Filtros y add-drop — Fotonario

En el Artículo 02 vimos el anillo resonador acoplado a una sola guía — el all-pass. Ahora añadimos una segunda guía y obtenemos el filtro add-drop — un dispositivo que extrae (drop) o inserta (add) un canal de longitud de onda sin tocar los demás. Es el bloque básico del WDM en fotónica integrada.

Configuración add-drop

El dispositivo tiene cuatro puertos: input y through en la guía superior (bus), add y drop en la guía inferior. El anillo se acopla a ambas guías con coeficientes $\kappa_1$ y $\kappa_2$ .

El mecanismo es el acoplamiento evanescente que vimos en M04-04: la luz que circula en el anillo se acopla parcialmente a cada guía en la zona de proximidad. En resonancia — cuando la fase acumulada en una vuelta es múltiplo de $2\pi$ — la interferencia constructiva transfiere toda la potencia al puerto drop.

Función de transferencia

La transmisión al puerto through y al puerto drop se obtiene sumando las contribuciones de cada vuelta:

T_{\text{through}} = \frac{a^2 t_1^2 + t_2^2 - 2a\,t_1 t_2 \cos\phi}{1 + a^2 t_1^2 t_2^2 - 2a\,t_1 t_2 \cos\phi}

T_{\text{drop}} = \frac{(1 - t_1^2)(1 - t_2^2)\,a}{1 + a^2 t_1^2 t_2^2 - 2a\,t_1 t_2 \cos\phi}

donde $t_i = \sqrt{1 - \kappa_i^2}$ es el coeficiente de transmisión directa de cada acoplador, $a$ es la atenuación por vuelta ( $a = e^{-\alpha \pi R}$ ), y $\phi = \beta \cdot 2\pi R$ es la fase de round-trip.

En resonancia ( $\phi = 2m\pi$ ), el through se minimiza y el drop se maximiza. Si $\kappa_1 = \kappa_2$ y las pérdidas son bajas ( $a \to 1$ ), la transferencia al drop es casi del 100% — toda la longitud de onda resonante se extrae.

Ancho de banda y factor de calidad

El filtro add-drop tiene un ancho de línea FWHM que depende de los acoplamientos y las pérdidas:

\Delta\lambda_{\text{FWHM}} = \frac{\lambda_{\text{res}}^2}{\pi n_g \cdot 2\pi R} \cdot \frac{1 - a\,t_1 t_2}{\sqrt{a\,t_1 t_2}}

El factor de calidad es $Q = \lambda_{\text{res}} / \Delta\lambda_{\text{FWHM}}$ . Un add-drop en SOI con $R = 10$ μm y gaps de ~200 nm puede alcanzar $Q \sim 10^4$ , suficiente para separar canales WDM espaciados 100 GHz.

Explorar

Acoplamiento κ&sub1; 0.30

Acoplamiento κ&sub2; 0.30

Radio R (μm) 10

Filtro add-drop: through y drop

FSR = 9.1 nm | κ&sub1; = κ&sub2;: Si → extraccion maxima en drop

Factor de forma y filtros cascadeados

Un problema del anillo simple: la resonancia tiene forma lorentziana — decae como $1/(1 + x^2)$ en las alas. Eso significa que el factor de forma (ratio del ancho a −20 dB vs −3 dB) es ~10. Para WDM con canales cercanos, necesitas un filtro más «rectangular».

La solución: filtros de orden superior. Si cascadeas $N$ anillos entre las dos guías bus, la función de transferencia se aplana en la banda de paso y las alas caen mucho más rápido — análogo al filtro Butterworth en electrónica.

1 anillo: lorentziano. SF ≈ 10.
2 anillos: banda de paso más plana. SF ≈ 3–4.
4+ anillos: casi rectangular. SF ≈ 1.5–2. Ideal para WDM denso (DWDM a 50 GHz).

El precio: más anillos requieren alinear sus resonancias con precisión. Cada anillo necesita un heater individual para sintonización térmica. La complejidad del control crece con $N$ .

Transferencia del add-drop en resonancia

En resonancia, $\cos\phi = 1$ . La transmisión al through se simplifica:

T_{\text{through}} = \frac{(a\,t_1 - t_2)^2}{(1 - a\,t_1 t_2)^2}

Si $a\,t_1 = t_2$ (condición de acoplamiento crítico del add-drop), el through se anula: $T_{\text{through}} = 0$ . Toda la potencia va al drop:

T_{\text{drop}} = \frac{(1-t_1^2)(1-t_2^2)\,a}{(1-a\,t_1 t_2)^2}

Si además $a = 1$ (sin pérdidas) y $t_1 = t_2$ , obtenemos $T_{\text{drop}} = 1$ : extracción perfecta. En la práctica, las pérdidas del anillo limitan $T_{\text{drop}}$ al 80–95%.

El efecto Vernier

Un anillo tiene resonancias periódicas separadas por el $\text{FSR} = \lambda^2/(n_g \cdot 2\pi R)$ . Si necesitas un rango espectral libre mucho mayor que el FSR de un anillo individual — por ejemplo, para cubrir toda la banda C (1530–1565 nm) — puedes usar el efecto Vernier.

Conectas dos anillos en cascada con FSR ligeramente distintos: $\text{FSR}_1$ y $\text{FSR}_2$ . Solo las longitudes de onda que son resonantes en ambos anillos pasan al drop. El FSR efectivo es:

\text{FSR}_{\text{eff}} = \frac{\text{FSR}_1 \cdot \text{FSR}_2}{|\text{FSR}_1 - \text{FSR}_2|}

Con $\text{FSR}_1 = 10$ nm y $\text{FSR}_2 = 11$ nm, el FSR efectivo es 110 nm — más que suficiente para cubrir toda la banda C con un solo canal resonante visible. La extinción de las resonancias no alineadas depende de la finesse de cada anillo.

Demultiplexado WDM

Un demultiplexor WDM de $N$ canales se construye con $N$ add-drops en cascada sobre el mismo bus. Cada anillo tiene un radio ligeramente diferente (o un heater que sintoniza su resonancia), de modo que cada uno extrae un canal distinto.

Ejemplo práctico: 8 canales espaciados 200 GHz (~1.6 nm a 1550 nm). Cada add-drop tiene $R \approx 10$ μm con $\text{FSR} \approx 12$ nm. La diferencia de radio entre anillos sucesivos es solo ~20 nm de perímetro — controlable con litografía o sintonización térmica. El chip entero cabe en $< 0.5$ mm².

Esto conecta directamente con la dependencia espectral del acoplamiento evanescente que vimos en M04-04: $\kappa(\lambda)$ varía suavemente con la longitud de onda, pero la selectividad del filtro viene de la resonancia del anillo, no del acoplador. El acoplador fija la finesse; el anillo fija la longitud de onda.

FSR y radio del anillo

La condición de resonancia es $n_{\text{eff}} \cdot 2\pi R = m\lambda$ . Diferenciando respecto a $\lambda$ :

\text{FSR} = \frac{\lambda^2}{n_g \cdot L}

donde $L = 2\pi R$ es la longitud del anillo y $n_g = n_{\text{eff}} - \lambda\,dn_{\text{eff}}/d\lambda$ es el índice de grupo. Para SOI a 1550 nm, $n_g \approx 4.2$ . Con $R = 10$ μm:

\text{FSR} = \frac{1.55^2}{4.2 \times 62.8} \approx 9.1 \text{ nm}

Para WDM con 8 canales a 1.6 nm de separación, necesitas $\text{FSR} > 8 \times 1.6 = 12.8$ nm, lo que requiere $R < 7$ μm. En SOI con alto contraste, anillos de 5 μm son viables.

Ejercicios

Ejercicio 1

Un add-drop en SOI tiene $R = 20$ μm, $n_g = 4.2$ , y coeficientes de acoplamiento $\kappa_1 = \kappa_2 = 0.2$ . Calcula: (a) el FSR, (b) la finesse $\mathcal{F} = \text{FSR}/\Delta\lambda_{\text{FWHM}}$ , y (c) el factor Q. Supón pérdidas despreciables ( $a = 1$ ).

Solución

(a) $\text{FSR} = 1.55^2/(4.2 \times 2\pi \times 20 \times 10^{-3}) \approx 4.6$ nm.

(b) Con $\kappa = 0.2$ , $t = \sqrt{1 - 0.04} \approx 0.98$ . La finesse es $\mathcal{F} = \pi\sqrt{t_1 t_2}/(1-t_1 t_2) = \pi \times 0.96/(1 - 0.96) \approx 75$ .

(c) $\Delta\lambda = 4.6/75 \approx 0.061$ nm. $Q = 1550/0.061 \approx 25\,000$ . Suficiente para resolver canales WDM espaciados 100 GHz (0.8 nm).

Ejercicio 2

Diseña un filtro Vernier con dos anillos para obtener un $\text{FSR}_{\text{eff}} > 35$ nm (toda la banda C). Si el primer anillo tiene $R_1 = 10$ μm y $n_g = 4.2$ , ¿cuál debe ser $R_2$ para que el FSR efectivo sea ~40 nm?

Solución

$\text{FSR}_1 = 1.55^2/(4.2 \times 2\pi \times 10 \times 10^{-3}) \approx 9.1$ nm.

Necesitamos $\text{FSR}_{\text{eff}} = \text{FSR}_1 \cdot \text{FSR}_2 / |\text{FSR}_1 - \text{FSR}_2| = 40$ nm. Despejando: $\text{FSR}_2 = 40 \times 9.1 / (40 + 9.1) \approx 7.4$ nm.

$R_2 = \lambda^2/(n_g \cdot 2\pi \cdot \text{FSR}_2) = 1.55^2/(4.2 \times 2\pi \times 7.4 \times 10^{-6}) \approx 12.3$ μm. La diferencia de radio es solo 2.3 μm — fácilmente controlable con litografía.

Ejercicio 3

Un demultiplexor WDM usa 4 add-drops en cascada para separar 4 canales a 200 GHz de espaciado. Si cada anillo tiene pérdidas de inserción de 0.5 dB en el puerto through, ¿cuánta pérdida acumula la señal del canal 4 (que pasa por los 3 anillos anteriores antes de ser extraída)? ¿Y el canal 1?

Solución

Canal 1: es el primero en ser extraído. Pérdida = la pérdida de drop de su anillo, típicamente 1–2 dB.

Canal 4: pasa por 3 anillos en through (3 × 0.5 = 1.5 dB) y luego se extrae en el cuarto (1–2 dB). Pérdida total: 2.5–3.5 dB. Esta desigualdad de pérdidas entre canales es un problema real — se mitiga con diseño simétrico o ecualizadores.