Recuperar lo perdido

En el artículo anterior vimos que toda imagen real es una versión degradada de la imagen ideal: el sistema óptico la convoluciona con su PSF, suavizando detalles y perdiendo información en las frecuencias altas. Ahora la pregunta natural: si sabemos cómo se degradó, ¿podemos deshacerlo? ¿Podemos recuperar la imagen original?

El problema inverso

Recordemos: si $f(x,y)$ es la imagen ideal y $h(x,y)$ es la PSF del sistema, la imagen que observamos es:

donde $n(x,y)$ es el ruido inevitable en cualquier medición real. En el dominio de Fourier, la convolución se convierte en multiplicación:

El problema inverso parece trivial: divide ambos lados por $H(u,v)$ y recuperas $F(u,v)$. Simple división. ¿Qué podría salir mal?

El filtro inverso: una idea obvia que falla

El filtro inverso ingenuo hace exactamente eso:

El problema está donde $H(u,v)$ se hace pequeño. Un sistema óptico real atenúa las frecuencias altas — eso es precisamente lo que hace la PSF. Entonces, en esas frecuencias, $|H(u,v)| \to 0$. Dividir por un número cercano a cero amplifica cualquier cosa que haya ahí. ¿Y qué hay ahí? Ruido.

Incluso ruido minúsculo — ruido que no puedes ver a simple vista en la imagen degradada — se amplifica hasta dominar completamente el resultado. El filtro inverso es matemáticamente correcto pero prácticamente inútil en presencia de ruido.

Prueba esto: empieza con ruido en cero y observa que el filtro inverso funciona perfectamente. Luego sube el ruido al mínimo (0.005) y mira cómo explota. El filtro de Wiener, a la derecha, controla esa explosión:

El filtro de Wiener: regularizar para sobrevivir

La solución es no dividir ciegamente, sino regularizar. El filtro de Wiener reemplaza la división por:

La constante $K$ es el parámetro de regularización. Donde $|H|^2 \gg K$, el filtro se comporta como el inverso normal — divide por $H$ y recupera la señal. Donde $|H|^2 \ll K$, el denominador está dominado por $K$ y el filtro básicamente pone cero — no intenta recuperar información que está enterrada en ruido.

Es un compromiso elegante: $K$ grande suprime más ruido pero pierde más detalle. $K$ pequeño recupera más detalle pero deja pasar más ruido. No hay almuerzo gratis.

En la versión completa, $K$ se reemplaza por la razón entre la densidad espectral del ruido y la de la señal:

Este es el estimador lineal óptimo en el sentido de minimizar el error cuadrático medio $E\left[|f - \hat{f}|^2\right]$. Cuando asumes que la razón $S_n/S_f$ es constante en todas las frecuencias, obtienes la versión simplificada con $K$ constante. La conexión con la regularización de Tikhonov es directa: estabilizar un problema mal condicionado añadiendo un término de penalización.

La fase importa más que la amplitud

Aquí hay un resultado profundo que cambia la intuición sobre la información en una imagen. Toma dos imágenes, calcula la transformada de Fourier de cada una, y luego intercambia sus fases: usa la magnitud de una con la fase de la otra, y viceversa.

El resultado es sorprendente: la imagen reconstruida se parece a la imagen cuya fase se usó, no a la imagen cuya magnitud se usó. La fase de la transformada de Fourier lleva la mayor parte de la información estructural — bordes, formas, posiciones. La magnitud lleva información sobre textura y contraste, pero no sobre dónde están las cosas.

Esto tiene implicaciones profundas. Si pierdes la fase, pierdes la estructura de la imagen. Y en muchos experimentos reales, la fase es exactamente lo que no puedes medir directamente.

Recuperación de fase

En cristalografía de rayos X, en microscopía electrónica, en imagen coherente difraccional, lo que mides es la intensidad en el plano de Fourier: $|F(u,v)|^2$. El detector registra cuántos fotones llegan a cada punto, pero no la fase de la onda. La fase se pierde.

Este es el problema de fase, y es uno de los problemas más importantes en óptica computacional. Rosalind Franklin podía medir las intensidades de difracción de rayos X del ADN — los famosos patrones con forma de X — pero para determinar la estructura tridimensional de la molécula necesitaba las fases. Sin fases, no hay estructura. Watson y Crick resolvieron el problema con un modelo físico y mucha intuición, pero el problema general sigue siendo difícil.

Algoritmos como Gerchberg-Saxton (1972) y HIO (Hybrid Input-Output, Fienup 1982) intentan recuperar la fase iterativamente: empiezan con una fase aleatoria, imponen restricciones conocidas en el dominio espacial y en el dominio de Fourier, y van convergiendo hacia una solución consistente. No siempre convergen, y cuando lo hacen, no siempre a la solución correcta. Pero cuando funcionan, son extraordinarios.

Hoy, las redes neuronales están aprendiendo a hacer recuperación de fase directamente, entrenadas con millones de ejemplos. La ptycografía — una técnica de ptycografía donde tomas múltiples mediciones con solapamiento — convierte el problema de fase en uno sobre-determinado y más tratable. Es un campo en plena explosión.

¿Y esto para qué sirve?

• Astronomía: el espejo primario del Hubble se fabricó con un error de 2 micrómetros. Antes de que llegara la misión de reparación, los científicos salvaron años de observaciones aplicando deconvolución a las imágenes — conocían la PSF del defecto y pudieron parcialmente deshacerla.
• Imagen médica: en resonancia magnética, la imagen se reconstruye desde mediciones en el espacio de Fourier (el espacio-k). En tomografía computarizada, el algoritmo de retroproyección filtrada es, en esencia, una deconvolución. Sin estas técnicas inversas, no habría imagen diagnóstica.
• Forense: sí, se pueden mejorar imágenes borrosas de cámaras de vigilancia — pero no como en CSI. La deconvolución real recupera algo de detalle, no inventa resolución que nunca estuvo ahí. La información destruida por el ruido está perdida para siempre.
• Fotografía computacional: cada vez que tu smartphone toma una foto con poca luz y sale nítida, está haciendo deconvolución pesada detrás de escena. Los modos de «noche» combinan múltiples exposiciones y aplican filtros de Wiener (o sus equivalentes modernos basados en redes neuronales) para recuperar detalle.
• Cristalografía y ptycografía: la recuperación de fase es lo que permite determinar la estructura atómica de proteínas, virus y materiales. Cada estructura en el Protein Data Bank fue resuelta, directa o indirectamente, resolviendo un problema de fase.

En el último artículo veremos que la coherencia misma — si las ondas de luz están «en fase» entre sí — es también una relación de Fourier. El teorema de van Cittert-Zernike conecta la distribución espacial de una fuente de luz con la coherencia de la onda que produce. Es el cierre del círculo.

Ejercicios