Teorema óptico — Fotonario

Imagina una onda plana que llega a una nanopartícula. Parte de la energía se absorbe (se convierte en calor). Parte se dispersa (se redirige en todas direcciones). La suma de ambas es la extinción: $\sigma_{\text{ext}} = \sigma_{\text{abs}} + \sigma_{\text{scat}}$ . Medir la extinción es sencillo — mides cuánta luz falta en la dirección forward. Pero calcularla requiere sumar la absorción (que depende del calentamiento interno) y la dispersión (que requiere integrar sobre todas las direcciones). El teorema óptico dice que hay un atajo: basta con conocer la amplitud de dispersión en una sola dirección — la dirección forward.

Partícula pequeña: σ_ext desde Im(α)

Empecemos por el caso más simple. Una partícula mucho menor que $\lambda$ responde como un dipolo con polarizabilidad $\alpha(\omega)$ . El momento dipolar inducido es $\mathbf{p} = \varepsilon_0\alpha\mathbf{E}_0$ .

La potencia extraída del haz incidente (extinción) es el trabajo del campo incidente sobre el dipolo:

P_{\text{ext}} = \frac{\omega}{2}\,\text{Im}\!\left[\mathbf{p}^*\cdot\mathbf{E}_0\right] = \frac{\omega\varepsilon_0}{2}|E_0|^2\,\text{Im}[\alpha]

Dividiendo por la intensidad incidente $I = \varepsilon_0 c|E_0|^2/2$ :

\sigma_{\text{ext}} = \frac{P_{\text{ext}}}{I} = \frac{\omega}{c}\,\text{Im}\left[\alpha(\omega)\right] = k\,\text{Im}[\alpha]

O equivalentemente:

\sigma_{\text{ext}} = \frac{4\pi\omega}{c}\,\text{Im}\!\left[\alpha(\omega)\right]

(El factor $4\pi$ depende del sistema de unidades; aquí usamos Gaussianas para la polarizabilidad). La extinción depende solo de $\text{Im}[\alpha]$ — la parte de la respuesta que está en fase con la velocidad del campo, no con el campo mismo.

El teorema óptico general

Para un dispersor de tamaño arbitrario, la onda dispersada en el campo lejano se escribe:

\mathbf{E}_{\text{scat}} \xrightarrow{r\to\infty} \frac{e^{ikr}}{r}\,\mathbf{f}(\hat{r})

donde $\mathbf{f}(\hat{r})$ es la amplitud de dispersión en la dirección $\hat{r}$ . El teorema óptico establece:

\sigma_{\text{ext}} = \frac{4\pi}{k}\,\text{Im}\!\left[\hat{e}^*\cdot\mathbf{f}(\hat{k}_i)\right]

donde $\hat{k}_i$ es la dirección de la onda incidente (forward) y $\hat{e}$ es su polarización. La extinción total — absorción más dispersión a todos los ángulos — está codificada en la amplitud de dispersión en una sola dirección.

Derivación por conservación de energía

El campo total es $\mathbf{E} = \mathbf{E}_i + \mathbf{E}_{\text{scat}}$ , donde $\mathbf{E}_i = E_0\hat{e}\,e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}$ es la onda incidente. El flujo de energía a través de una esfera lejana de radio $R$ es:

\oint \langle\mathbf{S}\rangle\cdot d\mathbf{A} = \oint \langle\mathbf{S}_i + \mathbf{S}_{\text{scat}} + \mathbf{S}_{\text{int}}\rangle\cdot d\mathbf{A}

El término $\mathbf{S}_i$ (Poynting de la onda incidente) se anula al integrar sobre la esfera cerrada (tanta energía entra como sale). El término $\mathbf{S}_{\text{scat}}$ da $P_{\text{scat}}$ . El término de interferencia $\mathbf{S}_{\text{int}}$ da $-P_{\text{ext}}$ .

La evaluación del término de interferencia requiere calcular:

\mathbf{S}_{\text{int}} \propto \text{Re}\!\left[\mathbf{E}_i \times \mathbf{H}_{\text{scat}}^* + \mathbf{E}_{\text{scat}} \times \mathbf{H}_i^*\right]

Al integrar sobre la esfera lejana, las fases $e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - kr)}$ oscilan rápidamente y se cancelan en todas las direcciones excepto la forward ( $\hat{r} = \hat{k}_i$ ), donde la fase es estacionaria. La evaluación por fase estacionaria da exactamente el teorema óptico.

¿Por qué la dirección forward?

El teorema óptico no es evidente — ¿por qué la extinción total depende solo de la dispersión forward? La razón es la interferencia. Lo que mide un detector en la dirección forward es la suma del campo incidente y el campo dispersado:

\mathbf{E}_{\text{forward}} = \mathbf{E}_i + \mathbf{E}_{\text{scat}}(\hat{k}_i)

La intensidad detectada es $|\mathbf{E}_i + \mathbf{E}_{\text{scat}}|^2$ . La reducción respecto a $|\mathbf{E}_i|^2$ — la «sombra» — viene del término de interferencia, que es proporcional a $\text{Re}[\mathbf{E}_i^*\cdot\mathbf{E}_{\text{scat}}]$ . Pero la extinción (potencia total extraída) es proporcional a $\text{Im}[\mathbf{f}]$ , no a Re.

¿Cómo se reconcilia? La onda dispersada forward tiene un desfase de $\pi/2$ respecto a la incidente (viene de la condición de radiación $e^{ikr}/r$ ). Así, $\text{Re}[E_i^* \cdot E_{\text{scat}}] \propto \text{Im}[\mathbf{f}]$ . La sombra está hecha de Im(f).

Descomposición: absorción y dispersión

La extinción se descompone en dos canales:

\sigma_{\text{ext}} = \sigma_{\text{abs}} + \sigma_{\text{scat}}

Para una partícula dipolar:

Dispersión: $\sigma_{\text{scat}} = \frac{k^4}{6\pi}|\alpha|^2$ . Proporcional a $|\alpha|^2$ y a $k^4 \propto \lambda^{-4}$ — es la dispersión de Rayleigh, la razón por la que el cielo es azul.
Absorción: $\sigma_{\text{abs}} = \sigma_{\text{ext}} - \sigma_{\text{scat}} = k\,\text{Im}[\alpha] - \frac{k^4}{6\pi}|\alpha|^2$ .

El albedo $a = \sigma_{\text{scat}}/\sigma_{\text{ext}}$ mide cuánto de la extinción es dispersión. Para partículas muy pequeñas ( $ka \ll 1$ ), $\sigma_{\text{scat}} \propto (ka)^4$ mientras $\sigma_{\text{abs}} \propto (ka)$ , así que $a \approx 0$ — la absorción domina. Para partículas grandes, la dispersión domina.

Límite de la sección eficaz: 3λ²/(2π)

¿Cuál es la máxima extinción que un dispersor puede tener? Para un dispersor dipolar, la respuesta tiene una forma sorprendentemente simple. En resonancia, la polarizabilidad satisface una cota impuesta por la conservación de energía (unitariedad):

\text{Im}[\alpha] \geq \frac{k^3}{6\pi}|\alpha|^2

La igualdad se da cuando no hay absorción (dispersión pura). El máximo de $\sigma_{\text{ext}}$ para un dipolo se alcanza cuando esta cota se satura:

\sigma_{\text{ext}}^{\text{máx}} = \frac{3\lambda^2}{2\pi}

Este resultado es notable:

No depende del tamaño ni del material del dispersor. Solo de $\lambda$ .
Una nanopartícula de 10 nm en resonancia puede tener una sección eficaz de extinción mucho mayor que su sección geométrica ( $\pi R^2 = 314$ nm² vs $3\lambda^2/(2\pi) \approx 119\,000$ nm² para $\lambda = 500$ nm). La eficiencia de extinción $Q_{\text{ext}} = \sigma_{\text{ext}}/(\pi R^2)$ puede ser > 100.
El límite $3\lambda^2/(2\pi)$ es para un canal dipolar. Si la partícula soporta modos multipolares (cuadrupolo, etc.), cada uno contribuye $(2l+1)\lambda^2/(2\pi)$ adicional.

Explorar

Amortiguamiento γ (eV) 0.15

Secciones eficaces: extinción = dispersión + absorción

Sin pérdidas (γ → 0): σ_ext = σ_sca → 3λ²/(2π). Con pérdidas: la absorción aparece y la dispersión cae.

Consecuencias para el diseño de absorbedores

El límite $3\lambda^2/(2\pi)$ tiene implicaciones directas para el diseño de absorbedores perfectos:

No puedes hacer un absorbedor más pequeño que $\sim\lambda$ : la sección eficaz máxima es $\sim\lambda^2$ , independientemente de cuánto esfuerzo pongas en la nanoestructura. La difracción pone un piso.
Para absorción pura (a = 0): la máxima absorción dipolar es $\sigma_{\text{abs}}^{\text{máx}} = 3\lambda^2/(8\pi)$ , que se alcanza cuando $\sigma_{\text{scat}} = \sigma_{\text{abs}}$ (condición de matched scattering). Un absorbedor perfecto no puede eliminar la dispersión — necesita dispersar exactamente lo mismo que absorbe.
Conexión con láseres (Módulo 05): la sección eficaz de absorción de un átomo de dos niveles en resonancia es exactamente $3\lambda^2/(2\pi)$ — el límite dipolar. No es coincidencia: un átomo en resonancia es el dispersor dipolar más eficiente posible.

Conexión con Mie

El espectro de extinción de Mie (Módulo 03, Art. 01) se puede escribir como:

\sigma_{\text{ext}} = \frac{2\pi}{k^2}\sum_{l=1}^{\infty}(2l+1)\,\text{Re}(a_l + b_l)

donde $a_l$ y $b_l$ son los coeficientes de Mie. El máximo de cada término es $(2l+1)\lambda^2/(2\pi)$ — cuando $\text{Re}(a_l) = 1$ e $\text{Im}(a_l) = 0$ (resonancia unitaria). Esto es exactamente el teorema óptico término a término.

En la práctica, para una nanopartícula de Au de 20 nm, solo el término dipolar $l = 1$ importa ( $ka \approx 0.25$ ). La eficiencia de extinción en resonancia (~520 nm) es $Q_{\text{ext}} \approx 5$ — la partícula extingue un área 5 veces mayor que su sección geométrica. Pero está lejos del límite dipolar ( $Q_{\text{ext}}^{\text{máx}} \sim 10^2$ ) porque las pérdidas del oro (Im(ε) alto) reducen la amplitud de dispersión.

Cota unitaria para la polarizabilidad

La conservación de energía exige $\sigma_{\text{abs}} = \sigma_{\text{ext}} - \sigma_{\text{scat}} \geq 0$ . Sustituyendo las expresiones dipolares:

k\,\text{Im}[\alpha] - \frac{k^4}{6\pi}|\alpha|^2 \geq 0

\text{Im}[\alpha] \geq \frac{k^3}{6\pi}|\alpha|^2

Esta es la cota unitaria. Para saturarla, escribimos $\alpha = 6\pi i/(k^3(S - 1))$ donde $|S| \leq 1$ es el elemento de la matriz S. La extinción es máxima cuando $S = -1$ :

\sigma_{\text{ext}}^{\text{máx}} = k\,\text{Im}\!\left[\frac{6\pi i}{k^3(-2)}\right] = \frac{3\pi}{k^2} = \frac{3\lambda^2}{2\pi}

Ejercicios

Ejercicio 1

Una nanopartícula de oro de 10 nm de radio tiene una polarizabilidad en resonancia (~520 nm) de aproximadamente $\alpha \approx (3 + 12i) \times 10^4$ nm³. Calcula $\sigma_{\text{ext}}$ , $\sigma_{\text{scat}}$ y $\sigma_{\text{abs}}$ . ¿Cuál es el albedo? ¿Domina la absorción o la dispersión?

Solución

k = 2\pi/520 = 0.0121

nm⁻¹.

\sigma_{\text{ext}} = k\,\text{Im}[\alpha] = 0.0121 \times 1.2\times10^5 = 1\,450

nm².

|\alpha|^2 = (3^2 + 12^2)\times10^8 = 1.53\times10^{10}

nm⁶.

\sigma_{\text{scat}} = k^4|\alpha|^2/(6\pi) = (0.0121)^4 \times 1.53\times10^{10}/(6\pi) \approx 17

nm².

\sigma_{\text{abs}} = 1\,450 - 17 = 1\,433

nm². Albedo

a = 17/1\,450 \approx 0.012

. La absorción domina completamente (~99%). Esto es típico de nanopartículas metálicas pequeñas: la dispersión escala como

(ka)^4

y es negligible cuando

ka \ll 1

Ejercicio 2

El límite de la sección eficaz dipolar es $3\lambda^2/(2\pi)$ . Para $\lambda = 1550$ nm (telecomunicaciones), ¿cuánto vale en μm²? Si una antena óptica de InP tiene un área física de 1 μm², ¿puede capturar más luz que su área geométrica?

Solución

\sigma_{\text{ext}}^{\text{máx}} = 3(1.55)^2/(2\pi) = 1.15

μm². Sí, una antena óptica dipolar resonante a 1550 nm puede capturar ~1.15 μm² de flujo — más que su área física de 1 μm². La antena «concentra» el campo de un área mayor que ella misma. Esto es posible porque el campo cercano distorsiona las líneas de flujo de energía, canalizándolas hacia la partícula. Es la base de las antenas ópticas para fotodetección.

Ejercicio 3

Un absorbedor perfecto dipolar tiene $\sigma_{\text{abs}} = \sigma_{\text{scat}}$ (condición de matched scattering). Demuestra que en este caso $\sigma_{\text{abs}} = 3\lambda^2/(8\pi)$ . ¿Es mejor o peor que una partícula que solo absorbe ( $\sigma_{\text{scat}} = 0$ )?

Solución

\sigma_{\text{abs}} = \sigma_{\text{scat}}

, entonces

\sigma_{\text{ext}} = 2\sigma_{\text{abs}}

. Además,

\sigma_{\text{ext}} \leq 3\lambda^2/(2\pi)

, con el máximo cuando la cota unitaria se satura con

|S| = 0

(que da exactamente

\sigma_{\text{abs}} = \sigma_{\text{scat}}

\sigma_{\text{abs}} = 3\lambda^2/(8\pi)

. Una partícula que «solo absorbe» (sin dispersión) tendría

\sigma_{\text{abs}} = \sigma_{\text{ext}} \leq 3\lambda^2/(2\pi)

, pero eso viola la cota unitaria salvo que

|\alpha| = 0

. En realidad, maximizar la absorción requiere

\sigma_{\text{scat}} = \sigma_{\text{abs}}

— dispersar tanto como absorbes. Es contraintuitivo pero es consecuencia directa de la unitariedad.

Resumen en frío · Respuesta electromagnética

Todo lo que el curso deja utilizable: cada función de respuesta con su fórmula operativa, sus constantes y el artículo donde se dedujo. Pensado para volver dentro de seis meses sin releer nada — si para estimar una sección eficaz o una escala de campo cercano hay que ir a buscar un número al texto, esta tabla ha fallado.

Qué	Fórmula o valor	Dónde
Función de Green escalar	(∇² + k²)g = −δ³(r − r′) con k = ω/c = 2π/λ → g(R) = e^(ikR)/(4πR): onda esférica saliente de amplitud 1/R	art. 01
Función de Green diádica	∇×∇×G − k²G = I δ³(r − r′); en espacio libre G₀ = (I + ∇∇/k²)g, matriz 3×3 con términos 1/R (radiación), 1/R² (zona intermedia) y 1/R³ (cuasi-estático, reactivo)	art. 01
Frontera campo cercano / campo lejano	R ~ λ/(2π) — unos 80 nm a λ = 500 nm; a λ = 600 nm los términos 1/R y 1/R³ se igualan en R ≈ 95 nm = λ/6,3	art. 01, ej. 1
Weyl y ondas evanescentes	q_z = √(k² − q²); si q > k, q_z es imaginario y la componente no propaga. Con q = 2k, q_z = ik√3 y la longitud de decaimiento es λ/(2π√3) ≈ 46 nm a λ = 500 nm (5 % a 140 nm)	art. 01, ej. 2
Campo del dipolo, potencia y LDOS	E(r) = (ω²/ε₀c²) G₀(r,r′)·p · P = (ω³\|p\|²/2ε₀c²) Im[p̂·G(r′,r′,ω)·p̂] · LDOS ∝ Im[Tr G(r,r,ω)]	art. 01
Factor de Purcell	F_P = Im[p̂·G·p̂] / Im[p̂·G₀·p̂], la Green con estructura frente a la de espacio libre. A 10 nm de una nanopartícula de oro alcanza 10³–10⁴	art. 01, ej. 3
Susceptibilidad y fórmula de Lehmann	ρ^ind(r,ω) = ∫d³r′ χ(r,r′,ω) φ^ext(r′,ω), relación no local. χ = Σ_(n≠0) [ρ_0n(r)ρ_n0(r′)/ℏ(ω − ω_n0 + iη) − ρ_n0(r)ρ_0n(r′)/ℏ(ω + ω_n0 + iη)], con ω_n0 = (E_n − E₀)/ℏ: un polo por transición	art. 02
De χ a la polarizabilidad	α(ω) = −e² ∫d³r ∫d³r′ z χ(r,r′,ω) z′ para campo en ẑ: vale mientras la partícula sea mucho menor que λ y el campo sea uniforme sobre ella	art. 02
Fuerza de oscilador	f_n = (2mω_n0/ℏ)\|z_0n\|². El oscilador armónico la concentra toda en la primera transición: ⟨0\|z\|1⟩ = √(ℏ/2mω₀) da f₁ = 1	art. 02, ej. 1
Polarizabilidad como suma de Lorentz	α(ω) = (e²/m) Σ_n f_n/(ω_n0² − ω² − iωγ_n). La razón de alturas de dos picos va como (f₁/ω₁)/(f₂/ω₂): 0,8 a 3 eV frente a 0,2 a 5 eV → 6,67	art. 02, ej. 2
Clausius-Mossotti y la cadena χ → α → ε	(ε − 1)/(ε + 2) = nα/(3ε₀); ε diverge cuando nα/(3ε₀) → 1 (la polarización se realimenta), versión de volumen de la condición de Fröhlich ε = −2ε_m	art. 02, ej. 3
Cuándo deja de valer la respuesta local	Vale mientras el campo varíe poco en λ_F ≈ 0,5 nm (metales). Falla en partículas de menos de 5 nm y gaps de ~1 nm: spill-out, desplazamiento de la LSPR y enhancement saturado	art. 02
Gas de electrones libres	k_F = (3π²n)^(1/3) · E_F = ℏ²k_F²/2m · v_F = ℏk_F/m · ω_p = √(ne²/ε₀m). Oro con n = 5,9×10²⁸ m⁻³: k_F = 1,2×10¹⁰ m⁻¹, E_F = 5,5 eV, v_F = 1,4×10⁶ m/s, ω_p = 1,37×10¹⁶ rad/s ≈ 9 eV	art. 03, ej. 1
Susceptibilidad de Lindhard	χ₀(q,ω) = (2/V) Σ_k (f_k − f_(k+q))/[ℏω − (E_(k+q) − E_k) + iη]. Absorbe dentro del continuo electrón-hueco: (ℏ²/2m)(q² − 2k_F q) ≤ ℏω ≤ (ℏ²/2m)(q² + 2k_F q) para q ≤ 2k_F	art. 03
RPA, ε(q,ω) y el límite de Drude	χ = χ₀/(1 − v(q)χ₀) con v(q) = 4πe²/q²; ε(q,ω) = 1 − v(q)χ₀, y ε = 0 marca los plasmones de volumen. Con q → 0, χ₀ → nq²/mω² y queda ε(ω) = 1 − ω_p²/[ω(ω + iγ)] — Drude	art. 03
Lo que Drude no ve	Dispersión del plasmón ω² ≈ ω_p² + (3/5)v_F²q² · amortiguamiento de Landau a partir de q_c ~ ω_p/v_F · atajo hidrodinámico ε = 1 − ω_p²/(ω² − β²q²) con β² = 3v_F²/5	art. 03
Longitud de no localidad	v_F/ω_p ≈ 0,1 nm en metales nobles: un 4 % del radio de una partícula de 5 nm de diámetro y un 20 % en una de 1 nm	art. 03, ej. 1
Momento que hace visible la no localidad	Cambiar ω un 1 % pide q ≈ 0,18·(ω_p/v_F) con ω_p/v_F = k_F(ℏω_p/E_F)/2 ≈ 0,82 k_F → q ≈ 0,15 k_F ≈ 1,8×10⁹ m⁻¹ (2π/q ≈ 3,6 nm), frente a los q ≈ 10⁷ m⁻¹ de la luz visible: sólo la ven EELS y los nano-gaps	art. 03, ej. 2
Causalidad y analiticidad	χ(t) = 0 para t < 0 → χ(ω) = ∫₀^∞ χ(t)e^(iωt)dt es analítica en el semiplano superior: todos los polos caen abajo o sobre el eje real	art. 04
Relaciones de Kramers-Kronig	χ′(ω) = (1/π)P∫ χ″(ω′)/(ω′ − ω)dω′ y χ″(ω) = −(1/π)P∫ χ′(ω′)/(ω′ − ω)dω′. Con ε = 1 + χ: Re ε(ω) − 1 = (2/π)P∫₀^∞ ω′ Im ε(ω′)/(ω′² − ω²)dω′, usando ε(−ω) = ε*(ω)	art. 04
Drude es causal por construcción	Re ε = 1 − ω_p²/(ω² + γ²) · Im ε = ω_p²γ/[ω(ω² + γ²)]; polos en ω = −iγ y ω = 0, ninguno arriba. Con γ → 0, Im ε → (πω_p²/2)δ(ω)	art. 04, ej. 1
Kramers-Kronig como test	Un ε con parte real constante e Im ≠ 0 es imposible. ε = 2 + 3i/ω falla dos veces: Re plano y ε − 1 que no tiende a 0 cuando ω → ∞	art. 04, ej. 3
Regla de suma de Thomas-Reiche-Kuhn	Σ_n f_n = N, el número de electrones. Sale sólo de [z, p_z] = iℏ: no asume potencial, geometría ni interacción entre electrones	art. 05
Reglas de suma de la respuesta óptica	∫₀^∞ σ_ext(ω)dω = 2π²e²N/(mc), con e²/(mc) = r_e·c y r_e = 2,82 fm · ∫₀^∞ ω Im ε(ω)dω = (π/2)ω_p². Cambiar forma, tamaño o medio redistribuye el espectro, no el área bajo la curva	art. 05, ej. 2
Contar electrones de conducción	1 por átomo en Au y Ag, con n = 59 nm⁻³. Esfera de Au de 10 nm de diámetro: (4π/3)(5 nm)³ × 59 ≈ 31 000 electrones; esfera de Ag de 10 nm de radio, ≈ 250 000 átomos	art. 05, ej. 1
Extinción integrada de una esfera de Ag	R = 10 nm con 250 000 electrones → ∫σ_ext dω = 2π²r_e c N = 4,2×10¹⁸ nm²/s, y ×ℏ → ∫σ_ext dE ≈ 2,7×10³ eV·nm², unas 17 veces el área geométrica πR² = 314 nm² por un ancho de 0,5 eV (157 eV·nm²). Ese cociente ES Q_ext, pero de todo el espectro: es cota superior del pico, donde Mie da Q_ext ~ 5–10	art. 05, ej. 1
Extinción, dispersión y absorción de un dipolo	p = ε₀αE₀ → σ_ext = (ω/c) Im[α] = k Im[α] (en gaussianas, 4πω/c · Im[α]) · σ_scat = k⁴\|α\|²/6π ∝ λ⁻⁴, que es Rayleigh · σ_abs = σ_ext − σ_scat · albedo a = σ_scat/σ_ext	art. 06
Teorema óptico general	σ_ext = (4π/k) Im[ê*·f(k̂_i)] con E_scat → (e^(ikr)/r) f(r̂): toda la extinción sale de la amplitud en una sola dirección, la forward, porque sólo ahí la fase es estacionaria	art. 06
Nanopartícula de Au en resonancia	λ = 520 nm → k = 0,0121 nm⁻¹; con α = (3 + 12i)×10⁴ nm³: σ_ext = 1450 nm², σ_scat = 17 nm², σ_abs = 1433 nm² y albedo 0,012 — absorbe el 99 %	art. 06, ej. 1
Cota unitaria y límite dipolar	Im[α] ≥ (k³/6π)\|α\|²; saturada da σ_ext^máx = 3λ²/(2π) = 0,477λ², sin depender de tamaño ni material: 1,15 μm² a 1550 nm · 119 000 nm² a 500 nm, más de 100 veces el πR² = 314 nm² de una partícula de 10 nm	art. 06, ej. 2
Máxima absorción dipolar	σ_abs^máx = 3λ²/(8π), alcanzada con σ_scat = σ_abs (matched scattering): absorber al máximo obliga a dispersar tanto como se absorbe	art. 06, ej. 3
Teorema óptico término a término (Mie)	σ_ext = (2π/k²) Σ_l (2l+1) Re(a_l + b_l), con tope (2l+1)λ²/(2π) por término. Au de 20 nm: sólo cuenta l = 1 (ka ≈ 0,25) y Q_ext ≈ 5 a 520 nm, lejos del Q_ext^máx ~ 10² por las pérdidas del oro	art. 06