El anillo resonador

Si el Módulo 05, artículo 02 te mostró el resonador de Fabry-Perot — dos espejos enfrentados con luz rebotando entre ellos — el anillo resonador es la misma idea curvada: en lugar de ida y vuelta lineal, la luz da vueltas en un lazo cerrado. La condición de resonancia es idéntica (fase acumulada = $2\pi m$ ), las figuras de mérito son las mismas (FSR, finesse, Q — donde Q, el factor de calidad, mide cuántas oscilaciones sobreviven dentro del resonador antes de disiparse: un Q alto significa picos espectrales estrechos y almacenamiento de energía eficiente), pero la geometría circular permite integrar centenares de resonadores en un chip de milímetros.

Anatomía del anillo

Un anillo resonador consiste en una guía cerrada de radio $R$ (5–50 μm en SOI), un bus (guía recta con gap ~100–300 nm) y, opcionalmente, un segundo bus — el drop port. La luz se acopla por campo evanescente (M04-04). El coeficiente de acoplamiento $\kappa$ determina cuánta luz entra y sale en cada vuelta.

Condición de resonancia

Para resonancia, la fase por vuelta debe ser un múltiplo de $2\pi$ :

n_{\text{eff}} \cdot k_0 \cdot 2\pi R = 2\pi m \qquad \Rightarrow \qquad \lambda_m = \frac{n_{\text{eff}} \cdot 2\pi R}{m}

Es la condición del Fabry-Perot con $2L \to 2\pi R$ : la ida y vuelta lineal se reemplaza por la circunferencia. La misma física, diferente geometría.

Free Spectral Range

La separación entre resonancias consecutivas es el FSR:

\text{FSR} = \frac{\lambda^2}{n_g \cdot 2\pi R} \approx \frac{c}{n_g \cdot 2\pi R}

donde $n_g$ es el índice de grupo — no el índice efectivo, sino el que gobierna la propagación de un pulso. La diferencia importa: en SOI, $n_g \approx 4.2$ mientras que $n_{\text{eff}} \approx 2.4$ . Usar $n_{\text{eff}}$ en lugar de $n_g$ da un FSR equivocado por un factor ~1.75.

Para un anillo SOI de $R = 10$ μm: $\text{FSR} = (1.55)^2 / (4.2 \times 2\pi \times 10) \approx 9.1$ nm. Eso es suficiente para separar canales de un sistema WDM con espaciado de 100 GHz (~0.8 nm a 1550 nm).

La matriz de transferencia del anillo

Transmisión del through port: acoplamiento + fase

Consideramos un anillo acoplado a un solo bus (all-pass). En la zona de acoplamiento, la relación entre los campos del bus y el anillo se describe con una matriz unitaria parametrizada por el coeficiente de transmisión $t$ y el de acoplamiento $\kappa$ ( $|t|^2 + |\kappa|^2 = 1$ si el acoplador es sin pérdidas):

\begin{pmatrix} E_{\text{out}} \\ E_{\text{ring}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t & \kappa \\ -\kappa^* & t^* \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E_{\text{in}} \\ E_{\text{ring}} \cdot a \, e^{i\phi} \end{pmatrix}

donde $a$ es el factor de atenuación por vuelta ( $a = e^{-\alpha \pi R}$ , con $\alpha$ la pérdida de propagación), y $\phi = n_{\text{eff}} k_0 \cdot 2\pi R$ es la fase por vuelta.

Resolviendo para $E_{\text{out}}/E_{\text{in}}$ :

\frac{E_{\text{out}}}{E_{\text{in}}} = \frac{t - a\,e^{i\phi}}{1 - t^* a\,e^{i\phi}}

La transmisión de potencia por el through port es:

T = \left|\frac{E_{\text{out}}}{E_{\text{in}}}\right|^2 = \frac{a^2 + |t|^2 - 2a|t|\cos\phi}{1 + a^2|t|^2 - 2a|t|\cos\phi}

En resonancia ( $\phi = 2\pi m$ , $\cos\phi = 1$ ):

T_{\text{res}} = \frac{(a - |t|)^2}{(1 - a|t|)^2}

Cuando $a = |t|$ , la transmisión en resonancia es cero. Esta es la condición de acoplamiento crítico.

Explorar

Radio R (\u03BCm) 10

Acoplamiento \u03BA 0.20

Perdida (dB/cm) 3.0

Espectro de transmision del anillo resonador

FSR = 9.10 nm | Q = 23.7k | Acoplamiento critico

Acoplamiento crítico

El acoplamiento crítico ocurre cuando $a = |t|$ : las pérdidas del anillo por vuelta igualan exactamente la fracción de potencia que no se acopla. En resonancia, el campo que viene del bus interfiere destructivamente con el que sale del anillo — la transmisión cae a cero.

Esto da un extinction ratio teóricamente infinito. En la práctica, los mejores anillos logran 20–30 dB. El acoplamiento se puede ajustar post-fabricación con calentadores (efecto termo-óptico del silicio: $dn/dT \approx 1.86 \times 10^{-4}$ K⁻¹).

Factor de calidad Q

El factor Q mide la nitidez de la resonancia: $Q = \lambda_{\text{res}} / \Delta\lambda_{\text{FWHM}}$ . Distinguimos el Q intrínseco ( $Q_i = 2\pi n_g / (\alpha\lambda)$ , solo pérdidas internas) del Q cargado ( $Q_L$ , que incluye el acoplamiento al bus):

\frac{1}{Q_L} = \frac{1}{Q_i} + \frac{1}{Q_c}

En acoplamiento crítico, $Q_c = Q_i$ y $Q_L = Q_i/2$ .

Finesse

La finesse es la ratio entre el FSR y el ancho de la resonancia:

\mathcal{F} = \frac{\text{FSR}}{\Delta\lambda_{\text{FWHM}}} = \frac{\pi \sqrt{a|t|}}{1 - a|t|}

Es el mismo concepto que en el Fabry-Perot del Módulo 05: cuántas resonancias caben sin solaparse. Un anillo con $\mathcal{F} = 100$ tiene resonancias 100× más estrechas que el FSR.

Configuración add-drop

Con dos buses, el anillo es un filtro de cuatro puertos: el through port deja pasar la luz no resonante; el drop port extrae la resonante; el add port inyecta señales al anillo. Cascadando anillos de radios ligeramente distintos, se demultiplexan todos los canales de un sistema WDM.

Aplicaciones

Filtros WDM: cascadas de anillos separan canales espectrales.
Moduladores: en acoplamiento crítico, un cambio mínimo de $n_{\text{eff}}$ (vía unión p-n o calentador) conmuta la transmisión entre 0 y 1.
Sensores: un cambio de índice del entorno desplaza la resonancia. Sensibilidad típica: ~100 nm/RIU.
Líneas de retardo: la luz da múltiples vueltas; retardo $\tau = Q / \omega_0$ .

Ejercicios

Ejercicio 1

Un anillo SOI tiene radio $R = 10$ μm, $n_g = 4.2$ y opera a $\lambda = 1550$ nm. (a) Calcula el FSR en nm. (b) Si las pérdidas de propagación son 3 dB/cm, calcula el factor de atenuación por vuelta $a$ . (c) Calcula el Q intrínseco.

Solución

(a) $\text{FSR} = \lambda^2/(n_g \cdot 2\pi R) = (1.55)^2/(4.2 \times 2\pi \times 10) = 2.4025/263.9 \approx 9.1$ nm.

(b) Pérdida de 3 dB/cm = 0.03 dB/100 μm. Perímetro: $2\pi R = 62.8$ μm. Pérdida por vuelta: $3 \times 6.28 \times 10^{-3} = 0.019$ dB. $a = 10^{-0.019/20} \approx 0.998$ .

(c) $\alpha = 3$ dB/cm $= 3 \times 0.23 = 0.69$ cm⁻¹ $= 0.69 \times 10^{-4}$ μm⁻¹. $Q_i = 2\pi n_g / (\alpha \lambda) = 2\pi \times 4.2 / (6.9 \times 10^{-5} \times 1.55) \approx 2.47 \times 10^5$ .

Ejercicio 2

Para el anillo del ejercicio anterior, se diseña un acoplador con $|\kappa|^2 = 0.04$ (4% de potencia acoplada). (a) Calcula $|t| = \sqrt{1 - |\kappa|^2}$ . (b) Compara $|t|$ con $a$ . ¿Está el anillo cerca del acoplamiento crítico? (c) Calcula la transmisión en resonancia $T_{\text{res}}$ .

Solución

(a) $|t| = \sqrt{1 - 0.04} = \sqrt{0.96} \approx 0.980$ .

(c) $T_{\text{res}} = (a - |t|)^2/(1 - a|t|)^2 = (0.998 - 0.980)^2/(1 - 0.978)^2 = (0.018)^2/(0.022)^2 \approx 0.67$ . Solo ~1.7 dB de extinción — lejos del acoplamiento crítico. Para mejorar la extinción, hay que reducir $|\kappa|^2$ o aumentar las pérdidas del anillo (no deseable).

Ejercicio 3

Un anillo resonador se usa como sensor bioquímico. La superficie del anillo está funcionalizada para capturar moléculas. Al unirse las moléculas, el índice efectivo del modo cambia en $\Delta n_{\text{eff}} = 10^{-4}$ . Si el anillo tiene $R = 20$ μm, $n_{\text{eff}} = 2.4$ y un índice de grupo $n_g = 4.2$ (el valor típico de una guía strip de SOI a 1550 nm), calcula el desplazamiento de la longitud de onda de resonancia $\Delta\lambda$ . Si el Q cargado es $10^4$ , ¿se puede resolver este desplazamiento?

Solución

La tentación es derivar $\lambda_m = n_{\text{eff}}\cdot 2\pi R/m$ a orden $m$ fijo y escribir $\Delta\lambda/\lambda = \Delta n_{\text{eff}}/n_{\text{eff}}$ . Está mal, y es el error clásico del sensado con anillos: $n_{\text{eff}}$ también depende de $\lambda$ , así que al derivar la condición de resonancia aparecen los dos términos:

m\,\Delta\lambda = L\left(\frac{\partial n_{\text{eff}}}{\partial\lambda}\Delta\lambda + \Delta n_{\text{eff}}\right) \;\Longrightarrow\; \Delta\lambda = \frac{\lambda\,\Delta n_{\text{eff}}}{n_g}, \quad n_g \equiv n_{\text{eff}} - \lambda\frac{dn_{\text{eff}}}{d\lambda}

Lo que manda es el índice de grupo, no el efectivo. En SOI la diferencia no es cosmética: $n_g \approx 4.2$ frente a $n_{\text{eff}} \approx 2.4$ , casi el doble, porque una guía de silicio es fuertemente dispersiva.

$\Delta\lambda = 1550 \times 10^{-4}/4.2 \approx 0.037$ nm = 37 pm.

El ancho de la resonancia: $\Delta\lambda_{\text{FWHM}} = \lambda/Q = 1550/10^4 = 0.155$ nm = 155 pm. El desplazamiento (37 pm) es ~24% del ancho → detectable, pero no cómodamente resuelto. Con $Q = 10^5$ (ancho = 15.5 pm) el desplazamiento sería 2.4× el ancho — cómodamente medible. Es por esto que los sensores buscan anillos de alto Q. Usar $n_{\text{eff}}$ en vez de $n_g$ habría dado 65 pm y la sensibilidad del sensor saldría un 75% optimista, que es un error caro de cometer en una propuesta de proyecto.