La difracción es una transformada de Fourier

En el artículo anterior descompusimos imágenes en sumas de rejillas sinusoidales y vimos que la transformada de Fourier es el mapa que nos dice qué frecuencias hay y con qué peso. Ahora viene algo extraordinario: la naturaleza hace exactamente ese cálculo cada vez que la luz pasa por una abertura. El patrón de difracción que aparece en una pantalla lejana es la transformada de Fourier de la forma de esa abertura. Ni más, ni menos.

La luz no viaja en línea recta (del todo)

Parece que la luz viaja en línea recta — y en la mayoría de las situaciones cotidianas funciona perfectamente suponer eso. Pero si miras con cuidado, cuando la luz pasa por una rendija muy estrecha, no se limita a proyectar una franja del mismo ancho al otro lado. Se esparce. El borde de la sombra no es nítido: aparecen franjas claras y oscuras que no deberían estar ahí si la luz fuera sólo rayos rectos.

Christiaan Huygens propuso en 1678 una idea elegante: cada punto de un frente de onda se comporta como una fuente puntual que emite su propia ondita esférica. El frente de onda un instante después es la envolvente de todas esas onditas. Si el frente de onda pasa por una abertura, sólo los puntos dentro de ella contribuyen — y esas onditas interfieren entre sí al propagarse. Esa interferencia es lo que produce el patrón de difracción.

Augustin Fresnel formalizó esto un siglo más tarde con la integral de difracción de Huygens-Fresnel:

Cada punto $Q$ de la abertura $\Sigma$ emite una ondita $e^{ikr}/r$ que se propaga hasta el punto $P$ de la pantalla. El campo total es la suma (integral) de todas esas contribuciones. Parece complicada, pero el punto clave es que esta integral, en el caso más relevante para la óptica, se simplifica a algo que ya conocemos.

La rendija que calcula

Supongamos que la pantalla está lejos de la abertura — lo que los ópticos llaman campo lejano o aproximación de Fraunhofer. En ese límite, la integral de Huygens-Fresnel se reduce, sorprendentemente, a una transformada de Fourier.

Si llamamos $t(x)$ a la función de transmisión de la rendija (1 donde la luz pasa, 0 donde está bloqueada), entonces la intensidad en la pantalla lejana es:

Para una rendija de ancho $a$, esa transformada nos da exactamente la función sinc al cuadrado:

Un máximo central brillante, lóbulos secundarios que decaen rápidamente, y ceros donde las contribuciones de las distintas partes de la rendija se cancelan exactamente. Pero no confíes sólo en la fórmula: compruébalo. Mueve el deslizador y observa qué le pasa al patrón de difracción cuando cambias el ancho de la rendija:

Fíjate en algo contraintuitivo: cuanto más estrecha es la rendija, más ancho es el patrón de difracción. Y al revés: una rendija amplia produce un pico central estrecho. Esto es exactamente la propiedad de reciprocidad de la transformada de Fourier — una función estrecha en el espacio tiene un espectro ancho en frecuencia, y viceversa. La naturaleza nos lo está mostrando con luz.

Dos rendijas: el experimento de Young

Thomas Young, en 1801, hizo pasar luz por dos rendijas paralelas y observó algo que los defensores de la teoría corpuscular no podían explicar: franjas de interferencia. Zonas claras y oscuras alternadas, como si las ondas que salen de cada rendija se reforzaran en unos puntos y se cancelaran en otros.

Desde nuestra perspectiva de Fourier, el experimento de Young no es misterioso — es exactamente lo que esperarías. La función de transmisión ahora son dos rectángulos separados. Su transformada de Fourier es el producto de un sinc (por el ancho de cada rendija) y un coseno (por la separación entre ellas). El coseno produce las franjas de interferencia; el sinc modula su envolvente.

Juega con los dos parámetros: el ancho de cada rendija controla la envolvente (lo rápido que decae), y la separación controla la frecuencia de las franjas de interferencia:

Si separas mucho las rendijas, las franjas se aprietan. Si las acercas, se ensanchan. Es la misma reciprocidad de siempre: distancia grande en el espacio produce frecuencia alta en el patrón de difracción. La transformada de Fourier conecta los dos mundos.

De dos rendijas a muchas: la rejilla de difracción

Si dos rendijas producen franjas, ¿qué pasa con 5? ¿Con 20? ¿Con 50? La respuesta es una de las herramientas más útiles de la óptica: la rejilla de difracción.

A medida que aumentas el número de rendijas, los máximos de interferencia se hacen más estrechos y más brillantes. Con pocas rendijas, los picos son anchos y vagos. Con muchas, se convierten en líneas afiladas. La posición de esos máximos la da la ecuación de la rejilla:

donde $d$ es el periodo de la rejilla, $\theta$ el ángulo, $m$ el orden de difracción, y $\lambda$ la longitud de onda. Cada longitud de onda se desvía un ángulo diferente — por eso una rejilla de difracción separa colores, igual que un prisma pero con más control.

Explora cómo cambia el patrón al variar el número de rendijas, su ancho individual y el periodo entre ellas:

Observa con atención: entre los máximos principales aparecen $N - 2$ mínimos secundarios. Con 2 rendijas no los ves; con 50, la estructura fina es evidente. La rejilla de difracción es la base de la espectroscopía — la herramienta que nos dice de qué están hechas las estrellas, qué contaminantes hay en el aire, y qué energías emiten los átomos.

Cualquier apertura

Todo lo anterior es 1D — rendijas infinitamente largas en una dirección. Pero la misma idea se extiende a dos dimensiones sin ningún cambio conceptual. Si la abertura tiene una función de transmisión $t(x,y)$, el patrón de difracción en campo lejano es:

Un cuadrado produce un patrón sinc en dos direcciones (una cruz). Un círculo produce los anillos de Airy — la función de Bessel de primer orden, que es el equivalente circular del sinc. Un triángulo produce un patrón hexagonal. Un anillo produce anillos concéntricos más marcados. Selecciona diferentes aperturas y observa la relación entre la forma y su patrón de difracción:

Cada patrón te está contando algo sobre la geometría de la abertura. Un patrón alargado en una dirección significa que la abertura es estrecha en esa dirección. Simetrías en la abertura se reflejan en simetrías del patrón. La transformada de Fourier traduce entre forma y frecuencias — y la difracción es esa traducción hecha visible.

La matemática: la integral de difracción

Recapitulemos lo que hemos construido desde la intuición. La integral de difracción de Huygens-Fresnel nos dice el campo en un punto $P$ de la pantalla:

En la aproximación de Fraunhofer (pantalla lejana), hacemos dos simplificaciones: $1/r$ es prácticamente constante sobre la abertura, y la fase $kr$ se puede aproximar de forma lineal en las coordenadas de la abertura. Con esas dos simplificaciones, la integral se reduce a:

donde $u = x_P / \lambda z$ y $v = y_P / \lambda z$ son las coordenadas angulares escaladas. La intensidad medida en la pantalla es el módulo al cuadrado del campo:

La condición de Fraunhofer se cumple cuando la distancia a la pantalla $z$ es mucho mayor que $a^2/\lambda$, donde $a$ es el tamaño de la abertura. En la práctica, esto se puede lograr también con una lente — lo veremos en el artículo siguiente.

¿Y esto para qué sirve?

La conexión entre difracción y transformada de Fourier no es una curiosidad elegante. Es la base de tecnologías que usamos todos los días y de descubrimientos que cambiaron la ciencia:

• Cristalografía de rayos X: la famosa «Foto 51» que reveló la estructura del ADN es un patrón de difracción. Rosalind Franklin hizo pasar rayos X a través de fibras de ADN, y la cruz en el patrón le dijo a Watson y Crick que la molécula era una hélice. El patrón de difracción era la transformada de Fourier de la estructura del cristal.
• Criterio de Rayleigh: la resolución máxima de cualquier instrumento óptico — telescopio, microscopio, cámara — está limitada por la difracción en su abertura. El disco de Airy que viste para la abertura circular define el tamaño mínimo de detalle que se puede resolver.
• Espectroscopía: las rejillas de difracción separan la luz en sus componentes espectrales. Cada línea espectral corresponde a una transición atómica. Así sabemos de qué están hechas las estrellas, sin haber tocado jamás una.
• Procesado óptico: si el patrón de difracción es una transformada de Fourier, entonces manipularlo equivale a filtrar frecuencias. Una lente puede calcular la transformada de Fourier y una máscara en el plano focal puede seleccionar o eliminar componentes de frecuencia. Esto es el tema del artículo 03.

En el próximo artículo veremos cómo una simple lente convergente calcula la transformada de Fourier de la luz que la atraviesa — sin electricidad, sin silicio, sin algoritmos. La óptica de Fourier deja de ser matemáticas sobre papel y se convierte en algo que puedes construir sobre un banco óptico.

Ejercicios