Curvas y cruces — Fotonario

Un circuito fotónico integrado no es una línea recta — necesitas llevar la luz de un componente a otro, girar 90°, cruzar guías sin mezclar señales y adaptar el tamaño del modo entre componentes distintos. Todo eso con pérdidas mínimas en un chip de unos pocos milímetros. En este artículo vemos las piezas de enrutamiento que lo hacen posible.

Pérdidas por curvatura: el mecanismo

Cuando una guía strip se curva, el modo guiado quiere seguir en línea recta — le cuesta girar. En la pared exterior de la curva, el frente de fase tendría que viajar más rápido que la velocidad de la luz en el revestimiento para mantenerse coherente con el resto del modo. Como eso es imposible, el campo se radia hacia afuera — energía que se escapa del modo guiado y se pierde en el substrato.

La condición crítica: en el punto donde la velocidad de fase del frente curvado iguala $c/n_{\text{clad}}$ , el campo deja de ser evanescente y empieza a propagar. Ese radio de radiación marca la frontera entre confinamiento y pérdida.

Dependencia exponencial con el radio

La intuición es sencilla: en una curva, la parte exterior del modo tiene que viajar más rápido que la interior — como los coches en el carril exterior de una rotonda. Cuando esa velocidad supera $c/n_{\text{clad}}$ — la velocidad de la luz en el revestimiento — el campo no puede seguir confinado y radia. Cuanto mayor es el radio, más lejos del núcleo cae ese punto crítico, y menos energía llega hasta allí.

La pérdida por radiación tiene una dependencia exponencial con el radio — cae dramáticamente al aumentar $R$ :

\alpha_{\text{rad}} \propto \exp\!\left(-\frac{R}{R_c}\right)

donde $R_c$ es un radio característico que depende del confinamiento del modo.

Origen de la dependencia exponencial

En una guía recta, el campo evanescente fuera del núcleo decae como $e^{-\gamma x}$ con $\gamma = \sqrt{\beta^2 - n_{\text{clad}}^2 k_0^2}$ . En una curva de radio $R$ , transformamos a coordenadas cilíndricas $(r, \theta)$ con $r = R + x$ .

La condición de fase del modo curvado exige que la velocidad angular sea constante para todo $r$ : $\omega_\theta = \beta_\theta / r$ . A una distancia $x_{\text{rad}}$ del centro de la guía, la velocidad de fase local $v_p(r) = (R+x)\omega_\theta$ iguala $c/n_{\text{clad}}$ , y el campo empieza a radiar.

La potencia que alcanza $x_{\text{rad}}$ es proporcional al cuadrado del campo evanescente en ese punto:

P_{\text{rad}} \propto e^{-2\gamma x_{\text{rad}}}

Y $x_{\text{rad}}$ no es solo «proporcional a $R$ »: la condición de fase pone la constante. Con $\beta_\theta = n_{\text{eff}} k_0 R$ , el punto donde $v_p = c/n_{\text{clad}}$ está en $r_{\text{rad}} = R\,n_{\text{eff}}/n_{\text{clad}}$ , así que $x_{\text{rad}} = R\,(n_{\text{eff}} - n_{\text{clad}})/n_{\text{clad}}$ y la pérdida por radiación escala como:

\alpha_{\text{rad}} \propto \exp\!\left(-\frac{2\gamma R\,(n_{\text{eff}} - n_{\text{clad}})}{n_{\text{clad}}}\right)

El radio característico es, por tanto, $R_c = n_{\text{clad}} / \bigl(2\gamma (n_{\text{eff}} - n_{\text{clad}})\bigr)$ — con $n_{\text{clad}}$ arriba, no $n_{\text{eff}}$ , porque lo que fija la escala es dónde cae el cáustico y el cáustico está en $R\,n_{\text{eff}}/n_{\text{clad}}$ . Y $\gamma$ no es un dato libre que se pueda elegir: $\gamma = k_0\sqrt{n_{\text{eff}}^2 - n_{\text{clad}}^2}$ , que para el strip de este artículo vale 7.75 μm⁻¹.

Un matiz que cambia el número por un factor 2: la cuenta de arriba supone que el campo decae al ritmo $\gamma$ durante todo el camino hasta el cáustico, y no es así — el ritmo local $|k_t(r)| = \sqrt{(\beta_\theta/r)^2 - n_{\text{clad}}^2 k_0^2}$ arranca en $\gamma$ y se anula justo en el cáustico. Integrándolo entero (WKB), el exponente queda $2 n_{\text{clad}} k_0 R\,[\,m\,\text{arccosh}\,m - \sqrt{m^2-1}\,]$ con $m = n_{\text{eff}}/n_{\text{clad}}$ , o sea $R_c = 0.18$ μm frente a los 0.098 μm de la versión tosca. Los dos caminos dicen lo mismo: $R_c$ es de una o dos décimas de micra, y de ahí sale la discusión de la sección siguiente.

En la práctica, lo que se mide en guías strip SOI a 1550 nm, por curva de 90°:

$R = 5$ μm: pérdida ≈ 0.01 dB. Es el radio mínimo que traen los PDK.
$R = 2$ μm: pérdida ≈ 0.1 dB. Agresivo pero usable.
$R = 1$ μm: pérdida > 1 dB. Demasiado para la mayoría de aplicaciones.

Esa lista no es la exponencial de arriba

Conviene pararse aquí, porque es la trampa del tema. Si la lista fuera una sola exponencial $e^{-R/R_c}$ , el factor 10 entre 1 y 2 μm exigiría $R_c = 1/\ln 10 = 0.43$ μm, y el mismo factor 10 entre 2 y 5 μm exigiría $R_c = 3/\ln 10 = 1.30$ μm. Son tres veces distintos: ninguna exponencial sola pasa por los tres puntos. Y el $R_c$ que sale de la física de radiación es 0.18 μm, con el que ir de 2 a 5 μm bajaría la pérdida siete órdenes de magnitud en vez de uno.

No es que sobre uno de los dos números: es que en esa lista hay dos mecanismos distintos y solo uno es radiación.

Radiación, $\propto e^{-R/R_c}$ con $R_c \approx 0.18$ μm. Con la constante ajustada para dar 0.75 dB en $R = 1$ μm, vale 0.19 dB a 1.25 μm, 0.047 dB a 1.5 μm y 0.003 dB a 2 μm: se apaga como un interruptor entre 1 y 1.5 μm y a partir de ahí no existe.
Transición: el modo de la recta y el modo de la curva no son el mismo campo —el de la curva está desplazado hacia fuera— y en cada una de las dos uniones se paga el desajuste. Ese término no es exponencial; cae como $\sim 1/R^2$ . Ajustándolo a los 0.01 dB de $R = 5$ μm queda $0.25/R^2$ dB: 0.06 dB a 2 μm y 0.25 dB a 1 μm.

Sumados reproducen la lista entera: 1.00 dB a 1 μm, 0.065 dB a 2 μm y 0.010 dB a 5 μm, y se cruzan en $R = 1.29$ μm. Y de paso explican dos cosas que si no parecen arbitrarias. Una: por qué el radio mínimo de un PDK son 5 μm y no 1.5, que es donde la radiación ya se ha apagado — porque lo que queda por encima no es radiación, y no baja rápido. Dos: por qué la curva de Euler de la sección siguiente gana un factor 2–5. No mata la radiación, que a esos radios ya vale cero: mata el desajuste de la unión, que es justamente el término que manda.

Compara con fibra SMF-28 ( $\Delta n \approx 0.006$ ): radio mínimo ~5 mm — 1000× mayor.

Explorar

Contraste Δn 0.50

Perdida por radiacion vs radio (log-log)

R_c = 1.3 μm | la radiacion cae por debajo de 0,01 dB por curva de 90° en 12.5 μm

Comprobacion cruzada: con Δn = 0,01 esta curva da 4,4 mm, que es el radio minimo real de una SMF-28.

Curvas de Euler

Una curva circular tiene un defecto: la curvatura salta de 0 a $1/R$ abruptamente, generando reflexiones en la unión. La curva de Euler (clotoide) resuelve esto: la curvatura crece linealmente desde cero. Reduce las pérdidas 2–5× respecto a la curva circular. En PICs modernos, las curvas de Euler son estándar en todos los PDKs.

Cruces de guías

En un circuito con muchas señales, a veces dos guías necesitan cruzarse. En electrónica, las pistas de cobre se cruzan cambiando de capa de metal. En fotónica integrada (donde solo hay una capa de silicio), las guías se cruzan en el mismo plano. El reto: minimizar el crosstalk y las pérdidas de inserción.

Un cruce simple (dos strips a 90°) tiene ~0.2 dB de pérdida y −20 dB de crosstalk — aceptable para unos pocos cruces, pero no para un circuito con decenas. ¿Cómo mejorar?

Ensanchar en el cruce: expandir la guía a ~1.5 μm de ancho en la zona de cruce. El modo más ancho difracta menos al cruzar. Pérdidas ~0.05 dB, crosstalk < −40 dB.
MMI crossing: diseñar la zona de cruce como un interferómetro multimodo donde la autoimagen del modo reproduce la entrada en la salida.
Cruce sub-longitud de onda: estructuras con pilares o agujeros de tamaño sub-λ diseñadas por optimización topológica (inverse design). Rendimiento récord: pérdida < 0.02 dB, crosstalk < −40 dB.

Tapers: transiciones de ancho

Diferentes componentes requieren diferentes anchos de guía. Un anillo resonador puede usar 450 nm; una zona de acoplamiento fibra-chip, varios micrómetros. Un taper conecta las dos secciones con una transición gradual del ancho.

La condición para que el taper sea eficiente es que sea adiabático: lo suficientemente gradual para que el modo se adapte sin excitar modos de orden superior. La condición cuantitativa:

\frac{dw}{dz} \ll \frac{w\,\Delta n_{\text{eff}}}{\lambda}, \qquad \Delta n_{\text{eff}} = n_{\text{eff},0} - n_{\text{eff},1}

donde $n_{\text{eff},0}$ y $n_{\text{eff},1}$ son los índices efectivos del modo fundamental y del primer modo superior. Comprueba las dimensiones antes de usarla, que es la forma de no equivocarse aquí: $dw/dz$ es adimensional, y $w\,\Delta n_{\text{eff}}/\lambda$ también lo es. La versión sin la $w$ —solo $\lambda/\Delta n_{\text{eff}}$ — es una longitud, y por tanto no puede acotar una pendiente.

De dónde sale: la longitud de batido entre los dos modos locales es $z_b = 2\pi/(\beta_0 - \beta_1) = \lambda/\Delta n_{\text{eff}}$ , y el taper es adiabático cuando la anchura cambia poco en relación a sí misma a lo largo de un batido: $(dw/dz)\,z_b \ll w$ . Si la diferencia de índices es grande (guía ancha, modos bien separados), el taper puede ser corto. Si los modos están cerca (guía estrecha, cerca del cutoff), se necesita un taper largo — y como el límite es proporcional a $w$ , el punto que manda es el extremo estrecho.

Convertidores de modo

Un caso especial: el convertidor de modo fibra-chip. El modo de una fibra SMF-28 (~10 μm) es 20× mayor que el de una strip SOI (~500 nm). Dos estrategias: el taper invertido (la guía se adelgaza a ~100 nm, desconfinando el modo; ~1–2 dB/faceta) y el grating coupler (rejilla de difracción que redirige la luz; ~1–3 dB, ancho de banda ~30–50 nm).

Presupuesto de pérdidas de un circuito

En un PIC real, las pérdidas se suman componente a componente. Ejemplo para un filtro con anillo: acoplo entrada (2 dB) + guía 2 mm (0.4 dB) + 4 curvas (0.04 dB) + 1 cruce (0.1 dB) + anillo (1 dB) + guía 2 mm (0.4 dB) + acoplo salida (2 dB) = ~6 dB total. El cuello de botella es el acoplo fibra-chip, no el circuito interno.

Ejercicios

Ejercicio 1

Una guía strip SOI tiene $n_{\text{eff}} = 2.4$ y $n_{\text{clad}} = 1.45$ a 1550 nm. (a) Calcula $\gamma$ — no te lo damos: sale de esos dos índices — y con él $R_c$ . (b) Según ese $R_c$ , ¿cuánta pérdida por radiación te ahorras al pasar de $R = 2$ a $R = 5$ μm? Compáralo con el factor 10 que da la lista medida. (c) Si el término de transición vale $0.25/R^2$ dB, ¿por debajo de qué radio manda la radiación?

Solución

(a) $\gamma = k_0\sqrt{n_{\text{eff}}^2 - n_{\text{clad}}^2} = (2\pi/1.55)\sqrt{5.76 - 2.1025} = 4.054 \times 1.912 = 7.75$ μm⁻¹. Ojo con la trampa: 5.8 μm⁻¹ no es $\gamma$ , es $n_{\text{clad}}k_0 = 5.88$ μm⁻¹, y confundirlas multiplica $R_c$ por 1.34. Con la $\gamma$ buena: $R_c = 1.45/(2 \times 7.75 \times 0.95) = 1.45/14.73 = 0.098$ μm, y afinando con la integral WKB, 0.18 μm.

(b) $e^{-3/0.18} = 5.8\times10^{-8}$ : siete órdenes de magnitud. La lista medida da uno. La conclusión no es que el $R_c$ esté mal, sino que entre 2 y 5 μm ya no queda radiación que ahorrar: los 0.1 dB de $R = 2$ μm no son radiación, y por eso no se comportan como una exponencial.

(c) Igualando $194\,e^{-R/0.18} = 0.25/R^2$ (la constante 194 dB sale de exigir 0.75 dB de radiación a $R = 1$ μm) sale $R = 1.29$ μm. Por debajo manda la radiación y la pérdida explota; por encima manda la transición y baja despacio, como $1/R^2$ . La lección de diseño: si tu curva pierde demasiado a $R = 3$ μm, ensanchar el modo no te va a servir de nada — el problema está en las uniones, y se arregla con una curva de Euler o con un desplazamiento lateral en la unión, no con más confinamiento.

Ejercicio 2

Un circuito fotónico tiene 12 cruces de guías. Si cada cruce tiene una pérdida de 0.2 dB y un crosstalk de −20 dB, calcula: (a) la pérdida total por cruces, y (b) la potencia total de crosstalk acumulada relativa a la señal (en dB). ¿Qué pasa si usas cruces optimizados con 0.05 dB y −40 dB?

Solución

(a) Pérdida total: $12 \times 0.2 = 2.4$ dB. Con cruces optimizados: $12 \times 0.05 = 0.6$ dB.

(b) Crosstalk: cada cruce contribuye $10^{-20/10} = 0.01$ de la potencia. Con 12 cruces (en el peor caso, sumados incoherentemente): $12 \times 0.01 = 0.12$ → $10\log_{10}(0.12) = -9.2$ dB. Inaceptable para la mayoría de aplicaciones.

Con cruces de −40 dB: $12 \times 10^{-4} = 1.2 \times 10^{-3}$ → −29 dB. Mucho mejor, aunque aún significativo para circuitos que requieren >30 dB de aislamiento.

Ejercicio 3

Un taper lineal conecta una guía strip de 500 nm a una de 2 μm. En la zona estrecha, la separación de índice efectivo entre TE₀ y TE₁ es $\Delta n_{\text{eff}} = 0.5$ . En la zona ancha, $\Delta n_{\text{eff}} = 0.1$ . La condición adiabática exige $dw/dz \ll w\,\Delta n_{\text{eff}}/\lambda$ . Estima la longitud mínima del taper para que sea adiabático, usando el criterio $dw/dz < 0.1 \times w\,\Delta n_{\text{eff}}/\lambda$ evaluado en el punto más restrictivo. Ojo: el punto más restrictivo ya no es «donde $\Delta n_{\text{eff}}$ es menor», porque el límite depende del producto $w\,\Delta n_{\text{eff}}$ . Hay que mirar los dos extremos.

Solución

Hay que evaluar el producto $w\,\Delta n_{\text{eff}}$ en los dos extremos, porque los dos factores se mueven en sentidos contrarios a lo largo del taper:

Extremo estrecho: $w = 0.5$ μm, $\Delta n_{\text{eff}} = 0.5$ → $w\,\Delta n = 0.25$ ; $dw/dz < 0.1 \times 0.25/1.55 = 1.6\times10^{-2}$ .
Extremo ancho: $w = 2.0$ μm, $\Delta n_{\text{eff}} = 0.1$ → $w\,\Delta n = 0.20$ ; $dw/dz < 0.1 \times 0.20/1.55 = 1.3\times10^{-2}$ .

Manda el extremo ancho, pero por poco (0.20 frente a 0.25): que la guía se ensanche casi compensa que los modos se junten. Con el criterio ingenuo —solo $\Delta n_{\text{eff}}$ — se habría dicho «manda el ancho» por goleada, y por la razón equivocada.

Cambio de ancho: $\Delta w = 2.0 - 0.5 = 1.5$ μm. Longitud mínima: $L = \Delta w/(dw/dz) = 1.5/1.3\times10^{-2} \approx 116$ μm, digamos ~100 μm. Que es exactamente el orden de los tapers que traen los PDK de las foundries, y la comprobación de que el criterio es el bueno: la versión sin la $w$ daba 1 μm, cien veces menos, y un taper de 1 μm entre 500 nm y 2 μm no es un taper — es un escalón, y pierde varios dB.