Teorema óptico — Fotonario

Imagina una onda plana que llega a una nanopartícula. Parte de la energía se absorbe (se convierte en calor). Parte se dispersa (se redirige en todas direcciones). La suma de ambas es la extinción: $\sigma_{\text{ext}} = \sigma_{\text{abs}} + \sigma_{\text{scat}}$ . Medir la extinción es sencillo — mides cuánta luz falta en la dirección forward. Pero calcularla requiere sumar la absorción (que depende del calentamiento interno) y la dispersión (que requiere integrar sobre todas las direcciones). El teorema óptico dice que hay un atajo: basta con conocer la amplitud de dispersión en una sola dirección — la dirección forward.

Partícula pequeña: σ_ext desde Im(α)

Empecemos por el caso más simple. Una partícula mucho menor que $\lambda$ responde como un dipolo con polarizabilidad $\alpha(\omega)$ . El momento dipolar inducido es $\mathbf{p} = \varepsilon_0\alpha\mathbf{E}_0$ .

La potencia extraída del haz incidente (extinción) es el trabajo del campo incidente sobre el dipolo:

P_{\text{ext}} = \frac{\omega}{2}\,\text{Im}\!\left[\mathbf{p}^*\cdot\mathbf{E}_0\right] = \frac{\omega\varepsilon_0}{2}|E_0|^2\,\text{Im}[\alpha]

Dividiendo por la intensidad incidente $I = \varepsilon_0 c|E_0|^2/2$ :

\sigma_{\text{ext}} = \frac{P_{\text{ext}}}{I} = \frac{\omega}{c}\,\text{Im}\left[\alpha(\omega)\right] = k\,\text{Im}[\alpha]

O equivalentemente:

\sigma_{\text{ext}} = \frac{4\pi\omega}{c}\,\text{Im}\!\left[\alpha(\omega)\right]

(El factor $4\pi$ depende del sistema de unidades; aquí usamos Gaussianas para la polarizabilidad). La extinción depende solo de $\text{Im}[\alpha]$ — la parte de la respuesta que está en fase con la velocidad del campo, no con el campo mismo.

El teorema óptico general

Para un dispersor de tamaño arbitrario, la onda dispersada en el campo lejano se escribe:

\mathbf{E}_{\text{scat}} \xrightarrow{r\to\infty} \frac{e^{ikr}}{r}\,\mathbf{f}(\hat{r})

donde $\mathbf{f}(\hat{r})$ es la amplitud de dispersión en la dirección $\hat{r}$ . El teorema óptico establece:

\sigma_{\text{ext}} = \frac{4\pi}{k}\,\text{Im}\!\left[\hat{e}^*\cdot\mathbf{f}(\hat{k}_i)\right]

donde $\hat{k}_i$ es la dirección de la onda incidente (forward) y $\hat{e}$ es su polarización. La extinción total — absorción más dispersión a todos los ángulos — está codificada en la amplitud de dispersión en una sola dirección.

Derivación por conservación de energía

El campo total es $\mathbf{E} = \mathbf{E}_i + \mathbf{E}_{\text{scat}}$ , donde $\mathbf{E}_i = E_0\hat{e}\,e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}$ es la onda incidente. El flujo de energía a través de una esfera lejana de radio $R$ es:

\oint \langle\mathbf{S}\rangle\cdot d\mathbf{A} = \oint \langle\mathbf{S}_i + \mathbf{S}_{\text{scat}} + \mathbf{S}_{\text{int}}\rangle\cdot d\mathbf{A}

El término $\mathbf{S}_i$ (Poynting de la onda incidente) se anula al integrar sobre la esfera cerrada (tanta energía entra como sale). El término $\mathbf{S}_{\text{scat}}$ da $P_{\text{scat}}$ . El término de interferencia $\mathbf{S}_{\text{int}}$ da $-P_{\text{ext}}$ .

La evaluación del término de interferencia requiere calcular:

\mathbf{S}_{\text{int}} \propto \text{Re}\!\left[\mathbf{E}_i \times \mathbf{H}_{\text{scat}}^* + \mathbf{E}_{\text{scat}} \times \mathbf{H}_i^*\right]

Al integrar sobre la esfera lejana, las fases $e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - kr)}$ oscilan rápidamente y se cancelan en todas las direcciones excepto la forward ( $\hat{r} = \hat{k}_i$ ), donde la fase es estacionaria. La evaluación por fase estacionaria da exactamente el teorema óptico.

¿Por qué la dirección forward?

El teorema óptico no es evidente — ¿por qué la extinción total depende solo de la dispersión forward? La razón es la interferencia. Lo que mide un detector en la dirección forward es la suma del campo incidente y el campo dispersado:

\mathbf{E}_{\text{forward}} = \mathbf{E}_i + \mathbf{E}_{\text{scat}}(\hat{k}_i)

La intensidad detectada es $|\mathbf{E}_i + \mathbf{E}_{\text{scat}}|^2$ . La reducción respecto a $|\mathbf{E}_i|^2$ — la «sombra» — viene del término de interferencia, que es proporcional a $\text{Re}[\mathbf{E}_i^*\cdot\mathbf{E}_{\text{scat}}]$ . Pero la extinción (potencia total extraída) es proporcional a $\text{Im}[\mathbf{f}]$ , no a Re.

¿Cómo se reconcilia? La onda dispersada forward tiene un desfase de $\pi/2$ respecto a la incidente (viene de la condición de radiación $e^{ikr}/r$ ). Así, $\text{Re}[E_i^* \cdot E_{\text{scat}}] \propto \text{Im}[\mathbf{f}]$ . La sombra está hecha de Im(f).

Descomposición: absorción y dispersión

La extinción se descompone en dos canales:

\sigma_{\text{ext}} = \sigma_{\text{abs}} + \sigma_{\text{scat}}

Para una partícula dipolar:

Dispersión: $\sigma_{\text{scat}} = \frac{k^4}{6\pi}|\alpha|^2$ . Proporcional a $|\alpha|^2$ y a $k^4 \propto \lambda^{-4}$ — es la dispersión de Rayleigh, la razón por la que el cielo es azul.
Absorción: $\sigma_{\text{abs}} = \sigma_{\text{ext}} - \sigma_{\text{scat}} = k\,\text{Im}[\alpha] - \frac{k^4}{6\pi}|\alpha|^2$ .

El albedo $a = \sigma_{\text{scat}}/\sigma_{\text{ext}}$ mide cuánto de la extinción es dispersión. Para partículas muy pequeñas ( $ka \ll 1$ ), $\sigma_{\text{scat}} \propto (ka)^4$ mientras $\sigma_{\text{abs}} \propto (ka)$ , así que $a \approx 0$ — la absorción domina. Para partículas grandes, la dispersión domina.

Límite de la sección eficaz: 3λ²/(2π)

¿Cuál es la máxima extinción que un dispersor puede tener? Para un dispersor dipolar, la respuesta tiene una forma sorprendentemente simple. En resonancia, la polarizabilidad satisface una cota impuesta por la conservación de energía (unitariedad):

\text{Im}[\alpha] \geq \frac{k^3}{6\pi}|\alpha|^2

La igualdad se da cuando no hay absorción (dispersión pura). El máximo de $\sigma_{\text{ext}}$ para un dipolo se alcanza cuando esta cota se satura:

\sigma_{\text{ext}}^{\text{máx}} = \frac{3\lambda^2}{2\pi}

Este resultado es notable:

No depende del tamaño ni del material del dispersor. Solo de $\lambda$ .
Una nanopartícula de 10 nm en resonancia puede tener una sección eficaz de extinción mucho mayor que su sección geométrica ( $\pi R^2 = 314$ nm² vs $3\lambda^2/(2\pi) \approx 38\,000$ nm² para $\lambda = 500$ nm). La eficiencia de extinción $Q_{\text{ext}} = \sigma_{\text{ext}}/(\pi R^2)$ puede ser > 100.
El límite $3\lambda^2/(2\pi)$ es para un canal dipolar. Si la partícula soporta modos multipolares (cuadrupolo, etc.), cada uno contribuye $(2l+1)\lambda^2/(2\pi)$ adicional.

Explorar

Amortiguamiento γ (eV) 0.15

Secciones eficaces: extinción = dispersión + absorción

Sin pérdidas (γ → 0): σ_ext = σ_sca → 3λ²/(2π). Con pérdidas: la absorción aparece y la dispersión cae.

Consecuencias para el diseño de absorbedores

El límite $3\lambda^2/(2\pi)$ tiene implicaciones directas para el diseño de absorbedores perfectos:

No puedes hacer un absorbedor más pequeño que $\sim\lambda$ : la sección eficaz máxima es $\sim\lambda^2$ , independientemente de cuánto esfuerzo pongas en la nanoestructura. La difracción pone un piso.
Para absorción pura (a = 0): la máxima absorción dipolar es $\sigma_{\text{abs}}^{\text{máx}} = 3\lambda^2/(8\pi)$ , que se alcanza cuando $\sigma_{\text{scat}} = \sigma_{\text{abs}}$ (condición de matched scattering). Un absorbedor perfecto no puede eliminar la dispersión — necesita dispersar exactamente lo mismo que absorbe.
Conexión con láseres (Módulo 05): la sección eficaz de absorción de un átomo de dos niveles en resonancia es exactamente $3\lambda^2/(2\pi)$ — el límite dipolar. No es coincidencia: un átomo en resonancia es el dispersor dipolar más eficiente posible.

Conexión con Mie

El espectro de extinción de Mie (Módulo 03, Art. 01) se puede escribir como:

\sigma_{\text{ext}} = \frac{2\pi}{k^2}\sum_{l=1}^{\infty}(2l+1)\,\text{Re}(a_l + b_l)

donde $a_l$ y $b_l$ son los coeficientes de Mie. El máximo de cada término es $(2l+1)\lambda^2/(2\pi)$ — cuando $\text{Re}(a_l) = 1$ e $\text{Im}(a_l) = 0$ (resonancia unitaria). Esto es exactamente el teorema óptico término a término.

En la práctica, para una nanopartícula de Au de 20 nm, solo el término dipolar $l = 1$ importa ( $ka \approx 0.25$ ). La eficiencia de extinción en resonancia (~520 nm) es $Q_{\text{ext}} \approx 5$ — la partícula extingue un área 5 veces mayor que su sección geométrica. Pero está lejos del límite dipolar ( $Q_{\text{ext}}^{\text{máx}} \sim 10^2$ ) porque las pérdidas del oro (Im(ε) alto) reducen la amplitud de dispersión.

Cota unitaria para la polarizabilidad

La conservación de energía exige $\sigma_{\text{abs}} = \sigma_{\text{ext}} - \sigma_{\text{scat}} \geq 0$ . Sustituyendo las expresiones dipolares:

k\,\text{Im}[\alpha] - \frac{k^4}{6\pi}|\alpha|^2 \geq 0

\text{Im}[\alpha] \geq \frac{k^3}{6\pi}|\alpha|^2

Esta es la cota unitaria. Para saturarla, escribimos $\alpha = 6\pi i/(k^3(S - 1))$ donde $|S| \leq 1$ es el elemento de la matriz S. La extinción es máxima cuando $S = -1$ :

\sigma_{\text{ext}}^{\text{máx}} = k\,\text{Im}\!\left[\frac{6\pi i}{k^3(-2)}\right] = \frac{3\pi}{k^2} = \frac{3\lambda^2}{2\pi}

Ejercicios

Ejercicio 1

Una nanopartícula de oro de 10 nm de radio tiene una polarizabilidad en resonancia (~520 nm) de aproximadamente $\alpha \approx (3 + 12i) \times 10^4$ nm³. Calcula $\sigma_{\text{ext}}$ , $\sigma_{\text{scat}}$ y $\sigma_{\text{abs}}$ . ¿Cuál es el albedo? ¿Domina la absorción o la dispersión?

Solución

k = 2\pi/520 = 0.0121

nm⁻¹.

\sigma_{\text{ext}} = k\,\text{Im}[\alpha] = 0.0121 \times 1.2\times10^5 = 1\,450

nm².

|\alpha|^2 = (3^2 + 12^2)\times10^8 = 1.53\times10^{10}

nm⁶.

\sigma_{\text{scat}} = k^4|\alpha|^2/(6\pi) = (0.0121)^4 \times 1.53\times10^{10}/(6\pi) \approx 17

nm².

\sigma_{\text{abs}} = 1\,450 - 17 = 1\,433

nm². Albedo

a = 17/1\,450 \approx 0.012

. La absorción domina completamente (~99%). Esto es típico de nanopartículas metálicas pequeñas: la dispersión escala como

(ka)^4

y es negligible cuando

ka \ll 1

Ejercicio 2

El límite de la sección eficaz dipolar es $3\lambda^2/(2\pi)$ . Para $\lambda = 1550$ nm (telecomunicaciones), ¿cuánto vale en μm²? Si una antena óptica de InP tiene un área física de 1 μm², ¿puede capturar más luz que su área geométrica?

Solución

\sigma_{\text{ext}}^{\text{máx}} = 3(1.55)^2/(2\pi) = 1.15

μm². Sí, una antena óptica dipolar resonante a 1550 nm puede capturar ~1.15 μm² de flujo — más que su área física de 1 μm². La antena «concentra» el campo de un área mayor que ella misma. Esto es posible porque el campo cercano distorsiona las líneas de flujo de energía, canalizándolas hacia la partícula. Es la base de las antenas ópticas para fotodetección.

Ejercicio 3

Un absorbedor perfecto dipolar tiene $\sigma_{\text{abs}} = \sigma_{\text{scat}}$ (condición de matched scattering). Demuestra que en este caso $\sigma_{\text{abs}} = 3\lambda^2/(8\pi)$ . ¿Es mejor o peor que una partícula que solo absorbe ( $\sigma_{\text{scat}} = 0$ )?

Solución

\sigma_{\text{abs}} = \sigma_{\text{scat}}

, entonces

\sigma_{\text{ext}} = 2\sigma_{\text{abs}}

. Además,

\sigma_{\text{ext}} \leq 3\lambda^2/(2\pi)

, con el máximo cuando la cota unitaria se satura con

|S| = 0

(que da exactamente

\sigma_{\text{abs}} = \sigma_{\text{scat}}

\sigma_{\text{abs}} = 3\lambda^2/(8\pi)

. Una partícula que «solo absorbe» (sin dispersión) tendría

\sigma_{\text{abs}} = \sigma_{\text{ext}} \leq 3\lambda^2/(2\pi)

, pero eso viola la cota unitaria salvo que

|\alpha| = 0

. En realidad, maximizar la absorción requiere

\sigma_{\text{scat}} = \sigma_{\text{abs}}

— dispersar tanto como absorbes. Es contraintuitivo pero es consecuencia directa de la unitariedad.