Generación de segundo armónico

La generación de segundo armónico (SHG) es el proceso no lineal más usado en óptica. Dos fotones de frecuencia $\omega$ se combinan en un cristal no centrosimétrico para producir un fotón de frecuencia $2\omega$ — el doble. Infrarrojo → visible, visible → UV. Cada puntero láser verde del mundo funciona así: un diodo infrarrojo bombea un cristal de Nd:YVO₄ que emite a 1064 nm, y un cristal de KTP lo convierte a 532 nm (verde).

La ecuación de onda no lineal

Cuando incluimos la polarización no lineal como fuente en las ecuaciones de Maxwell, la ecuación de onda se modifica:

\nabla^2 E - \frac{n^2}{c^2}\frac{\partial^2 E}{\partial t^2} = \frac{1}{\varepsilon_0 c^2}\frac{\partial^2 P^{(NL)}}{\partial t^2}

El lado derecho — la polarización no lineal — actúa como una fuente que radia a frecuencias nuevas. Para SHG, la fuente oscila a $2\omega$ y genera una onda a esa frecuencia.

Las ecuaciones acopladas

En la aproximación de envolvente lenta (SVEA), las amplitudes del campo fundamental ( $A_\omega$ ) y del segundo armónico ( $A_{2\omega}$ ) evolucionan acopladas a lo largo del cristal:

\frac{dA_{2\omega}}{dz} = -i\kappa \, A_\omega^2 \, e^{i\Delta k \, z}

\frac{dA_\omega}{dz} = -i\kappa^* A_{2\omega} \, A_\omega^* \, e^{-i\Delta k \, z}

donde $\kappa \propto \chi^{(2)}$ es la constante de acoplamiento y $\Delta k = k_{2\omega} - 2k_\omega$ es el desajuste de fase (phase mismatch).

Solución sin depleción: la sinc al cuadrado

Si la conversión es pequeña (el fundamental no se agota), $A_\omega \approx \text{cte}$ y la primera ecuación se integra directamente:

A_{2\omega}(L) = -i\kappa A_\omega^2 \int_0^L e^{i\Delta k \, z} dz = -i\kappa A_\omega^2 \frac{e^{i\Delta k L} - 1}{i\Delta k}

La intensidad del segundo armónico es:

I_{2\omega} \propto |A_{2\omega}|^2 = |\kappa|^2 |A_\omega|^4 L^2 \operatorname{sinc}^2\!\left(\frac{\Delta k \, L}{2}\right)

Con $\Delta k = 0$ (phase matching perfecto): $I_{2\omega} \propto L^2$ — crece cuadráticamente con la longitud del cristal. Con $\Delta k \neq 0$ , la eficiencia oscila y satura. La primera oscilación completa ocurre en la longitud de coherencia $L_c = \pi/\Delta k$ .

El problema del phase matching

En un material normal, la velocidad de fase depende de la frecuencia (dispersión). El fundamental a $\omega$ viaja a velocidad $c/n(\omega)$ y el armónico a $c/n(2\omega)$ . Como $n(2\omega) > n(\omega)$ (dispersión normal), el armónico va más lento. Tras una distancia $L_c$ , se han desfasado $\pi$ y la energía empieza a fluir de vuelta al fundamental. La eficiencia oscila sin crecer nunca más allá de $L_c$ .

Para un cristal típico (KTP a 1064 nm), $L_c \sim 10$ μm — microscópico. Sin phase matching, SHG es inútilmente ineficiente.

Explora cómo el desajuste de fase limita la eficiencia:

Eficiencia SHG

Δk (mm⁻¹) 50 L cristal (mm) 10

Con Δk = 0 (phase matching perfecto), la intensidad SH crece como z². Con Δk > 0, oscila y satura en L_c = π/Δk.

Observa:

Δk = 0 (arrastra el slider a cero): la intensidad SH crece como $z^2$ (parábola). Sin límite. Toda la longitud del cristal contribuye coherentemente.
Δk grande: la eficiencia oscila rápidamente. La línea amarilla marca $L_c$ — más allá de ese punto, no ganas nada por añadir más cristal.
Δk pequeño: crece como $z^2$ durante más distancia antes de oscilar. El cristal «trabaja» más antes de desfasarse.

Cristales para SHG

Los materiales más usados para SHG son cristales no centrosimétricos con alto $\chi^{(2)}$ y buena transparencia:

KTP (KTiOPO₄): el estándar para doblar Nd:YAG. Robusto, alto umbral de daño, χ⁽²⁾ ≈ 16 pm/V.
LiNbO₃ (niobato de litio): χ⁽²⁾ más alto (~27 pm/V). El «silicio de la óptica no lineal». Disponible con poling periódico (PPLN) para quasi-phase matching.
BBO (β-BaB₂O₄): transparente hasta el UV profundo (189 nm). χ⁽²⁾ modesto pero excelente para doblar al UV.

Conservación de energía y momento

SHG conserva dos cosas:

Energía: dos fotones de $\hbar\omega$ se convierten en uno de $\hbar(2\omega) = 2\hbar\omega$ . La energía se conserva exactamente.
Momento: $\hbar k_{2\omega} = 2\hbar k_\omega + \hbar\Delta k$ . Phase matching ( $\Delta k = 0$ ) es la condición de conservación de momento. Cuando no se cumple, el fotón de $2\omega$ no puede «nacer» eficientemente.

¿Cuánto phase mismatch hay en KTP a 1064 nm?

Para SHG tipo I en KTP (oo→e): $n_o(1064) \approx 1.740$ y $n_e(532) \approx 1.789$ .

\Delta k = \frac{4\pi}{\lambda}\left(n_{2\omega} - n_\omega\right) = \frac{4\pi}{1.064 \;\mu\text{m}} (1.789 - 1.740) \approx 577 \;\text{mm}^{-1}

Longitud de coherencia: $L_c = \pi/\Delta k \approx 5.4$ μm. Sin phase matching, la eficiencia no puede crecer más allá de 5 micras. Para aprovechar un cristal de cm, hay que eliminar Δk — y eso es el tema del artículo siguiente.

Eficiencia: ¿cuánta luz se convierte?

En el régimen de no depleción (señal débil), la eficiencia de SHG es:

\eta = \frac{P_{2\omega}}{P_\omega} \propto |\chi^{(2)}|^2 \cdot L^2 \cdot I_\omega \cdot \operatorname{sinc}^2\!\left(\frac{\Delta k L}{2}\right)

Con phase matching perfecto ( $\text{sinc} = 1$ ), la eficiencia crece con:

$|\chi^{(2)}|^2$ — mejor cristal.
$L^2$ — cristal más largo.
$I_\omega$ — más intensidad fundamental.

Con un cristal de 1 cm, χ⁽²⁾ alto y un láser pulsado focalizado, se puede convertir >50% de la potencia fundamental al segundo armónico. Es un proceso extraordinariamente eficiente — cuando el phase matching es correcto.

Ejercicios

Ejercicio 1

Usa la visualización. Pon Δk = 100 mm⁻¹ y L = 10 mm. ¿Cuál es la longitud de coherencia? ¿Cuántas oscilaciones de eficiencia caben en el cristal? Ahora pon Δk = 0. ¿Cuántas veces más eficiente es el cristal con phase matching perfecto?

Solución

$L_c = \pi/\Delta k = \pi/100 \approx 0.031$ mm = 31 μm. Oscilaciones en 10 mm: $10/0.031 \times 2 \approx 320$ (la eficiencia oscila 160 veces).

La eficiencia máxima con Δk = 100 es proporcional a $(1/\Delta k)^2 = (0.01)^2$ mm². Con Δk = 0, es proporcional a $L^2 = 100$ mm². Ratio: $100 / 10^{-4} = 10^6$ . Un millón de veces más eficiente con phase matching. Eso explica por qué sin PM, SHG es inútil.

Ejercicio 2

Un puntero láser verde emite 5 mW a 532 nm. Si la eficiencia SHG es del 10%, ¿cuánta potencia produce el cristal de Nd:YVO₄ a 1064 nm? ¿Cuánta potencia se «pierde» como IR residual? ¿Qué pasa con ella?

Solución

$P_{1064} = P_{532}/\eta = 5/0.10 = 50$ mW a 1064 nm. IR residual: $50 - 5 = 45$ mW a 1064 nm (invisible). Un filtro IR dentro del puntero bloquea esos 45 mW para que solo salga el verde. Los punteros baratos a veces no incluyen el filtro — y emiten 45 mW de IR invisible, peligroso para la retina.

Ejercicio 3

SHG conserva energía: $2\hbar\omega = \hbar(2\omega)$ . ¿Cuál es la longitud de onda del segundo armónico de un láser de Ti:zafiro a 800 nm? ¿Y el tercero (THG)? ¿En qué región del espectro caen?

Solución

SHG: $\lambda_{2\omega} = 800/2 = 400$ nm (violeta). THG: $\lambda_{3\omega} = 800/3 \approx 267$ nm (UV).

SHG cae justo en el borde del visible (violeta). THG ya es UV — y requiere cristales transparentes al UV (BBO, KBBF). Para llegar al UV profundo o XUV, se usan procesos de orden superior (HHG en gases nobles — Nobel 2023).

Ejercicio 4

Un cristal de longitud $L$ sale de fábrica con la mitad de atrás invertida: en $z > L/2$ el signo de $\chi^{(2)}$ es el opuesto. Monta tú la integral —no reutilices la sinc— y calcula $|A_{2\omega}(L)|$ . (a) ¿Cuánto sale con phase matching perfecto? (b) ¿Para qué $\Delta k L$ es máxima la conversión, y cuánta intensidad es ésa comparada con la del mismo cristal sin invertir y perfectamente ajustado? (c) ¿Qué te dice el resultado sobre el signo de $\chi^{(2)}$ como grado de libertad de diseño?

Solución

(a) La amplitud es la integral de la misma exponencial con el signo cambiado en el segundo tramo:

A_{2\omega}(L) = -i\kappa A_\omega^2\left[\int_0^{L/2} e^{i\Delta k z}dz - \int_{L/2}^{L} e^{i\Delta k z}dz\right] = -i\kappa A_\omega^2\,\frac{-\left(e^{i\Delta k L/2} - 1\right)^2}{i\Delta k}

Tomando módulo y usando $|e^{i\theta} - 1| = 2|\sin(\theta/2)|$ :

|A_{2\omega}(L)| = |\kappa||A_\omega|^2\,\frac{4\sin^2(\Delta k L/4)}{|\Delta k|}

Con $\Delta k \to 0$ el numerador va como $(\Delta k)^2$ y el cociente tiende a cero: el segundo tramo deshace exactamente lo que construyó el primero. El caso que en el cristal uniforme era el mejor posible aquí es el único que no produce nada.

(b) Escribiendo $x = \Delta k L/4$ , la amplitud es $L\sin^2 x/x$ , que se maximiza en $\tan x = 2x$ , es decir $x = 1{,}1656$ y $\Delta k L = 4{,}66$ (equivalente a $L = 1{,}48\,L_c$ ). Allí $|A_{2\omega}| = 0{,}725\,\kappa|A_\omega|^2 L$ , y como la intensidad va con el cuadrado, eso es el 52,5 % de lo que daría el mismo cristal sin invertir y con $\Delta k = 0$ . El desajuste ha dejado de ser el enemigo: sin él no habría señal.

(c) El signo de $\chi^{(2)}$ es un $\pi$ de fase que se puede poner donde uno quiera, y eso lo convierte en una variable de diseño en pie de igualdad con la longitud. Aquí está mal puesto —un dominio invertido a mitad de camino arruina el cristal ajustado—, pero puesto cada $L_c$ haría lo contrario: cancelar el retroceso justo antes de que ocurra. Ésa es exactamente la idea del quasi-phase matching del artículo 03, y esta integral es su versión de un solo dominio.