Capas y matrices: Transfer Matrix

Cada vez que la luz llega a una superficie — un cristal, una lente, la pantalla de tu móvil — parte se refleja y parte se transmite. En una sola interfaz, la física es sencilla: las ecuaciones de Fresnel te dan la respuesta exacta. Pero añade una segunda superficie, una tercera, diez, cincuenta... y la interferencia entre todas las reflexiones parciales crea un problema que parece intratable. La Transfer Matrix lo convierte en una multiplicación de matrices 2×2.

Una interfaz, dos ondas

Empecemos por lo básico. Cuando una onda plana llega a la frontera entre dos medios con índices de refracción $n_1$ y $n_2$ , se divide en una onda reflejada y una transmitida. Las fracciones de energía que van a cada una dependen del ángulo de incidencia y de la polarización.

Las ecuaciones de Fresnel dan los coeficientes de reflexión para las dos polarizaciones:

r_s = \frac{n_1 \cos\theta_1 - n_2 \cos\theta_2}{n_1 \cos\theta_1 + n_2 \cos\theta_2} \qquad r_p = \frac{n_2 \cos\theta_1 - n_1 \cos\theta_2}{n_2 \cos\theta_1 + n_1 \cos\theta_2}

donde $\theta_2$ se obtiene de la ley de Snell: $n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2$ . La reflectancia es $R = |r|^2$ .

Derivación de las ecuaciones de Fresnel

En la interfaz, las condiciones de contorno exigen continuidad de las componentes tangenciales de $\mathbf{E}$ y $\mathbf{H}$ . Para polarización s ( $\mathbf{E}$ paralelo a la interfaz):

E_i + E_r = E_t \qquad (E_i - E_r)\,n_1 \cos\theta_1 = E_t \, n_2 \cos\theta_2

La segunda ecuación viene de la continuidad de $H_\parallel$ , usando $H = nE/\mu_0 c$ y proyectando sobre la interfaz. Despejando $r_s = E_r/E_i$ :

r_s = \frac{n_1 \cos\theta_1 - n_2 \cos\theta_2}{n_1 \cos\theta_1 + n_2 \cos\theta_2}

Para polarización p ( $\mathbf{H}$ paralelo a la interfaz), las condiciones de contorno intercambian los papeles de $E$ y $H$ , dando:

r_p = \frac{n_2 \cos\theta_1 - n_1 \cos\theta_2}{n_2 \cos\theta_1 + n_1 \cos\theta_2}

El ángulo de Brewster ( $r_p = 0$ ) se obtiene cuando $n_2 \cos\theta_1 = n_1 \cos\theta_2$ , que junto con Snell da $\tan\theta_B = n_2/n_1$ .

Explora cómo cambia la reflectancia con el ángulo. Fíjate en dos fenómenos: el ángulo de Brewster (donde $R_p = 0$ — la polarización p no se refleja) y la reflexión total interna (cuando la luz viene del medio más denso y supera el ángulo crítico):

Explorar

n₁ (incidente) 1.00

n₂ (transmitido) 1.52

Reflexión externa (n₁ < n₂). R_p se anula en el ángulo de Brewster θ_B = 56.7°.

A incidencia normal ( $\theta = 0$ ), las dos polarizaciones dan lo mismo: $R = \left(\frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2}\right)^2$ . Para aire/vidrio (1.00/1.52) eso da $R \approx 4.3\%$ . Parece poco, pero en un objetivo fotográfico con 15 superficies, esa pérdida acumulada es devastadora — de ahí los recubrimientos antirreflejantes.

Dos interfaces: la interferencia aparece

Ahora pon una capa delgada de otro material sobre el vidrio — una película de grosor $d$ e índice $n_f$ . La luz se refleja en la superficie superior (aire/película) y en la inferior (película/vidrio). Las dos reflexiones interfieren. Si la película tiene un grosor de un cuarto de longitud de onda óptica ( $d = \lambda_0 / 4n_f$ ), las dos reflexiones llegan en contrafase y se cancelan.

Eso es un recubrimiento antirreflejante. La condición para cancelación perfecta a incidencia normal es $n_f = \sqrt{n_0 \cdot n_s}$ , el promedio geométrico de los índices del medio y del sustrato. Para aire/vidrio, el índice ideal sería 1.23. El fluoruro de magnesio (MgF₂) tiene $n = 1.38$ , que no es perfecto pero reduce la reflexión del 4.3% al 1.3%.

Con dos interfaces ya vemos el mecanismo esencial: la interferencia entre reflexiones parciales. ¿Pero qué pasa con 3 capas? ¿Con 50? Sumar a mano las amplitudes de cientos de ondas parciales es inviable. Aquí entra la Transfer Matrix.

N capas: la Transfer Matrix

La idea es elegante. En lugar de sumar ondas, trabajamos con la relación entre los campos a un lado y otro de cada capa. Para una capa de índice $n_j$ y grosor $d_j$ , la relación se expresa como una matriz 2×2 — la matriz característica de la capa:

M_j = \begin{pmatrix} \cos\delta_j & -\frac{i}{n_j}\sin\delta_j \\ -i\,n_j\sin\delta_j & \cos\delta_j \end{pmatrix}

donde $\delta_j = 2\pi n_j d_j / \lambda$ es el desfase que la onda acumula al atravesar la capa.

Derivación de la matriz característica

Dentro de la capa, el campo es suma de una onda que avanza y otra que retrocede:

E(z) = A\,e^{i n_j k z} + B\,e^{-i n_j k z}

El campo magnético asociado (a incidencia normal) es $H(z) = n_j\!\left(A\,e^{i n_j k z} - B\,e^{-i n_j k z}\right)$ . Evaluando en la cara superior ( $z = 0$ ) y la inferior ( $z = d$ ):

\begin{cases} E_1 = A + B \\ H_1 = n_j(A - B) \end{cases} \qquad \begin{cases} E_2 = A\,e^{i\delta} + B\,e^{-i\delta} \\ H_2 = n_j(A\,e^{i\delta} - B\,e^{-i\delta}) \end{cases}

Despejando $A$ y $B$ del sistema superior y sustituyendo en el inferior, se obtiene $E_1$ y $H_1$ en función de $E_2$ y $H_2$ :

\begin{pmatrix} E_1 \\ H_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\delta & -\frac{i}{n_j}\sin\delta \\ -i\,n_j\sin\delta & \cos\delta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E_2 \\ H_2 \end{pmatrix}

Esa es la matriz característica $M_j$ . Para $N$ capas, se multiplican en orden: $M = M_1 \cdot M_2 \cdots M_N$ .

¿Varias capas? Se multiplican las matrices:

M = M_1 \cdot M_2 \cdot \ldots \cdot M_N

Y el coeficiente de reflexión de todo el sistema sale de una fórmula directa que involucra los cuatro elementos de la matriz total $M$ y los índices del medio ambiente ( $n_0$ ) y del sustrato ( $n_s$ ):

r = \frac{n_0 M_{00} + n_0 n_s M_{01} - M_{10} - n_s M_{11}}{n_0 M_{00} + n_0 n_s M_{01} + M_{10} + n_s M_{11}}

Y la reflectancia es $R = |r|^2$ . Eso es todo. No importa si tienes 2 capas o 200: siempre es multiplicar matrices 2×2 y aplicar la fórmula. La complejidad escala linealmente con el número de capas. Una multicapa de 100 capas se calcula en microsegundos.

Diseño de recubrimientos

Con esta herramienta, podemos diseñar estructuras ópticas impresionantes. Explora los cuatro ejemplos — desde la interfaz desnuda hasta un filtro Fabry-Perot — y observa cómo el apilamiento de capas controla completamente el espectro de reflexión:

Explorar

Recubrimiento

λ₀ diseño 550 nm

Pares H/L 5

n alto 2.30

n bajo 1.46

Estructura

Espectro R(λ) y T(λ)

Espejo de Bragg: capas λ/4 alternadas. La banda siempre se centra en λ₀. Más contraste (n_H/n_L) = banda más ancha. Más pares = R más alta.

Observa las diferencias:

Sin recubrimiento: la reflexión es plana, ~4% en todo el espectro. Sin interferencia, sin estructura.
Antirreflejante (1 capa): una capa de $\lambda/4$ de MgF₂ crea un mínimo de reflexión a la longitud de onda de diseño. Es la «V-coat» que llevan la mayoría de las lentes fotográficas.
Espejo de Bragg: capas alternadas de alto/bajo índice, cada una de $\lambda/4$ . Las reflexiones parciales interfieren constructivamente y crean una banda prohibida centrada en $\lambda_0$ . Más pares = mayor reflectancia y banda más definida. Con 10 pares de TiO₂/SiO₂, $R > 99.9\%$ .
Fabry-Perot: dos espejos de Bragg con un espaciador de $\lambda/2$ en medio. Crea una ventana de transmisión ultraestrecha dentro de la banda prohibida — un filtro espectral preciso. Los astrónomos los usan para aislar líneas de emisión. Los ingenieros de telecom, para separar canales en fibra óptica.

Ejercicios

Ejercicio 1

Un láser HeNe emite a $\lambda = 633$ nm. Diseña un recubrimiento antirreflejante de una sola capa para un sustrato de vidrio. Usa la calculadora de arriba: selecciona «Antirreflejante», ajusta $\lambda_0$ a 633 nm y observa $R$ al mínimo. ¿Es cero? ¿Por qué no?

Solución

Con MgF₂ (n = 1.38), el mínimo de R a 633 nm es ~1.3%, no cero. La cancelación perfecta requiere

n_f = \sqrt{n_0 \cdot n_s} = \sqrt{1.52} \approx 1.23

. Como MgF₂ tiene n = 1.38 (demasiado alto), las dos reflexiones parciales no se cancelan exactamente. No existe un material óptico de buen calidad con n = 1.23 — ese es el límite práctico de las monocapas AR.

Ejercicio 2

¿Cuántos pares de TiO₂/SiO₂ necesita un espejo de Bragg para alcanzar $R > 99\%$ a $\lambda_0 = 550$ nm? Usa la calculadora y aumenta el número de pares hasta superar ese umbral.

Solución

Con el contraste de índices TiO₂/SiO₂ (2.30/1.46), se necesitan ~5 pares para superar R = 99%. Con 3 pares ya se supera el 95%. Si reduces el contraste (por ejemplo, n_alto = 1.8), necesitarás más pares para el mismo R — pruébalo con los sliders.

Ejercicio 3

En el filtro Fabry-Perot, ¿qué pasa con la anchura de la ventana de transmisión al aumentar el número de pares por espejo? ¿Y al reducir el contraste de índices? Predice antes de comprobarlo.

Solución

Más pares → espejos más reflectantes → ventana de transmisión más estrecha (mayor finesse). Menor contraste → espejos menos reflectantes → ventana más ancha. La finesse del Fabry-Perot es

\mathcal{F} = \pi \sqrt{R} / (1 - R)

, donde

R

es la reflectancia de cada espejo.

¿Y esto para qué sirve?

La Transfer Matrix es la herramienta de trabajo diario en óptica de capas delgadas:

Objetivos fotográficos: cada lente lleva recubrimientos multicapa optimizados para minimizar reflejos en todo el espectro visible. Sin ellos, las fotos tendrían flares y pérdida de contraste inaceptables.
Pantallas: la pantalla de tu móvil tiene un apilamiento cuidadosamente diseñado para maximizar la transmisión y minimizar reflejos.
Láseres: los espejos de un resonador láser son multicapas de Bragg con reflectancias superiores al 99.99%.
Energía solar: las células fotovoltaicas llevan recubrimientos antirreflejantes que maximizan la absorción de luz en todo el espectro solar.

La Transfer Matrix es exacta para capas planas infinitas. En cuanto la geometría se sale de lo unidimensional — una partícula, una estructura periódica 2D, una guía de onda — necesitas otros métodos. El siguiente artículo cubre las aproximaciones que te permiten avanzar sin simulación pesada: Mie, medio efectivo y cuasiestática.