (10 \times 10^{-9}) = 23\,000$ .

$\omega_r = \sqrt{2 - 1} / \sqrt{230 \times 10^{-6} \times 10 \times 10^{-9}} = 1/\sqrt{2.3 \times 10^{-12}} \approx 6.6 \times 10^5$ rad/s.

$f_r = \omega_r / 2\pi \approx 105$ kHz. Las oscilaciones de relajación del Nd:YAG están en el rango de ~100 kHz. Son lentas comparadas con un diodo láser (GHz), porque $\tau_s$ es enorme (microsegundos vs nanosegundos).

Ejercicio 2

En la curva L-I de la visualización, la potencia de salida es cero bajo el umbral y lineal por encima. Un láser real tiene una eficiencia de pendiente $\eta_s = 0.4$ (40%) y un umbral de $P_{\text{th}} = 100$ mW. ¿Cuánta potencia de bombeo necesitas para obtener 200 mW de potencia óptica de salida?

Solución

$P_{\text{out}} = \eta_s (P_{\text{pump}} - P_{\text{th}})$ . Despejando:

P_{\text{pump}} = P_{\text{th}} + P_{\text{out}}/\eta_s = 100 + 200/0.4 = 100 + 500 = 600

600 mW de bombeo. La eficiencia total (wall-plug) es $200/600 = 33\%$ . Los 100 mW del umbral se «pierden» manteniendo la inversión — no contribuyen a la potencia de salida.

Ejercicio 3

Usa la visualización. Pon el bombeo justo por encima del umbral (P/P_th ≈ 1.1) y observa las oscilaciones de relajación. Ahora sube a P/P_th = 3.0. ¿Qué le pasa a la frecuencia de las oscilaciones? ¿Y a la amplitud? ¿Se amortiguan más rápido o más lento?

Solución

A mayor bombeo, la frecuencia de oscilación aumenta ( $\omega_r \propto \sqrt{P/P_{\text{th}} - 1}$ ). De P/P_th = 1.1 a 3.0, la frecuencia sube por un factor $\sqrt{2/0.1} \approx 4.5\times$ .

La amplitud relativa de las oscilaciones (overshoot) también cambia, pero el amortiguamiento es más rápido a mayor bombeo. El láser se estabiliza antes cuando está muy por encima del umbral, porque la emisión estimulada (que es el mecanismo de amortiguamiento) es más intensa.