Phase matching: hacer que cuadre

En el artículo anterior vimos que la eficiencia de SHG depende críticamente del desajuste de fase $\Delta k = k_{2\omega} - 2k_\omega$ . Con $\Delta k = 0$ , la eficiencia crece como $L^2$ — sin límite. Con $\Delta k \neq 0$ , oscila y satura en la longitud de coherencia $L_c = \pi/\Delta k$ , que puede ser de solo micrómetros. El reto es claro: necesitamos $\Delta k = 0$ , es decir $n(2\omega) = n(\omega)$ . Pero la dispersión normal dice que $n(2\omega) > n(\omega)$ . ¿Cómo?

Phase matching birrefringente (BPM)

Algunos cristales tienen índices de refracción distintos según la polarización de la luz — dos polarizaciones ortogonales viajan a velocidades diferentes dentro del mismo material. Esta anisotropía se llama birrefringencia, y es exactamente el truco que necesitamos: si una polarización «ve» un índice distinto que la otra, podemos compensar la dispersión eligiendo polarizaciones distintas para el fundamental y el armónico.

Muchos cristales no lineales son birrefringentes: tienen dos índices de refracción — uno para la polarización ordinaria ( $n_o$ ) y otro para la extraordinaria ( $n_e$ ). La idea: usar polarizaciones distintas para el fundamental y el armónico, aprovechando que $n_o$ y $n_e$ tienen dispersiones diferentes.

En un cristal negativo ( $n_e < n_o$ ), el fundamental se propaga como onda ordinaria (índice $n_o(\omega)$ , alto) y el armónico como onda extraordinaria (índice $n_e(2\omega)$ , más bajo). Si la birrefringencia es suficiente para compensar la dispersión:

n_e(2\omega, \theta) = n_o(\omega)

donde $\theta$ es el ángulo de propagación respecto al eje óptico del cristal. Como $n_e$ depende del ángulo (va de $n_o$ a $n_e$ a medida que $\theta$ pasa de 0° a 90°), siempre existe un ángulo $\theta_{\text{PM}}$ que satisface la condición — si la birrefringencia es mayor que la dispersión.

El ángulo de phase matching

El índice extraordinario depende del ángulo según:

\frac{1}{n_e^2(\theta)} = \frac{\cos^2\theta}{n_o^2} + \frac{\sin^2\theta}{n_e^2}

La condición $n_e(2\omega, \theta) = n_o(\omega)$ se resuelve para $\theta$ :

\sin^2\theta_{\text{PM}} = \frac{n_o^{-2}(\omega) - n_o^{-2}(2\omega)}{n_e^{-2}(2\omega) - n_o^{-2}(2\omega)}

El ángulo existe solo si el numerador es positivo y menor que el denominador. Para BBO a 800 nm: $\theta_{\text{PM}} \approx 29°$ . Para KTP a 1064 nm: $\theta_{\text{PM}} \approx 23°$ .

Explorar

Birrefringencia Δn 0.120

Phase matching birrefringente (Tipo I)

Mayor birrefringencia → θ_PM mas pequeño. La interseccion da la condicion n_e(2ω, θ) = n_o(ω).

Tipo I y tipo II

Hay dos configuraciones de polarización para SHG:

Tipo I (oo → e): los dos fotones fundamentales son ordinarios, el armónico es extraordinario. Condición: $n_e(2\omega) = n_o(\omega)$ .
Tipo II (oe → e): un fotón fundamental es ordinario, el otro extraordinario. Condición: $n_e(2\omega) = \frac{n_o(\omega) + n_e(\omega)}{2}$ . Más difícil de cumplir pero tiene ventajas en ancho de banda.

Limitaciones del BPM

El BPM funciona, pero tiene problemas:

Walk-off: el rayo extraordinario no viaja exactamente paralelo al ordinario. Se separan lateralmente, limitando la longitud de interacción.
Ángulo fijo: el cristal debe cortarse al ángulo $\theta_{\text{PM}}$ exacto. No se puede usar el coeficiente $\chi^{(2)}$ más alto (que a menudo está en otra dirección cristalográfica).
Ancho de banda angular limitado: desviaciones de $\theta_{\text{PM}}$ destruyen el PM rápidamente. Haces focalizados (que contienen muchos ángulos) son problemáticos.

Quasi-phase matching (QPM)

La alternativa moderna es el quasi-phase matching (QPM): en lugar de igualar las velocidades de fase, se invierte periódicamente la orientación del cristal. Cada inversión cambia el signo de $\chi^{(2)}$ , lo que equivale a «resetear» la fase relativa antes de que la energía fluya de vuelta al fundamental.

El periodo de inversión es exactamente el doble de la longitud de coherencia:

\Lambda = 2L_c = \frac{2\pi}{\Delta k}

¿Por qué funciona invertir χ⁽²⁾ cada L_c?

Sin QPM, la amplitud del armónico oscila: crece durante $L_c$ , luego decrece durante $L_c$ . Si en el punto de máximo (a $z = L_c$ ) invertimos el signo de $\chi^{(2)}$ , la contribución que iba a ser destructiva se convierte en constructiva. La amplitud sigue creciendo.

Matemáticamente, QPM reemplaza $\Delta k$ por $\Delta k_{\text{eff}} = \Delta k - 2\pi/\Lambda$ . Con $\Lambda = 2\pi/\Delta k$ , $\Delta k_{\text{eff}} = 0$ — phase matching efectivo. La eficiencia crece como $L^2$ , pero con un coeficiente reducido por un factor $2/\pi$ respecto al BPM perfecto (porque la inversión periódica promedia $\chi^{(2)}$ ).

Ventajas de QPM sobre BPM:

Acceso al mayor d: la propagación puede ser a lo largo del eje óptico, usando el componente más grande de $\chi^{(2)}$ (d₃₃ en LiNbO₃, ~27 pm/V vs ~4 pm/V accesible por BPM).
Sin walk-off: fundamental y armónico viajan paralelos.
Diseñable: el periodo Λ se puede elegir para cualquier par de longitudes de onda. Se puede hacer SHG, DFG, OPA — todo en el mismo tipo de cristal cambiando solo Λ.
Fabricación: en LiNbO₃, el poling se hace aplicando campos eléctricos a través de electrodos litografiados. Periodos típicos: 5–30 μm. PPLN es el estándar.

Temperature tuning

Los índices de refracción dependen de la temperatura. En PPLN, ajustar la temperatura del cristal desplaza $\Delta k$ y permite sintonizar la longitud de onda de phase matching sin mover nada mecánicamente. Rango típico: ~1 nm/°C. Es la forma estándar de sintonizar OPOs y SHG en PPLN.

Ejercicios

Ejercicio 1

En KTP, la longitud de coherencia para SHG a 1064 nm sin phase matching es $L_c \approx 5.4$ μm. ¿Cuál sería el periodo de poling Λ para QPM? ¿Es fabricable con litografía estándar (resolución ~1 μm)?

Solución

$\Lambda = 2L_c = 2 \times 5.4 = 10.8$ μm. Sí, perfectamente fabricable con litografía óptica convencional (resolución ~1 μm). Los periodos típicos de PPLN y PPKTP para SHG de Nd:YAG están en el rango 6–10 μm.

Ejercicio 2

BPM tipo I requiere $n_e(2\omega) = n_o(\omega)$ . En BBO: $n_o(800) = 1.660$ , $n_o(400) = 1.692$ , $n_e(400) = 1.567$ . ¿Existe un ángulo de PM? Calcula $\theta_{\text{PM}}$ .

Solución

Necesitamos $n_e(400, \theta) = n_o(800) = 1.660$ .

$n_e$ varía de $n_o(400) = 1.692$ (a $\theta = 0°$ ) a $n_e(400) = 1.567$ (a $\theta = 90°$ ). Como 1.567 < 1.660 < 1.692, el ángulo existe.

\sin^2\theta = \frac{1.660^{-2} - 1.692^{-2}}{1.567^{-2} - 1.692^{-2}} = \frac{0.3629 - 0.3493}{0.4073 - 0.3493} = \frac{0.0136}{0.0580} = 0.234

$\theta_{\text{PM}} = \arcsin(\sqrt{0.234}) \approx 29°$ .

Ejercicio 3

QPM reduce la eficiencia efectiva por un factor $(2/\pi)^2 \approx 0.40$ respecto a BPM perfecto (porque promedia χ⁽²⁾ con las inversiones). Pero PPLN accede a d₃₃ = 27 pm/V, mientras que BPM en LiNbO₃ solo accede a d₃₁ = 4.3 pm/V. ¿Cuál da más eficiencia? (La eficiencia va como d².)

Solución

QPM con d₃₃: $\eta_{\text{QPM}} \propto (2/\pi)^2 \times 27^2 = 0.405 \times 729 = 295$ .

BPM con d₃₁: $\eta_{\text{BPM}} \propto 1 \times 4.3^2 = 18.5$ .

QPM es $295/18.5 \approx 16\times$ más eficiente. La penalización del factor $2/\pi$ está más que compensada por el acceso al coeficiente d más grande. Por eso PPLN domina la óptica no lineal moderna.