La coherencia también es Fourier

En los artículos anteriores asumimos algo crucial sin decirlo: que la luz era perfectamente coherente — todas las ondas perfectamente sincronizadas, como soldados marchando al mismo paso. Pero la luz real no es así. La luz de una bombilla, de una estrella, de un LED — es solo parcialmente coherente. Y el grado de coherencia determina si ves franjas de interferencia nítidas o un lavado borroso sin patrón alguno.

¿Están las ondas «en fase»?

Coherencia significa, en esencia, previsibilidad. Si puedes predecir el valor de la onda en un punto a partir de su valor en otro punto, esas dos posiciones son coherentes entre sí. Si no puedes, son incoherentes.

Hay dos tipos de coherencia, y ambos resultan ser relaciones de Fourier:

Coherencia temporal: ¿están las ondas «en fase» a lo largo del tiempo? Una fuente monocromática (espectro estrecho, como un láser) tiene coherencia temporal larga — puedes predecir la onda muchos ciclos hacia adelante. Una fuente de espectro ancho (luz blanca) pierde la fase rápidamente. La coherencia temporal está relacionada con el ancho de banda espectral.
Coherencia espacial: ¿están las ondas «en fase» en distintos puntos del espacio? Una fuente puntual lejana (una estrella) produce un frente de onda casi plano — coherente en todo el espacio. Una fuente extendida (el Sol, una bombilla) pierde coherencia rápidamente entre puntos separados. La coherencia espacial está relacionada con el tamaño angular de la fuente.

La sorpresa: ambas relaciones son transformadas de Fourier.

Wiener-Khintchine: el espectro como transformada de Fourier

Empecemos con la coherencia temporal. Toma una señal luminosa y pregúntate: ¿cuánto se parece a sí misma si la desplazas un intervalo $\tau$ en el tiempo? La respuesta es la función de autocorrelación:

R(\tau) = \langle f(t) \, f^*(t+\tau) \rangle

Cuando $\tau = 0$ , la señal se compara consigo misma: autocorrelación autocorrelación máxima. A medida que $\tau$ crece, si la señal es coherente, $R(\tau)$ se mantiene alto por mucho tiempo. Si es incoherente, cae rápidamente.

Ahora, el teorema de Wiener-Khintchine dice algo elegante: la PSD (densidad espectral de potencia) y la autocorrelación son un par de Fourier.

S(\nu) = \int_{-\infty}^{\infty} R(\tau) \, e^{-2\pi i \nu \tau} \, d\tau

Es decir: la PSD es la transformada de Fourier de la autocorrelación. Espectro estrecho ↔ autocorrelación ancha (coherencia larga). Espectro ancho ↔ autocorrelación estrecha (coherencia corta). La misma relación de incertidumbre que vimos en el Artículo 01: estrecho en un dominio = ancho en el otro.

El tiempo de coherencia es inversamente proporcional al ancho de banda:

\tau_c \sim \frac{1}{\Delta\nu}

Un láser de helio-neón tiene $\Delta\nu \sim 1{,}5 \text{ GHz}$ , lo que da $\tau_c \sim 0{,}7 \text{ ns}$ y una longitud de coherencia de unos 20 cm. El Sol, con su espectro de cuerpo negro, tiene $\tau_c \sim 2 \text{ fs}$ — una longitud de coherencia de menos de un micrómetro.

Juega con la simulación: cambia el tipo de coherencia y observa cómo la autocorrelación y la PSD están inversamente relacionadas. Genera nuevas realizaciones y comprueba que el patrón se mantiene.

Explorar

Coherencia

Senal

Autocorrelacion

PSD

Caso intermedio: la autocorrelacion decae gradualmente. El espectro tiene un ancho moderado.

Van Cittert-Zernike: la coherencia espacial como transformada de Fourier

Ahora la coherencia espacial. Imagina una fuente extendida — el Sol, una galaxia lejana, un filamento incandescente — a una distancia $z$ . La pregunta: ¿cuánto se parecen las ondas que llegan a dos puntos del plano de observación separados una distancia $\Delta x$ ?

El teorema de Van Cittert-Zernike responde: el grado complejo de coherencia $\mu(\Delta x)$ es la transformada de Fourier de la distribución de intensidad de la fuente.

\mu(\Delta x) = \frac{\displaystyle\int I(\xi) \, e^{-2\pi i \xi \Delta x / (\lambda z)} \, d\xi}{\displaystyle\int I(\xi) \, d\xi}

¿De dónde sale el teorema de Van Cittert-Zernike?

Cada punto $\xi$ de la fuente emite una onda esférica independiente. En el plano de observación a distancia $z$ , el campo en un punto $x_1$ es:

E(x_1) = \int \sqrt{I(\xi)} \, e^{i\phi(\xi)} \, \frac{e^{ikr_1}}{r_1} \, d\xi

donde $\phi(\xi)$ es una fase aleatoria (fuente incoherente: cada punto emite con fase independiente). La función de coherencia mutua es:

\Gamma(x_1, x_2) = \langle E(x_1) E^*(x_2) \rangle

Al promediar, los términos cruzados entre puntos distintos de la fuente se anulan (fases aleatorias independientes: $\langle e^{i(\phi_j - \phi_k)} \rangle = \delta_{jk}$ ). Solo sobreviven los términos diagonales:

\Gamma(x_1, x_2) = \int I(\xi) \, \frac{e^{ik(r_1 - r_2)}}{z^2} \, d\xi

En la aproximación de Fraunhofer, $r_1 - r_2 \approx -\xi \cdot \Delta x / z$ , y la integral se convierte en la transformada de Fourier de $I(\xi)$ evaluada en $\Delta x / (\lambda z)$ . Normalizando por $\Gamma(0,0)$ se obtiene $\mu(\Delta x)$ .

Para una fuente circular de diámetro $d$ , el resultado es:

\mu(\Delta x) = \frac{2 J_1\!\left(\dfrac{\pi d \, \Delta x}{\lambda z}\right)}{\dfrac{\pi d \, \Delta x}{\lambda z}}

— que es exactamente el patrón de Airy del Artículo 02, porque la transformada de Fourier de un disco es un patrón de Airy. El diámetro de coherencia resulta ser:

\Delta x_c \approx 1{,}22 \, \frac{\lambda z}{d}

Fíjate: es la misma fórmula que la resolución de un telescopio con apertura $d$ observando una fuente a distancia $z$ . No es coincidencia — es la misma transformada de Fourier en acción.

Fuente puntual → coherencia perfecta en todo el espacio. Fuente extendida → coherencia limitada. Fuente más grande → coherencia que cae más rápido. «Estrecho en un dominio, ancho en el otro» — otra vez.

Explorar

Fuente

Tamano 5

Fuente I(x,y)

Coherencia |mu|

Perfil radial

Fuente mas grande = coherencia que cae mas rapido. Misma relacion inversa del Articulo 01.

La coherencia se ve: franjas de Young

¿Cómo sabemos que la coherencia es real y no solo una abstracción? Con el experimento de Young. Dos rendijas en una pantalla, iluminadas por la misma fuente. Si la luz que llega a las dos rendijas es coherente ( $|\mu| \approx 1$ ), se ven franjas de interferencia nítidas. Si es incoherente ( $|\mu| \approx 0$ ), no hay franjas — solo iluminación uniforme.

La visibilidad de las franjas es exactamente el módulo del grado de coherencia:

V = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}} = |\mu_{12}|

Para una fuente rectangular de ancho $W$ , la visibilidad con separación de rendijas $d$ es:

V = \left|\operatorname{sinc}\!\left(\frac{W \cdot d}{\lambda z}\right)\right|

Prueba esto: con fuente pequeña y rendijas juntas, hay franjas perfectas. Aumenta el tamaño de la fuente y las franjas desaparecen. Aumenta la separación de las rendijas y las franjas también desaparecen — porque la coherencia no alcanza a cubrir la distancia entre las rendijas.

Explorar

Separacion rendijas 0.30

Tamano fuente 0.50

Coherencia alta: franjas bien definidas. Las ondas llegan casi en fase.

El círculo se cierra

Hemos llegado al final del módulo. Mira el camino que hemos recorrido:

Artículo 01: Las imágenes son sumas de frecuencias espaciales. La transformada de Fourier descompone una imagen en sus componentes sinusoidales.
Artículo 02: La difracción calcula transformadas de Fourier. El patrón de difracción de una apertura es su transformada de Fourier.
Artículo 03: Una lente calcula la transformada de Fourier a distancia finita. La óptica de Fourier se hace posible en el laboratorio.
Artículo 04: Máscaras en el plano de Fourier filtran imágenes. Manipulando frecuencias espaciales, controlamos la imagen.
Artículo 05: Toda imagen real es una convolución con la PSF del sistema. Multiplicación en Fourier = convolución en el espacio.
Artículo 06: Podemos parcialmente deshacer la degradación. La deconvolución recupera información — con límites impuestos por el ruido.
Artículo 07: Incluso las propiedades estadísticas de la luz — su coherencia temporal y espacial — son relaciones de Fourier.

Es Fourier todo el camino hacia abajo.

Este módulo cubrió los fundamentos de la óptica de Fourier — la herramienta conceptual y matemática que conecta la difracción, la formación de imágenes, el filtrado espacial y la coherencia. Es el lenguaje que usan los ingenieros ópticos, los astrónomos y los investigadores en imagen médica todos los días.

Con estas bases, estás preparado para el siguiente paso: la óptica numérica. FDTD, DDA, FEM, BEM — métodos que resuelven las ecuaciones de Maxwell directamente, sin las aproximaciones de Fourier, para simular estructuras nanofotónicas, metamateriales y guías de onda con precisión completa. Todo eso te espera en el Módulo 02.

Ejercicios

Ejercicio 1

Usa el simulador de Van Cittert-Zernike de arriba. Selecciona una fuente circular y observa cómo varía el grado de coherencia $|\mu(\Delta x)|$ con la separación. Sabiendo que el diámetro de coherencia es $\Delta x_c \approx 1{,}22 \, \lambda z / d$ , calcula $\Delta x_c$ para el Sol ( $d = 1{,}4 \times 10^9\,\text{m}$ , $z = 1{,}5 \times 10^{11}\,\text{m}$ , $\lambda = 550\,\text{nm}$ ). ¿La luz del Sol es espacialmente coherente a escala de milímetros?

Solución

\Delta x_c = 1{,}22 \times \frac{550 \times 10^{-9} \times 1{,}5 \times 10^{11}}{1{,}4 \times 10^9} \approx 1{,}22 \times \frac{82{,}5 \times 10^{-3}\,\text{m} \cdot \text{m}}{1{,}4 \times 10^9\,\text{m}}

\Delta x_c \approx 1{,}22 \times 59 \times 10^{-6}\,\text{m} \approx 72\,\mu\text{m}

El diámetro de coherencia de la luz del Sol es ~72 $\mu$ m, menos de una décima de milímetro. Eso explica por qué no ves franjas de Young con luz solar a menos que uses rendijas muy juntas. Si las rendijas están separadas más de ~70 $\mu$ m, la visibilidad de las franjas cae por debajo de 0.88 (el primer cero de la función de Airy normalizada). A escala de milímetros, la luz solar es esencialmente incoherente espacialmente.

Ejercicio 2

Usa el simulador de interferencia de coherencia de arriba. Fija las rendijas con una separación intermedia y aumenta gradualmente el tamaño de la fuente. ¿A qué tamaño de fuente desaparecen las franjas? Ahora, para una fuente rectangular de ancho $W$ , la visibilidad es $V = |\operatorname{sinc}(W d / \lambda z)|$ . Encuentra el valor de $W$ para el que la visibilidad cae exactamente a cero por primera vez. ¿Qué significado físico tiene ese punto?

Solución

El primer cero de la función sinc ocurre cuando su argumento es $\pm 1$ , es decir:

\frac{W \cdot d}{\lambda z} = 1 \quad \Rightarrow \quad W = \frac{\lambda z}{d}

En ese punto, la visibilidad cae a cero: las franjas desaparecen completamente. Físicamente, la fuente es tan grande que cada par de puntos de la fuente produce franjas con un desplazamiento diferente, y al sumar todos esos patrones desplazados, se promedian hasta dar iluminación uniforme.

Es la misma reciprocidad de siempre: una fuente más ancha (más extendida en el espacio) produce coherencia espacial más estrecha (coherencia que cae más rápidamente con la separación). Fourier, otra vez.