Una lente calcula transformadas de Fourier

En el artículo anterior descubrimos que el patrón de difracción en campo lejano es la transformada de Fourier de la apertura. Pero «campo lejano» significa que la pantalla tiene que estar muy lejos — a una distancia $z \gg a^2/\lambda$ , donde $a$ es el tamaño de la apertura. Para una rendija de un milímetro con luz visible, eso puede ser metros. No muy práctico.

Aquí entra la lente. Una lente convergente hace algo extraordinario: trae el campo lejano al plano focal. La transformada de Fourier, que la difracción libre necesita una distancia infinita para completar, aparece a una distancia finita $f$ — la distancia focal de la lente. Sin electricidad, sin silicio, sin algoritmos. Un trozo de vidrio curvado calcula.

De la difracción a la lente

Recordemos la situación del artículo anterior. Tenemos una apertura con función de transmisión $t(x,y)$ iluminada por una onda plana. En una pantalla a distancia $z$ , el campo es la integral de difracción de Huygens-Fresnel. Si $z$ es suficientemente grande (régimen de Fraunhofer), esa integral se simplifica a la transformada de Fourier de $t$ .

Pero ¿qué pasa a distancias intermedias? Ahí estamos en el régimen de Fresnel, donde el patrón es más complejo — no es la FT limpia, sino una versión «a medio cocinar». A medida que nos alejamos, la propagación libre va transformando gradualmente el campo de Fresnel en el campo de Fraunhofer. Una lente hace trampa: aplica exactamente la fase cuadrática que la propagación libre tardaría en acumular. Resultado: la FT aparece inmediatamente en el plano focal.

El sistema 2f

La configuración clave se llama sistema 2f: el objeto se coloca a distancia $f$ antes de la lente, y se observa a distancia $f$ después de ella. La distancia total es $2f$ — de ahí el nombre.

En esta configuración, el campo en el plano de salida es exactamente la transformada de Fourier del campo de entrada (salvo un factor de fase global que desaparece al medir intensidad). Cada punto del plano focal corresponde a una frecuencia espacial del objeto. El centro es la componente DC — el brillo medio. Los puntos alejados del centro son las frecuencias altas — los bordes y detalles finos.

Selecciona diferentes objetos de entrada y observa cómo la lente transforma cada uno en su espectro de Fourier:

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Objeto de entrada

Sistema 2f

Apertura (entrada)

|TF|² (plano focal)

Fíjate en que el diagrama de rayos muestra la idea central: rayos que salen con el mismo ángulo desde distintos puntos de la apertura convergen al mismo punto en el plano focal. Cada ángulo corresponde a una frecuencia espacial, y la lente los separa limpiamente.

Ver la propagación

Antes de tener la lente, ¿cómo evoluciona realmente el campo al propagarse desde la apertura? La visualización siguiente muestra exactamente eso. El eje vertical es la distancia de propagación $z$ (la apertura está arriba, el campo lejano abajo), y el eje horizontal es la posición transversal $x$ . El brillo representa la intensidad del campo en cada punto.

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Propagación: apertura → campo lejano

Ancho de rendija 30 px

Cerca de la apertura (arriba), el patrón es complejo — franjas de Fresnel, oscilaciones rápidas, bordes que no se parecen a la transformada de Fourier. A medida que $z$ aumenta, el patrón se va suavizando hasta que, por debajo de la línea punteada ( $z \approx a^2/\lambda$ ), converge al patrón de Fraunhofer: la transformada de Fourier.

Lo que hace la lente es cortocircuitar este proceso. En vez de esperar a que la propagación libre acumule la fase necesaria, la lente aplica toda esa fase de golpe. El resultado: el patrón de Fraunhofer aparece a distancia $f$ , no a distancia infinita.

La escala importa: distancia focal

El tamaño del patrón de Fourier en el plano focal depende de la distancia focal. La relación es directa: la coordenada en el plano de salida $x'$ se relaciona con la frecuencia espacial $u$ mediante:

x' = \lambda f \cdot u

Una distancia focal más larga estira el patrón — las frecuencias espaciales se separan más y hay más espacio para ver detalles del espectro. Una focal corta comprime todo.

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Patrón de difracción de un cuadrado

Distancia focal 1.00×

Al aumentar f, el patrón se expande — mayor distancia focal da más espacio para ver los detalles del espectro. Al reducirla, el patrón se comprime.

Esto tiene consecuencias prácticas directas. Si quieres resolver frecuencias espaciales cercanas entre sí (por ejemplo, dos líneas espectrales próximas), necesitas una focal larga. Si quieres un sistema compacto y no necesitas tanta resolución espectral, una focal corta basta.

La matemática del sistema 2f

Una lente delgada actúa multiplicando el campo incidente por una fase cuadrática. La función de transmisión de la lente es:

t_{\text{lente}}(x,y) = \exp\!\left(-\frac{i\pi}{\lambda f}(x^2 + y^2)\right)

Del objeto al plano focal: tres pasos

El campo recorre tres etapas: propagación libre $f$ , lente, propagación libre $f$ .

1. Propagación del objeto a la lente (integral de Fresnel):

U_L(x) = \frac{1}{i\lambda f} \int U_{\text{in}}(x') \, e^{i\pi(x-x')^2/(\lambda f)} \, dx'

2. Efecto de la lente — multiplicar por la fase cuadrática:

U_L^+(x) = U_L(x) \cdot e^{-i\pi x^2/(\lambda f)}

3. Propagación de la lente al plano focal (otra integral de Fresnel). Al expandir y simplificar, las fases cuadráticas en $x$ se cancelan exactamente — la de la propagación ida, la de la lente, y la de la propagación vuelta. Solo sobrevive el término cruzado lineal:

U_{\text{out}}(x') = \frac{1}{i\lambda f} \int U_{\text{in}}(x) \, e^{-2\pi i x x'/(\lambda f)} \, dx

La cancelación exacta de las fases cuadráticas es lo que hace mágico al sistema 2f: sin ella, tendríamos una integral de Fresnel (no una FT limpia). La lente aporta exactamente la fase que falta.

El resultado, tras propagar el campo a través del sistema 2f completo, es:

U_{\text{out}}(x',y') = \frac{1}{i\lambda f} \iint U_{\text{in}}(x,y) \, e^{-\frac{2\pi i}{\lambda f}(x x' + y y')} \, dx\,dy

Compara esta expresión con la definición de la transformada de Fourier. Son idénticas, con la sustitución $u = x'/(\lambda f)$ , $v = y'/(\lambda f)$ . La lente es un procesador de Fourier analógico.

La intensidad medida en el plano focal es:

I(x',y') = \frac{1}{\lambda^2 f^2} \left|\mathcal{F}\{U_{\text{in}}\}\!\left(\frac{x'}{\lambda f}, \frac{y'}{\lambda f}\right)\right|^2

Nada de aproximaciones lejanas. La transformada de Fourier está ahí, exacta, a una distancia $f$ de la lente.

¿Y esto para qué sirve?

Que una lente compute la transformada de Fourier no es una curiosidad de laboratorio. Es la base de una familia entera de técnicas:

Sistema 4f — procesado óptico: si pones un objeto en el plano de entrada, una lente calcula su FT en el plano focal. Si pones una máscara en ese plano focal (bloqueando ciertas frecuencias), y luego usas una segunda lente para hacer la FT inversa, obtienes la imagen filtrada. Es un procesador de señales analógico que opera a la velocidad de la luz. Esto es exactamente lo que exploraremos en el artículo 04.
Espectrómetros: una rejilla de difracción seguida de una lente produce el espectro en el plano focal. Cada longitud de onda se enfoca en una posición diferente. Es la transformada de Fourier en acción, separando las componentes espectrales de la luz.
El ojo: la córnea y el cristalino forman un sistema de lentes que enfoca la luz sobre la retina. En cierto sentido, tu retina recibe una versión transformada del campo luminoso que entra por la pupila. La óptica de Fourier explica los límites de resolución del ojo y fenómenos como la difracción que ves al entrecerrar los ojos ante una luz puntual.

Ahora que sabemos que una lente calcula la transformada de Fourier, la pregunta natural es: ¿qué pasa si ponemos una máscara en el plano de Fourier? Podemos bloquear frecuencias altas (suavizar la imagen), bloquear frecuencias bajas (resaltar bordes), o hacer cosas más exóticas. Eso es el filtrado espacial — y es el tema del artículo 04.

Ejercicios

Ejercicio 1

Usa el explorador de distancia focal de arriba. Observa el patrón de Fourier con una focal $f_1$ y luego duplícala a $f_2 = 2f_1$ . ¿Cómo cambia el tamaño del patrón? Usa la relación $x' = \lambda f \cdot u$ para demostrar que duplicar la focal duplica la escala del patrón de Fourier en el plano de salida.

Solución

La coordenada en el plano focal correspondiente a una frecuencia espacial $u$ es $x' = \lambda f \cdot u$ . Si duplicas la focal:

x'_2 = \lambda (2f) \cdot u = 2\,(\lambda f \cdot u) = 2\,x'_1

Cada punto del patrón de Fourier se desplaza al doble de distancia del centro. El patrón completo se escala por un factor 2. En el explorador se ve claramente: focal más larga = patrón más extendido, con más espacio entre detalles del espectro. Esto es importante en la práctica: si necesitas resolver frecuencias espaciales cercanas, una focal más larga te da más separación física entre ellas en el plano focal.

Ejercicio 2

Observa la simulación de propagación. El patrón de Fresnel (cerca de la apertura) es complejo y no se parece a la transformada de Fourier. El patrón de Fraunhofer (lejos) sí. La condición de Fraunhofer es $z \gg a^2/\lambda$ . Para una rendija de $a = 0{,}5\,\text{mm}$ iluminada con $\lambda = 633\,\text{nm}$ (He-Ne), ¿a partir de qué distancia se puede considerar que el patrón es Fraunhofer? ¿Qué focal necesitaría una lente para producir esa misma transformada de Fourier de forma compacta?

Solución

La distancia de transición Fresnel-Fraunhofer es:

z_F = \frac{a^2}{\lambda} = \frac{(0{,}5 \times 10^{-3})^2}{633 \times 10^{-9}} = \frac{2{,}5 \times 10^{-7}}{6{,}33 \times 10^{-7}} \approx 0{,}40\;\text{m}

Para estar claramente en régimen de Fraunhofer, necesitas $z \gg 0{,}40\,\text{m}$ , digamos $z > 4\,\text{m}$ (un factor 10×). Eso es mucho espacio en un laboratorio. Pero una lente con focal $f$ cualquiera produce la FT exacta en su plano focal. Una lente de $f = 50\,\text{mm}$ bastaría — la misma FT en 5 cm en vez de 4 metros. Esa es la gracia de la lente.