Filtros y add-drop — Fotonario

En el Artículo 02 vimos el anillo resonador acoplado a una sola guía — el all-pass. Ahora añadimos una segunda guía y obtenemos el filtro add-drop — un dispositivo que extrae (drop) o inserta (add) un canal de longitud de onda sin tocar los demás. Es el bloque básico del WDM en fotónica integrada.

Configuración add-drop

El dispositivo tiene cuatro puertos: input y through en la guía superior (bus), add y drop en la guía inferior. El anillo se acopla a ambas guías con coeficientes $\kappa_1$ y $\kappa_2$ .

El mecanismo es el acoplamiento evanescente que vimos en M04-04: la luz que circula en el anillo se acopla parcialmente a cada guía en la zona de proximidad. En resonancia — cuando la fase acumulada en una vuelta es múltiplo de $2\pi$ — la interferencia constructiva transfiere toda la potencia al puerto drop.

Función de transferencia

La transmisión al puerto through y al puerto drop se obtiene sumando las contribuciones de cada vuelta:

T_{\text{through}} = \frac{t_1^2 + a^2 t_2^2 - 2a\,t_1 t_2 \cos\phi}{1 + a^2 t_1^2 t_2^2 - 2a\,t_1 t_2 \cos\phi}

T_{\text{drop}} = \frac{(1 - t_1^2)(1 - t_2^2)\,a}{1 + a^2 t_1^2 t_2^2 - 2a\,t_1 t_2 \cos\phi}

donde $t_i = \sqrt{1 - \kappa_i^2}$ es el coeficiente de transmisión directa de cada acoplador, $a$ es la atenuación por vuelta ( $a = e^{-\alpha \pi R}$ ), y $\phi = \beta \cdot 2\pi R$ es la fase de round-trip.

En resonancia ( $\phi = 2m\pi$ ), el through se minimiza y el drop se maximiza. Si $\kappa_1 = \kappa_2$ y las pérdidas son bajas ( $a \to 1$ ), la transferencia al drop es casi del 100% — toda la longitud de onda resonante se extrae. Pero casi: los dos acopladores iguales no anulan el through, solo lo dejan pequeño. Anularlo del todo exige desigualarlos, y en un sentido concreto que se deduce abajo.

Ancho de banda y factor de calidad

El filtro add-drop tiene un ancho de línea FWHM que depende de los acoplamientos y las pérdidas:

\Delta\lambda_{\text{FWHM}} = \frac{\lambda_{\text{res}}^2}{\pi n_g \cdot 2\pi R} \cdot \frac{1 - a\,t_1 t_2}{\sqrt{a\,t_1 t_2}}

El factor de calidad es $Q = \lambda_{\text{res}} / \Delta\lambda_{\text{FWHM}}$ . Un add-drop en SOI con $R = 10$ μm y gaps de ~200 nm puede alcanzar $Q \sim 10^4$ , suficiente para separar canales WDM espaciados 100 GHz.

Explorar

Acoplamiento κ₁ 0.30

Acoplamiento κ₂ 0.30

Radio R (μm) 10

Filtro add-drop: through y drop

FSR = 9.1 nm | a = 0.98 | critico: κ₁ = 0.355 (t₁ = a·t₂) | extincion del through = 15.1 dB

Con κ₁ ≤ κ₂ el through nunca llega a cero: falta acoplamiento de entrada para cubrir drop + perdidas.

Factor de forma y filtros cascadeados

Un problema del anillo simple: la resonancia tiene forma lorentziana — decae como $1/(1 + x^2)$ en las alas. Eso significa que el factor de forma (ratio del ancho a −20 dB vs −3 dB) es ~10. Para WDM con canales cercanos, necesitas un filtro más «rectangular».

La solución: filtros de orden superior. Si cascadeas $N$ anillos entre las dos guías bus, la función de transferencia se aplana en la banda de paso y las alas caen mucho más rápido — análogo al filtro Butterworth en electrónica.

1 anillo: lorentziano. SF ≈ 10.
2 anillos: banda de paso más plana. SF ≈ 3–4.
4+ anillos: casi rectangular. SF ≈ 1.5–2. Ideal para WDM denso (DWDM a 50 GHz).

El precio: más anillos requieren alinear sus resonancias con precisión. Cada anillo necesita un heater individual para sintonización térmica. La complejidad del control crece con $N$ .

El acoplamiento crítico del add-drop, desde la matriz del acoplador

Merece la pena hacerlo entero, porque el resultado es contraintuitivo y el sentido de la desigualdad decide qué gap se dibuja. Cada acoplador es la matriz unitaria del Artículo 06:

\begin{pmatrix} E_{\text{sal}} \\ E_{\text{anillo}}^{\text{sal}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t_i & i\kappa_i \\ i\kappa_i & t_i \end{pmatrix}\begin{pmatrix} E_{\text{ent}} \\ E_{\text{anillo}}^{\text{ent}} \end{pmatrix}

Llama $d$ al campo que sale del acoplador 1 hacia el anillo y $c$ al que vuelve a entrar en él tras la vuelta completa. En el camino, el campo pasa por el acoplador 2 (que le quita $\kappa_2$ hacia el drop y le deja $t_2$ ), acumula la atenuación $a$ y la fase $\phi$ : $c = t_2\,a\,e^{i\phi} d$ . Y en el acoplador 1, $d = i\kappa_1 E_{\text{in}} + t_1 c$ . Cerrando el lazo:

d = \frac{i\kappa_1 E_{\text{in}}}{1 - a\,t_1 t_2 e^{i\phi}}

El through es $E_{\text{th}} = t_1 E_{\text{in}} + i\kappa_1 c$ ; sustituyendo y usando $t_1^2 + \kappa_1^2 = 1$ para juntar los dos términos:

\frac{E_{\text{th}}}{E_{\text{in}}} = \frac{t_1 - a\,t_2\,e^{i\phi}}{1 - a\,t_1 t_2\,e^{i\phi}}

Ahí está todo. En resonancia ( $e^{i\phi} = 1$ ) el numerador se anula cuando

\boxed{\,t_1 = a\,t_2\,}

y no cuando $a\,t_1 = t_2$ . La diferencia no es cosmética. Como $a < 1$ , la condición correcta pide $t_1 < t_2$ , es decir $\kappa_1 > \kappa_2$ : el acoplador de entrada tiene que ser el más fuerte. La razón física es de balance de potencia — el acoplador 1 tiene que inyectar exactamente lo que el anillo pierde en una vuelta, y el anillo pierde por dos vías: lo que se escapa al drop ( $\kappa_2$ ) y lo que se disipa ( $1-a^2$ ). Por eso $\kappa_1$ tiene que cubrir las dos.

Cuánto cuesta equivocarse de sentido: con $a = 0.98$ y $t_2 = 0.95$ , la condición buena es $t_1 = 0.931$ ( $\kappa_1 = 0.365$ contra $\kappa_2 = 0.312$ ) y el through se anula. La invertida pide $t_1 = t_2/a = 0.969$ , que deja $T_{\text{through}} = 0.155$ — solo 8.1 dB de extinción donde debería haber un cero — y de paso baja el drop del 71.7% al 60.6%.

Con el through anulado, la potencia extraída es

T_{\text{drop}} = \frac{(1-t_1^2)(1-t_2^2)\,a}{(1-a\,t_1 t_2)^2}

Si además $a = 1$ (sin pérdidas) la condición degenera en $t_1 = t_2$ y sale $T_{\text{drop}} = 1$ : extracción perfecta. Es el caso ideal —y el que hace fácil equivocarse, porque con $a = 1$ las dos condiciones coinciden y el error no se ve. En la práctica, las pérdidas del anillo limitan $T_{\text{drop}}$ al 80–95%.

El efecto Vernier

Un anillo tiene resonancias periódicas separadas por el $\text{FSR} = \lambda^2/(n_g \cdot 2\pi R)$ . Si necesitas un rango espectral libre mucho mayor que el FSR de un anillo individual — por ejemplo, para cubrir toda la banda C (1530–1565 nm) — puedes usar el efecto Vernier.

Conectas dos anillos en cascada con FSR ligeramente distintos: $\text{FSR}_1$ y $\text{FSR}_2$ . Solo las longitudes de onda que son resonantes en ambos anillos pasan al drop. El FSR efectivo es:

\text{FSR}_{\text{eff}} = \frac{\text{FSR}_1 \cdot \text{FSR}_2}{|\text{FSR}_1 - \text{FSR}_2|}

Con $\text{FSR}_1 = 10$ nm y $\text{FSR}_2 = 11$ nm, el FSR efectivo es 110 nm — más que suficiente para cubrir toda la banda C con un solo canal resonante visible. La extinción de las resonancias no alineadas depende de la finesse de cada anillo.

Demultiplexado WDM

Un demultiplexor WDM de $N$ canales se construye con $N$ add-drops en cascada sobre el mismo bus. Cada anillo tiene un radio ligeramente diferente (o un heater que sintoniza su resonancia), de modo que cada uno extrae un canal distinto.

Ejemplo práctico: 8 canales espaciados 200 GHz (~1.6 nm a 1550 nm) piden $\text{FSR} > 12.8$ nm, y eso obliga a $R \approx 7$ μm — con $R = 10$ μm el FSR es 9.1 nm y sólo caben cinco canales antes de que el sexto se solape con el primero. La diferencia de radio entre anillos sucesivos es solo ~20 nm de perímetro — controlable con litografía o sintonización térmica. El chip entero cabe en $< 0.5$ mm².

Esto conecta directamente con la dependencia espectral del acoplamiento evanescente que vimos en M04-04: $\kappa(\lambda)$ varía suavemente con la longitud de onda, pero la selectividad del filtro viene de la resonancia del anillo, no del acoplador. El acoplador fija la finesse; el anillo fija la longitud de onda.

FSR y radio del anillo

La condición de resonancia es $n_{\text{eff}} \cdot 2\pi R = m\lambda$ . Diferenciando respecto a $\lambda$ :

\text{FSR} = \frac{\lambda^2}{n_g \cdot L}

donde $L = 2\pi R$ es la longitud del anillo y $n_g = n_{\text{eff}} - \lambda\,dn_{\text{eff}}/d\lambda$ es el índice de grupo. Para SOI a 1550 nm, $n_g \approx 4.2$ . Con $R = 10$ μm:

\text{FSR} = \frac{1.55^2}{4.2 \times 62.8} \approx 9.1 \text{ nm}

Para WDM con 8 canales a 1.6 nm de separación, necesitas $\text{FSR} > 8 \times 1.6 = 12.8$ nm, lo que requiere $R < 7$ μm. En SOI con alto contraste, anillos de 5 μm son viables.

Ejercicios

Ejercicio 1

Un add-drop en SOI tiene $R = 20$ μm, $n_g = 4.2$ , y coeficientes de acoplamiento $\kappa_1 = \kappa_2 = 0.2$ . Calcula: (a) el FSR, (b) la finesse $\mathcal{F} = \text{FSR}/\Delta\lambda_{\text{FWHM}}$ , y (c) el factor Q. Supón pérdidas despreciables ( $a = 1$ ).

Solución

(a) $\text{FSR} = 1.55^2/(4.2 \times 2\pi \times 20 \times 10^{-3}) \approx 4.6$ nm.

(b) Con $\kappa = 0.2$ , $t = \sqrt{1 - 0.04} = 0.9798$ , luego $t_1 t_2 = 0.96$ y $\sqrt{t_1 t_2} = 0.9798$ — ojo a la raíz, que es el error de sustitución que más se comete aquí: $\mathcal{F} = \pi\sqrt{t_1 t_2}/(1-t_1 t_2) = \pi \times 0.9798/0.04 = 77$ . Poner 0.96 arriba daría 75, un 2 % de menos.

(c) $\Delta\lambda = 4.55/77 = 0.059$ nm. $Q = 1550/0.059 \approx 26\,000$ . Suficiente para resolver canales WDM espaciados 100 GHz (0.8 nm), que son casi catorce anchuras de línea.

Ejercicio 2

Diseña un filtro Vernier con dos anillos para obtener un $\text{FSR}_{\text{eff}} > 35$ nm (toda la banda C). Si el primer anillo tiene $R_1 = 10$ μm y $n_g = 4.2$ , ¿cuál debe ser $R_2$ para que el FSR efectivo sea ~40 nm?

Solución

$\text{FSR}_1 = 1.55^2/(4.2 \times 2\pi \times 10 \times 10^{-3}) \approx 9.1$ nm.

Necesitamos $\text{FSR}_{\text{eff}} = \text{FSR}_1 \cdot \text{FSR}_2 / |\text{FSR}_1 - \text{FSR}_2| = 40$ nm. Despejando: $\text{FSR}_2 = 40 \times 9.1 / (40 + 9.1) \approx 7.4$ nm.

$R_2 = \lambda^2/(n_g \cdot 2\pi \cdot \text{FSR}_2) = 1.55^2/(4.2 \times 2\pi \times 7.4 \times 10^{-6}) \approx 12.3$ μm. La diferencia de radio es solo 2.3 μm — fácilmente controlable con litografía.

Ejercicio 3

Un demultiplexor WDM usa 4 add-drops en cascada para separar 4 canales a 200 GHz de espaciado. Si cada anillo tiene pérdidas de inserción de 0.5 dB en el puerto through, ¿cuánta pérdida acumula la señal del canal 4 (que pasa por los 3 anillos anteriores antes de ser extraída)? ¿Y el canal 1?

Solución

Canal 1: es el primero en ser extraído. Pérdida = la pérdida de drop de su anillo, típicamente 1–2 dB.

Canal 4: pasa por 3 anillos en through (3 × 0.5 = 1.5 dB) y luego se extrae en el cuarto (1–2 dB). Pérdida total: 2.5–3.5 dB. Esta desigualdad de pérdidas entre canales es un problema real — se mitiga con diseño simétrico o ecualizadores.

Ejercicio 4

Dibujas un add-drop de $R = 10$ μm en SOI con 3 dB/cm de pérdida de propagación, y el acoplador de drop te ha salido $\kappa_2 = 0.25$ . (a) ¿Cuánto vale $a$ ? (b) ¿Qué $\kappa_1$ anula el through? (c) ¿Qué fracción de potencia sale por el drop? (d) Si por simetría dibujas los dos gaps iguales, ¿qué extinción obtienes? Repite (d) con una guía de 10 dB/cm y saca la moraleja.

Solución

(a) $L = 2\pi R = 62.83$ μm = 6.283 × 10⁻³ cm, o sea 0.01885 dB por vuelta. $a = 10^{-0.01885/20} = 0.99783$ (amplitud, no potencia: por eso 20 y no 10).

(b) $t_2 = \sqrt{1-0.25^2} = 0.96825$ , luego $t_1 = a\,t_2 = 0.96615$ y $\kappa_1 = \sqrt{1-t_1^2} = 0.2580$ . Es un 3% más que $\kappa_2$ , no menos — unos pocos nanómetros de gap, pero en el sentido correcto.

(c) $T_{\text{drop}} = (1-t_1^2)(1-t_2^2)a/(1-a t_1t_2)^2 = 0.937$ : el 93.7%. El 6% que falta es lo que se disipa en el anillo, no lo que se escapa por el through, que es cero exacto.

(d) Con $\kappa_1 = \kappa_2 = 0.25$ , $T_{\text{through}} = 1.06\times10^{-3}$ , o sea 29.8 dB de extinción, y el drop apenas se mueve (93.6%). A 10 dB/cm, en cambio, $a = 0.99279$ , el $\kappa_1$ correcto sube a 0.2756 y el diseño simétrico se queda en 19.9 dB, con el drop bajando del 81.7% al 80.9%.

La moraleja, que es la que hace útil la condición: lo que se paga por equivocarse crece con la pérdida del anillo. En un anillo bueno la asimetría es un retoque de nanómetros y quien la ignore se lleva 30 dB igual; en un anillo malo —radio pequeño, guía rugosa, Si₃N₄ dopado— es la diferencia entre 20 y 40 dB de aislamiento entre canales. Y como $a = 1$ hace coincidir las dos condiciones, un simulador sin pérdidas nunca te avisa de que tienes el signo cambiado.