La coherencia también es Fourier

En los artículos anteriores asumimos algo crucial sin decirlo: que la luz era perfectamente coherente — todas las ondas perfectamente sincronizadas, como soldados marchando al mismo paso. Pero la luz real no es así. La luz de una bombilla, de una estrella, de un LED — es solo parcialmente coherente. Y el grado de coherencia determina si ves franjas de interferencia nítidas o un lavado borroso sin patrón alguno.

¿Están las ondas «en fase»?

Coherencia significa, en esencia, previsibilidad. Si puedes predecir el valor de la onda en un punto a partir de su valor en otro punto, esas dos posiciones son coherentes entre sí. Si no puedes, son incoherentes.

Hay dos tipos de coherencia, y ambos resultan ser relaciones de Fourier:

Coherencia temporal: ¿están las ondas «en fase» a lo largo del tiempo? Una fuente monocromática (espectro estrecho, como un láser) tiene coherencia temporal larga — puedes predecir la onda muchos ciclos hacia adelante. Una fuente de espectro ancho (luz blanca) pierde la fase rápidamente. La coherencia temporal está relacionada con el ancho de banda espectral.
Coherencia espacial: ¿están las ondas «en fase» en distintos puntos del espacio? Una fuente puntual lejana (una estrella) produce un frente de onda casi plano — coherente en todo el espacio. Una fuente extendida (el Sol, una bombilla) pierde coherencia rápidamente entre puntos separados. La coherencia espacial está relacionada con el tamaño angular de la fuente.

La sorpresa: ambas relaciones son transformadas de Fourier.

Wiener-Khintchine: el espectro como transformada de Fourier

Empecemos con la coherencia temporal. Toma una señal luminosa y pregúntate: ¿cuánto se parece a sí misma si la desplazas un intervalo $\tau$ en el tiempo? La respuesta es la función de autocorrelación:

R(\tau) = \langle f(t) \, f^*(t+\tau) \rangle

Cuando $\tau = 0$ , la señal se compara consigo misma: autocorrelación autocorrelación máxima. A medida que $\tau$ crece, si la señal es coherente, $R(\tau)$ se mantiene alto por mucho tiempo. Si es incoherente, cae rápidamente.

Ahora, el teorema de Wiener-Khintchine dice algo elegante: la PSD (densidad espectral de potencia) y la autocorrelación son un par de Fourier.

S(\nu) = \int_{-\infty}^{\infty} R(\tau) \, e^{-2\pi i \nu \tau} \, d\tau

Es decir: la PSD es la transformada de Fourier de la autocorrelación. Espectro estrecho ↔ autocorrelación ancha (coherencia larga). Espectro ancho ↔ autocorrelación estrecha (coherencia corta). La misma relación de incertidumbre que vimos en el Artículo 01: estrecho en un dominio = ancho en el otro.

El tiempo de coherencia es inversamente proporcional al ancho de banda:

\tau_c \sim \frac{1}{\Delta\nu}

Un láser de helio-neón tiene $\Delta\nu \sim 1{,}5 \text{ GHz}$ , lo que da $\tau_c \sim 0{,}7 \text{ ns}$ y una longitud de coherencia de unos 20 cm. El Sol, con su espectro de cuerpo negro, tiene $\tau_c \sim 2 \text{ fs}$ — una longitud de coherencia de menos de un micrómetro.

Juega con la simulación: cambia el tipo de coherencia y observa cómo la autocorrelación y la PSD están inversamente relacionadas. Genera nuevas realizaciones y comprueba que el patrón se mantiene.

Explorar

Coherencia

Senal

Autocorrelacion

PSD

Caso intermedio: la autocorrelacion decae gradualmente. El espectro tiene un ancho moderado.

Van Cittert-Zernike: la coherencia espacial como transformada de Fourier

Ahora la coherencia espacial. Imagina una fuente extendida — el Sol, una galaxia lejana, un filamento incandescente — a una distancia $z$ . La pregunta: ¿cuánto se parecen las ondas que llegan a dos puntos del plano de observación separados una distancia $\Delta x$ ?

El teorema de Van Cittert-Zernike responde: el grado complejo de coherencia $\mu(\Delta x)$ es la transformada de Fourier de la distribución de intensidad de la fuente.

\mu(\Delta x) = \frac{\displaystyle\int I(\xi) \, e^{-2\pi i \xi \Delta x / (\lambda z)} \, d\xi}{\displaystyle\int I(\xi) \, d\xi}

¿De dónde sale el teorema de Van Cittert-Zernike?

Cada punto $\xi$ de la fuente emite una onda esférica independiente. En el plano de observación a distancia $z$ , el campo en un punto $x_1$ es:

E(x_1) = \int \sqrt{I(\xi)} \, e^{i\phi(\xi)} \, \frac{e^{ikr_1}}{r_1} \, d\xi

donde $\phi(\xi)$ es una fase aleatoria (fuente incoherente: cada punto emite con fase independiente). La función de coherencia mutua es:

\Gamma(x_1, x_2) = \langle E(x_1) E^*(x_2) \rangle

Al promediar, los términos cruzados entre puntos distintos de la fuente se anulan (fases aleatorias independientes: $\langle e^{i(\phi_j - \phi_k)} \rangle = \delta_{jk}$ ). Solo sobreviven los términos diagonales:

\Gamma(x_1, x_2) = \int I(\xi) \, \frac{e^{ik(r_1 - r_2)}}{z^2} \, d\xi

En la aproximación de Fraunhofer, $r_1 - r_2 \approx -\xi \cdot \Delta x / z$ , y la integral se convierte en la transformada de Fourier de $I(\xi)$ evaluada en $\Delta x / (\lambda z)$ . Normalizando por $\Gamma(0,0)$ se obtiene $\mu(\Delta x)$ .

Para una fuente circular de diámetro $d$ , el resultado es:

\mu(\Delta x) = \frac{2 J_1\!\left(\dfrac{\pi d \, \Delta x}{\lambda z}\right)}{\dfrac{\pi d \, \Delta x}{\lambda z}}

— que es exactamente el patrón de Airy del Artículo 02, porque la transformada de Fourier de un disco es un patrón de Airy. El diámetro de coherencia resulta ser:

\Delta x_c \approx 1{,}22 \, \frac{\lambda z}{d}

Fíjate: es la misma fórmula que la resolución de un telescopio con apertura $d$ observando una fuente a distancia $z$ . No es coincidencia — es la misma transformada de Fourier en acción.

Fuente puntual → coherencia perfecta en todo el espacio. Fuente extendida → coherencia limitada. Fuente más grande → coherencia que cae más rápido. «Estrecho en un dominio, ancho en el otro» — otra vez.

Explorar

Fuente

Tamano 5

Fuente I(x,y)

Coherencia |mu|

Perfil radial

Fuente mas grande = coherencia que cae mas rapido. Misma relacion inversa del Articulo 01.

La coherencia se ve: franjas de Young

¿Cómo sabemos que la coherencia es real y no solo una abstracción? Con el experimento de Young. Dos rendijas en una pantalla, iluminadas por la misma fuente. Si la luz que llega a las dos rendijas es coherente ( $|\mu| \approx 1$ ), se ven franjas de interferencia nítidas. Si es incoherente ( $|\mu| \approx 0$ ), no hay franjas — solo iluminación uniforme.

La visibilidad de las franjas es exactamente el módulo del grado de coherencia:

V = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}} = |\mu_{12}|

Para una fuente rectangular de ancho $W$ , la visibilidad con separación de rendijas $d$ es:

V = \left|\operatorname{sinc}\!\left(\frac{W \cdot d}{\lambda z}\right)\right|

Prueba esto: con fuente pequeña y rendijas juntas, hay franjas perfectas. Aumenta el tamaño de la fuente y las franjas desaparecen. Aumenta la separación de las rendijas y las franjas también desaparecen — porque la coherencia no alcanza a cubrir la distancia entre las rendijas.

Explorar

Separacion rendijas 0.30

Tamano fuente 0.50

Coherencia alta: franjas bien definidas. Las ondas llegan casi en fase.

El círculo se cierra

Hemos llegado al final del módulo. Mira el camino que hemos recorrido:

Artículo 01: Las imágenes son sumas de frecuencias espaciales. La transformada de Fourier descompone una imagen en sus componentes sinusoidales.
Artículo 02: La difracción calcula transformadas de Fourier. El patrón de difracción de una apertura es su transformada de Fourier.
Artículo 03: Una lente calcula la transformada de Fourier a distancia finita. La óptica de Fourier se hace posible en el laboratorio.
Artículo 04: Máscaras en el plano de Fourier filtran imágenes. Manipulando frecuencias espaciales, controlamos la imagen.
Artículo 05: Toda imagen real es una convolución con la PSF del sistema. Multiplicación en Fourier = convolución en el espacio.
Artículo 06: Podemos parcialmente deshacer la degradación. La deconvolución recupera información — con límites impuestos por el ruido.
Artículo 07: Incluso las propiedades estadísticas de la luz — su coherencia temporal y espacial — son relaciones de Fourier.

Es Fourier todo el camino hacia abajo.

Este módulo cubrió los fundamentos de la óptica de Fourier — la herramienta conceptual y matemática que conecta la difracción, la formación de imágenes, el filtrado espacial y la coherencia. Es el lenguaje que usan los ingenieros ópticos, los astrónomos y los investigadores en imagen médica todos los días.

Con estas bases, estás preparado para el siguiente paso: la óptica numérica. FDTD, DDA, FEM, BEM — métodos que resuelven las ecuaciones de Maxwell directamente, sin las aproximaciones de Fourier, para simular estructuras nanofotónicas, metamateriales y guías de onda con precisión completa. Todo eso te espera en el Módulo 02.

Ejercicios

Ejercicio 1

Usa el simulador de Van Cittert-Zernike de arriba. Selecciona una fuente circular y observa cómo varía el grado de coherencia $|\mu(\Delta x)|$ con la separación. Sabiendo que el diámetro de coherencia es $\Delta x_c \approx 1{,}22 \, \lambda z / d$ , calcula $\Delta x_c$ para el Sol ( $d = 1{,}4 \times 10^9\,\text{m}$ , $z = 1{,}5 \times 10^{11}\,\text{m}$ , $\lambda = 550\,\text{nm}$ ). ¿La luz del Sol es espacialmente coherente a escala de milímetros?

Solución

\Delta x_c = 1{,}22 \times \frac{550 \times 10^{-9} \times 1{,}5 \times 10^{11}}{1{,}4 \times 10^9} \approx 1{,}22 \times \frac{8{,}25 \times 10^{4}\,\text{m}^2}{1{,}4 \times 10^9\,\text{m}}

\Delta x_c \approx 1{,}22 \times 59 \times 10^{-6}\,\text{m} \approx 72\,\mu\text{m}

El diámetro de coherencia de la luz del Sol es ~72 $\mu$ m, menos de una décima de milímetro. Eso explica por qué no ves franjas de Young con luz solar a menos que uses rendijas muy juntas. Con las rendijas separadas ~72 $\mu$ m la visibilidad se anula: ahí cae el primer cero de la función de Airy normalizada ( $\pi d\,\Delta x/(\lambda z) = 3{,}83$ ). A escala de milímetros, la luz solar es esencialmente incoherente espacialmente.

Ejercicio 2

Usa el simulador de interferencia de coherencia de arriba. Fija las rendijas con una separación intermedia y aumenta gradualmente el tamaño de la fuente. ¿A qué tamaño de fuente desaparecen las franjas? Ahora, para una fuente rectangular de ancho $W$ , la visibilidad es $V = |\operatorname{sinc}(W d / \lambda z)|$ . Encuentra el valor de $W$ para el que la visibilidad cae exactamente a cero por primera vez. ¿Qué significado físico tiene ese punto?

Solución

El primer cero de la función sinc ocurre cuando su argumento es $\pm 1$ , es decir:

\frac{W \cdot d}{\lambda z} = 1 \quad \Rightarrow \quad W = \frac{\lambda z}{d}

En ese punto, la visibilidad cae a cero: las franjas desaparecen completamente. Físicamente, la fuente es tan grande que cada par de puntos de la fuente produce franjas con un desplazamiento diferente, y al sumar todos esos patrones desplazados, se promedian hasta dar iluminación uniforme.

Es la misma reciprocidad de siempre: una fuente más ancha (más extendida en el espacio) produce coherencia espacial más estrecha (coherencia que cae más rápidamente con la separación). Fourier, otra vez.

Resumen en frío · Óptica de Fourier

Los siete artículos condensados en una tabla: la fórmula operativa de cada cosa y el sitio donde se dedujo. Sirve para montar dentro de seis meses un patrón de difracción, la escala de un plano focal o un cálculo de coherencia sin releer el curso — si para eso hay que volver al texto a buscar una constante, esta tabla ha fallado.

Qué	Fórmula o valor	Dónde
Frecuencia espacial	Rejilla 1D: g(x) = ½ + (C/2)·sen(2π f_x x), con f_x en ciclos/mm. En 2D: ½ + (C/2)·sen(2π(u₀x + v₀y)), con u₀ = f cos θ y v₀ = f sen θ	art. 01
Transformada de Fourier 2D	F(u,v) = ∬ f(x,y)·e^(−2πi(ux+vy)) dx dy; la inversa es la misma con e^(+2πi(ux+vy)). Centro del espectro = brillo medio (DC), periferia = bordes y detalle fino	art. 01
Teorema de Parseval	∬\|f(x,y)\|² dx dy = ∬\|F(u,v)\|² du dv: la energía es la misma medida en el espacio o en frecuencias	art. 01
Lo que cuesta un borde	Los coeficientes de una discontinuidad decaen como 1/n: 15–25 componentes para que las esquinas de la «F» dejen de verse redondeadas, y siempre un ~9 % de sobreoscilación (Gibbs)	art. 01, ej. 1
Punto y teorema de desplazamiento	La FT de δ(x)·δ(y) vale 1: espectro plano. Desplazado a (x₀,y₀) pasa a e^(−2πi(ux₀+vy₀)), con módulo 1 — cambia la fase, no la magnitud	art. 01, ej. 2
Difracción en campo lejano	Fraunhofer si z ≫ a²/λ, con a el tamaño de la abertura; entonces I(u,v) ∝ \|∬ t(x,y)·e^(−2πi(ux+vy)) dx dy\|², con u = x_P/(λz) y v = y_P/(λz)	art. 02
Rendija única de ancho a	I ∝ sinc²(πa·x_P/(λz)); ceros en sen θ = ±λ/a y lóbulo central de ancho angular Δθ = 2λ/a: la mitad de rendija, el doble de patrón	art. 02, ej. 2
Doble rendija (Young, 1801)	La FT de dos rectángulos es sinc (ancho de cada rendija → envolvente) × coseno (separación d → franjas). Máximos consecutivos a Δθ ≈ λ/d	art. 02, ej. 1
Rejilla de difracción	d·sen θ = mλ, con m el orden; con N rendijas los máximos principales se afilan y aparecen N − 2 máximos secundarios entre ellos	art. 02
Forma de la abertura → forma del patrón	Cuadrado → cruz de sincs · círculo → anillos de Airy (Bessel J₁) · triángulo → patrón hexagonal · anillo → anillos concéntricos	art. 02
Número de Fresnel	N_F = a²/(λz), con a la SEMIanchura. N_F ≫ 1 → Fresnel (sombra con franjas); N_F ≪ 1 → Fraunhofer. Con a = 0,5 mm y He-Ne (633 nm), N_F = 1 a z = 39,5 cm, y Fraunhofer limpio pide diez veces más	art. 02b
Integral de difracción de Fresnel	U(x,y,z) = (e^(ikz)/iλz)·∬ t(x′,y′)·e^(iπ[(x−x′)²+(y−y′)²]/λz) dx′dy′ — una CONVOLUCIÓN con h(x,y) = e^(ikz)·e^(iπ(x²+y²)/λz)/(iλz). Vale mientras la fase de cuarto orden < 1 rad: con a = 0,5 mm, z > 10,8 mm	art. 02b
Eje de una abertura circular	I(0,z)/I_libre = \|1 − e^(iπN_F)\|² = 4·sen²(πN_F/2): N_F impar → 4× (¡más que sin pantalla!), N_F par → cero exacto. Con a = 0,5 mm: brillante a 39,5 y 13,2 cm, apagado a 19,7 y 9,87 cm	art. 02b, ej. 1
Espectro angular	U(x,y,z) = FT⁻¹[Ũ(f_x,f_y,0)·e^(i2πz√(1/λ² − f_x² − f_y²))]: propagar es multiplicar por una fase, no aproximar nada. Fresnel es su desarrollo a segundo orden; a 10° del eje ya cuesta 1,1 rad de error en 1 mm	art. 02b
Ondas evanescentes	Corte en f = 1/λ = 1,58 ciclos/µm a 633 nm. Por debajo del periodo λ el campo decae como e^(−z/d) con d = 1/(2π√(1/Λ² − 1/λ²)) → Λ/2π: Λ = 100 nm da d = 16,1 nm y a 1 µm sólo queda 10⁻²⁷ de la amplitud	art. 02b, ej. 3
Efecto Talbot	z_T = 2d²/λ: la rejilla se copia a sí misma sin lente, y en z_T/2 la copia sale desplazada medio periodo. d = 20 µm con He-Ne → z_T = 1,26 mm (y 1,50 mm a 532 nm)	art. 02b, ej. 4
Zonas de Fresnel	r_m = √(mλz + m²λ²/4) ≈ √(mλz). Todas las zonas tienen la MISMA área πλz —1,99 mm² a z = 1 m con He-Ne— y contribuyen alternando el signo. El número de zonas que cabe en a es a²/(λz) = N_F	art. 02c
Mancha de Arago-Poisson	En el eje de la sombra de un disco opaco la intensidad es exactamente la del campo libre, para cualquier R y cualquier z (Babinet). El perfil es J₀² y su primer cero cae en ρ = 2,405·λz/(2πR) = 121 µm con R = 2 mm y z = 1 m	art. 02c, ej. 2
Placa zonal de Fresnel	f_m = r₁²/(mλ), con focos secundarios en f/3, f/5, … r₁ = 0,5 mm y He-Ne → f = 39,5 cm, 13,2 cm, 7,90 cm. Eficiencias: 1/π² = 10,1 % en el orden +1 (amplitud), 4/π² = 40,5 % si es de fase, 25 % sin difractar	art. 02c, ej. 1
Resolución de una placa zonal	Δr_N = λf/(2r_N), resolución 1,22·Δr_N y NA = λ/(2Δr_N) — sólo depende del anillo exterior, no de λ. Placa de rayos X: D = 100 µm, Δr_N = 25 nm a λ = 2,4 nm → f = 1,04 mm, NA = 0,048, 30,5 nm de resolución y Δλ/λ < 1/N = 10⁻³	art. 02c
Borde recto y espiral de Cornu	I/I₀ = ½[(½ + C(w))² + (½ + S(w))²] con w = x·√(2/λz). Justo en el borde geométrico I = I₀/4 (no la mitad); el primer máximo vale 1,37·I₀ en w = 1,217, que a z = 1 m con He-Ne son 0,685 mm dentro de la luz	art. 02c, ej. 3
Sistema 2f y lente delgada	t_lente(x,y) = exp(−iπ(x²+y²)/(λf)); con el objeto a f delante y la pantalla a f detrás, U_out(x′,y′) = (1/iλf) ∬ U_in·e^(−2πi(xx′+yy′)/(λf)) dx dy	art. 03
Escala del plano de Fourier	x′ = λf·u, o sea u = x′/(λf): duplicar la focal duplica la separación física entre frecuencias. Intensidad medida: I = \|FT del campo de entrada\|²/(λ²f²)	art. 03, ej. 1
Lo que ahorra la lente	Rendija a = 0,5 mm con He-Ne (λ = 633 nm): z_F = a²/λ = 0,40 m, y Fraunhofer limpio pide diez veces más, unos 4 m; una lente de f = 50 mm da la misma FT en 5 cm	art. 03, ej. 2
Sistema 4f	objeto → f → lente → f → plano de Fourier (máscara H) → f → lente → f → imagen, 4f en total; g(x,y) = FT inversa de H(u,v)·F(u,v) = h(x,y) * f(x,y)	art. 04
Qué hace cada máscara	Paso bajo → difumina · paso alto → sólo bordes · anillo (paso alto + paso bajo) → pasa-banda · bloquear el DC → campo oscuro · cuchilla a medio plano → Schlieren · máscara de fase → contraste de fase (Zernike, Nobel 1953)	art. 04
Geometría del filtro	La energía de unas franjas vive en la dirección perpendicular del espectro: para borrar rayas verticales hay que bloquear la franja horizontal (u ≠ 0, v ≈ 0)	art. 04, ej. 1
Límite de Abbe (1873)	d_min = λ/(2·NA), con NA = n·sen θ_max y u_max = 2NA/λ; λ = 550 nm y NA = 1,4 → d_min ≈ 200 nm. Con iluminación axial se pierde el 2: d_min = λ/NA	art. 04
Imagen como convolución	g(x,y) = ∬ f(x′,y′)·h(x − x′, y − y′) dx′ dy′, con h la PSF del sistema; convolucionar con una delta es la identidad	art. 05
Teorema de convolución, CTF y OTF	G(u,v) = F(u,v)·H(u,v). Coherente (láser, el 4f): H actúa sobre la AMPLITUD, es la CTF = la pupila, corte NA/λ. Incoherente: H actúa sobre la INTENSIDAD, es la OTF = autocorrelación de la pupila, corte 2NA/λ — el doble, y de ahí el 2 de Abbe. MTF = \|OTF\|; resolución práctica donde cruza 0,5	art. 05
MTF de cada PSF	Gaussiana: e^(−2π²σ²u²), decae sin llegar a cero · pillbox: \|2J₁(πDu)/(πDu)\|, con ceros e inversión de contraste · cuadrada: sinc · delta: plana e igual a 1	art. 05, ej. 1
De ciclos/mm a micras	d_min = 1/u_c: u_c = 200 ciclos/mm → 5 µm. Y MTF = 0,5 en 100 ciclos/mm significa una rejilla que llega a la imagen con la mitad de su contraste	art. 05, ej. 2
Imagen medida y filtro inverso	g = f ⊛ h + n, o sea G = F·H + N; el filtro inverso da G/H = F + N/H y explota donde \|H\| → 0. Con ruido ~0,005 ya es inservible	art. 06, ej. 1
Filtro de Wiener	Estimación = H*·G/(\|H\|² + K), con K = S_n/S_f: el mejor filtro lineal en error cuadrático medio. K grande suprime ruido y pierde detalle; K pequeño recupera detalle y deja pasar ruido	art. 06
La fase manda	Al intercambiar fase y magnitud de dos imágenes, la reconstrucción se parece a la que aportó la fase: la magnitud dice qué frecuencias hay, la fase dice dónde están	art. 06, ej. 2
Problema de fase	El detector registra \|F(u,v)\|² y pierde la fase; se recupera iterando: Gerchberg-Saxton (1972), HIO (Fienup, 1982) o ptycografía (medidas solapadas)	art. 06
Autocorrelación y Wiener-Khintchine	R(τ) = ⟨f(t)·f*(t+τ)⟩ y S(ν) = ∫ R(τ)·e^(−2πiντ) dτ son par de Fourier: espectro estrecho ↔ autocorrelación ancha ↔ coherencia larga	art. 07
Tiempo y longitud de coherencia	τ_c ~ 1/Δν y L_c = c·τ_c. He-Ne: Δν ~ 1,5 GHz → τ_c ~ 0,7 ns → L_c ≈ 20 cm. Sol: τ_c ~ 2 fs → L_c ≈ 0,6 µm, menos de un micrómetro	art. 07
Van Cittert-Zernike	μ(Δx) = ∫ I(ξ)·e^(−2πiξΔx/(λz)) dξ / ∫ I(ξ) dξ: la coherencia espacial es la FT de la distribución de intensidad de la fuente	art. 07
Diámetro de coherencia	Fuente circular de diámetro d: μ = 2J₁(x)/x con x = πd·Δx/(λz), y Δx_c ≈ 1,22 λz/d. Sol (d = 1,4×10⁹ m, z = 1,5×10¹¹ m, λ = 550 nm) → 72 µm	art. 07, ej. 1
Visibilidad de las franjas	V = (I_max − I_min)/(I_max + I_min) = \|μ₁₂\|; fuente rectangular de ancho W: V = \|sinc(W·d/(λz))\|, con primer cero en W = λz/d	art. 07, ej. 2