Aproximar para entender

En el artículo anterior vimos que la Transfer Matrix resuelve el problema de capas planas. Pero la mayoría de los problemas interesantes no son capas planas — son partículas, agregados, mezclas de materiales. Para estas geometrías, antes de lanzar una simulación pesada, conviene preguntarse: ¿hay una aproximación que capture la física esencial?

Lo pequeño es diferente: la aproximación cuasiestática

Cuando una partícula es mucho más pequeña que la longitud de onda ( $x = 2\pi a / \lambda \ll 1$ ), el campo electromagnético es casi uniforme dentro de ella. La partícula «no ve» la variación espacial de la onda — solo siente un campo que oscila uniformemente. En ese límite, el problema electromagnético se reduce a electrostática con un campo que cambia en el tiempo.

La partícula se comporta como un dipolo, y su sección eficaz de scattering es la famosa fórmula de Rayleigh:

Q_{\text{sca}} = \frac{8}{3} \, x^4 \left|\frac{m^2 - 1}{m^2 + 2}\right|^2

Derivación: de la polarizabilidad a Rayleigh

Una esfera dieléctrica de radio $a$ en un campo uniforme $\mathbf{E}_0$ adquiere un momento dipolar $\mathbf{p} = \varepsilon_0 \alpha \mathbf{E}_0$ , con polarizabilidad (resultado clásico de electrostática):

\alpha = 4\pi a^3 \, \frac{\varepsilon - \varepsilon_m}{\varepsilon + 2\varepsilon_m}

Un dipolo oscilante radia con potencia $P = \frac{c k^4}{12\pi \varepsilon_0} |\mathbf{p}|^2$ . Dividiendo por la irradiancia incidente $I = \frac{1}{2} c \varepsilon_0 |E_0|^2$ se obtiene la sección eficaz de scattering:

C_{\text{sca}} = \frac{k^4}{6\pi} |\alpha|^2 = \frac{8\pi}{3} k^4 a^6 \left|\frac{m^2 - 1}{m^2 + 2}\right|^2

Normalizando por la sección geométrica $\pi a^2$ y usando $x = ka$ :

Q_{\text{sca}} = \frac{C_{\text{sca}}}{\pi a^2} = \frac{8}{3} \, x^4 \left|\frac{m^2 - 1}{m^2 + 2}\right|^2

El $x^4$ lo explica todo: las partículas pequeñas dispersan mucho más eficientemente las longitudes de onda cortas. Como $x = 2\pi a / \lambda$ , a tamaño fijo la dispersión crece como $\lambda^{-4}$ . La luz azul se dispersa ~10 veces más que la roja. Por eso el cielo es azul.

¿Hasta dónde es válida esta aproximación? Compara la fórmula de Rayleigh con la solución exacta de Mie:

Explorar

Índice n 1.50

Zona verde: Rayleigh válido (x < 0.5). Más allá, aparecen resonancias que la aproximación no captura.

Para $x < 0.5$ , Rayleigh es excelente. Para $x \sim 1$ , ya falla visiblemente: las resonancias de Mie (que vimos en el artículo anterior) aparecen, y la aproximación dipolar no las captura. Para $x > 2$ , Rayleigh es cualitativamente incorrecta.

Observa qué pasa al aumentar el índice de refracción: las resonancias se estrechan y se mueven a valores menores de $x$ , reduciendo el rango de validez de Rayleigh. Con índices altos (silicio, $n \approx 3.5$ ), incluso partículas de 50 nm entran en el régimen de Mie en el visible.

Resonancias plasmónicas

La aproximación cuasiestática se vuelve especialmente interesante para nanopartículas metálicas. El factor de Clausius-Mossotti que aparece en la fórmula de Rayleigh,

\frac{\varepsilon - \varepsilon_m}{\varepsilon + 2\varepsilon_m}

tiene un denominador que puede anularse. Cuando $\text{Re}(\varepsilon) = -2\varepsilon_m$ , la polarizabilidad diverge (en la práctica, la parte imaginaria de $\varepsilon$ limita el pico): es la LSPR (resonancia de plasmón localizado). La nanopartícula absorbe y dispersa luz intensamente a una longitud de onda específica que depende del metal y del medio circundante.

Explora cómo cambia la LSPR con el metal y el índice del medio. Fíjate en cómo la resonancia se desplaza al rojo al aumentar $n_{\text{medio}}$ — la base del biosensado con nanopartículas:

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Metal

n medio 1.00

Oro: LSPR en el visible. Al aumentar n del medio, la resonancia se desplaza al rojo.

El oro tiene su LSPR en el verde (~520 nm en aire), lo que le da su color rojo intenso en suspensión coloidal — las copas de Licurgo romanas ya lo sabían, aunque no sabían por qué. La plata la tiene en el UV/azul, más estrecha gracias a un menor amortiguamiento. Al sumergir la nanopartícula en un medio de mayor índice, la resonancia se desplaza al rojo: cada aumento de 0.05 en $n_m$ desplaza el pico ~10 nm. Eso es un sensor refractométrico, y funciona a escala de una sola nanopartícula.

Mezclas y medios efectivos

¿Qué pasa cuando tienes no una partícula, sino millones de partículas pequeñas dispersas en un medio? Si son mucho menores que $\lambda$ , el conjunto se comporta como un material homogéneo con una permitividad efectiva $\varepsilon_{\text{eff}}$ . La pregunta es: ¿cuál?

Hay dos respuestas clásicas. Maxwell-Garnett (1904) trata las inclusiones como esferas aisladas dentro de una matriz:

\varepsilon_{\text{eff}} = \varepsilon_h \, \frac{\varepsilon_i + 2\varepsilon_h + 2f(\varepsilon_i - \varepsilon_h)}{\varepsilon_i + 2\varepsilon_h - f(\varepsilon_i - \varepsilon_h)}

Bruggeman (1935) trata ambos materiales simétricamente — ninguno es «la matriz» ni «la inclusión»:

f \, \frac{\varepsilon_i - \varepsilon_{\text{eff}}}{\varepsilon_i + 2\varepsilon_{\text{eff}}} + (1-f) \, \frac{\varepsilon_h - \varepsilon_{\text{eff}}}{\varepsilon_h + 2\varepsilon_{\text{eff}}} = 0

Explora cómo varía el índice efectivo con la fracción de volumen para distintos contrastes de índice:

Explorar

n inclusiones 2.30

n matriz 1.00

Maxwell-Garnett: inclusiones diluidas en una matriz. Bruggeman: mezcla simétrica. Divergen a fracciones altas.

Las dos teorías coinciden a fracciones bajas (pocas inclusiones) y a los extremos ( $f=0$ y $f=1$ ). Divergen a fracciones intermedias: Maxwell-Garnett, al tratar un material como matriz, tiende a subestimar el efecto de las inclusiones. Bruggeman, al ser simétrico, interpola de manera más suave.

¿Cuál usar? Maxwell-Garnett funciona bien para inclusiones diluidas ( $f < 0.3$ ). Bruggeman es mejor para mezclas granulares donde ningún componente domina. Y ninguno funciona bien cuando las partículas ya no son pequeñas comparadas con $\lambda$ — ahí necesitas simulación explícita.

¿Cuándo aproximar y cuándo simular?

La regla de oro:

Rayleigh / cuasiestática: válida cuando $x < 0.3{-}0.5$ . Suficiente para nanopartículas de <50 nm en el visible, sensores LSPR, estimaciones rápidas.
Medio efectivo: válido cuando las inclusiones son mucho menores que $\lambda$ y están distribuidas aleatoriamente. Útil para cerámicas, pinturas, recubrimientos nanocompuestos.
Mie: exacto para esferas de cualquier tamaño. La referencia contra la que se valida todo lo demás.
Simulación numérica: cuando la geometría no es una esfera, la partícula interactúa con otras, o el tamaño y la longitud de onda son comparables. Ahí es donde entran FDTD, DDA, FEM y BEM — los temas de los próximos artículos.

Ejercicios

Ejercicio 1

Una nanopartícula de vidrio (n = 1.50) tiene radio a = 40 nm. ¿Es válida la aproximación de Rayleigh a $\lambda = 500$ nm? Calcula $x$ y compruébalo con la gráfica de arriba.

Solución

x = 2\pi a / \lambda = 2\pi \times 40 / 500 \approx 0.50

. Justo en el límite. En la gráfica, a x = 0.5 la curva roja (Rayleigh) empieza a separarse de la azul (Mie). Para n = 1.5 la diferencia es aún pequeña (~5%), pero para n = 3.5 (silicio), la misma x = 0.5 ya muestra desviaciones significativas.

Ejercicio 2

Usa la gráfica de plasmones para encontrar la LSPR de una nanopartícula de oro en agua (n = 1.33). ¿Cuánto se desplaza respecto al aire? Un biosensor detecta la presencia de proteínas por el cambio de $n_m$ cerca de la superficie. Si las proteínas suben n de 1.33 a 1.40, ¿cuántos nm se desplaza la LSPR?

Solución

En aire (n = 1.0), la LSPR del oro está ~520 nm. En agua (n = 1.33), se desplaza al rojo ~40 nm, a ~560 nm. De n = 1.33 a n = 1.40, el desplazamiento adicional es ~10 nm. Estos desplazamientos de ~70 nm/RIU (refractive index unit) son la base del biosensado plasmónico — detectores de embarazo, test COVID, y diagnóstico in vitro.

Ejercicio 3

Una pintura blanca es una mezcla de partículas de TiO₂ (n = 2.3) en un polímero transparente (n = 1.5), con fracción de volumen $f = 0.25$ . Usa la calculadora de medio efectivo para estimar $n_{\text{eff}}$ . ¿Cuánto difieren Maxwell-Garnett y Bruggeman a esa fracción?

Solución

Con n_inc = 2.30 y n_host = 1.50 a f = 0.25, Maxwell-Garnett da n_eff ≈ 1.67 y Bruggeman da n_eff ≈ 1.70. La diferencia es ~2%, pequeña porque f = 0.25 es moderada. A f = 0.5, la diferencia crece a ~5%. Maxwell-Garnett subestima porque trata el TiO₂ como inclusiones aisladas, ignorando su percolación a fracciones altas.

El arte está en saber cuándo la aproximación falla y necesitas la artillería pesada. El siguiente artículo empieza con el método más intuitivo de todos: discretizar Maxwell en una rejilla y dejar que evolucione en el tiempo — FDTD.