Acopladores y divisores

Los artículos anteriores construyeron resonadores y filtros. Pero el siguiente paso — los moduladores — necesita interferómetros, y los interferómetros necesitan dividir y recombinar la luz. Todo circuito fotónico necesita dividir la luz — enviar la mitad de la potencia por un brazo y la otra mitad por otro. En electrónica es trivial (un nodo de cable). En fotónica, dividir sin perder ni reflejar requiere diseño cuidadoso. Hay tres formas principales de hacerlo en un chip, y cada una optimiza algo diferente.

Acoplador direccional

Ya lo conocemos del M04-04: dos guías paralelas separadas por un gap pequeño. La teoría de modos acoplados (CMT) predice que la potencia oscila entre las guías con periodo $2L_c = \pi/\kappa$ . Si cortas a $L_c/2$ , obtienes un divisor 50/50.

Ventajas: muy compacto (longitudes de ~10–50 μm en SOI), diseño sencillo, se puede ajustar el ratio de división cambiando la longitud o el gap.

Problema: el acoplamiento $\kappa$ depende exponencialmente del gap ( $\kappa \propto e^{-\gamma d}$ ) y es función de la longitud de onda. Eso hace que el acoplador direccional sea sensible a:

Variaciones de fabricación: ±10 nm en el gap cambian $\kappa$ significativamente. El ratio de división puede variar de 50/50 a 40/60 entre chips de una misma oblea.
Longitud de onda: un divisor 50/50 a 1550 nm puede ser 60/40 a 1310 nm. Es un dispositivo dependiente de λ.

Para aplicaciones donde el ratio exacto importa (interferómetros, híbridos coherentes), esta sensibilidad es un problema. Para WDM, la dependencia en λ puede incluso ser útil (filtros — Artículo 05).

Explorar

Acoplamiento \u03BA 0.50

Desajuste \u0394\u03B2 0.00

Transferencia de potencia en acoplador direccional

L_c = \u03C0/(2\u03BA) = 3.14 | Transferencia max: 100%

MMI: interferencia multimodo

El MMI (Multimode Interference coupler) usa un principio completamente distinto. En lugar de dos guías acopladas, tiene una sola guía muy ancha — lo bastante ancha para soportar $M$ modos — con guías de entrada y salida en posiciones estratégicas.

Cuando la luz entra por una guía de acceso, excita múltiples modos de la sección ancha. Cada modo propaga con una constante $\beta_m$ diferente. A medida que se propagan, la interferencia entre ellos recrea «imágenes» del campo de entrada a distancias específicas — es el fenómeno de self-imaging (efecto Talbot en guías de onda).

Longitud de self-imaging desde la propagación multimodo

El modo lateral $\nu$ de una guía slab ancha tiene número de onda transversal $k_\nu = (\nu+1)\pi/W_e$ — con $\nu+1$ , no $\nu$ , porque el fundamental ya tiene media onda dentro. De ahí, parabolizando:

\beta_\nu \approx n_r k_0 - \frac{(\nu+1)^2 \pi^2}{2 n_r k_0 W_e^2}, \qquad \beta_0 - \beta_\nu = \frac{\nu(\nu+2)\,\pi^2}{2\beta_0 W_e^2}

donde $W_e$ es la anchura efectiva (incluyendo penetración evanescente) y $\nu = 0, 1, 2, \ldots$ . El factor que importa es $\nu(\nu+2)$ , que para $\nu = 1$ vale 3, no 1: es de ahí de donde sale el 3 de todo lo que viene después. Con $L_\pi = \pi/(\beta_0 - \beta_1)$ :

L_\pi = \frac{2\beta_0 W_e^2}{3\pi} = \frac{4 n_{\text{eff}} W_e^2}{3\lambda}

Las dos formas son la misma sustituyendo $\beta_0 = 2\pi n_{\text{eff}}/\lambda$ : si escribes $2\beta_0 W_e^2/\pi$ te sale el triple, y con $W_e = 6$ μm eso son 260 μm en vez de 86.7.

Dónde caen las imágenes depende de por dónde entres, y no es un detalle:

Interferencia simétrica — entrada centrada, que solo excita los modos pares. Sus fases en $z = 3L_\pi/(4N)$ valen 0 o $\pi$ módulo $2\pi$ , así que ahí aparecen $N$ imágenes: $3L_\pi/8$ para un 1×2, $3L_\pi/16$ para un 1×4, y la autoimagen simple (1×1) en $3L_\pi/4$ .
Interferencia general — entrada descentrada, con todos los modos en juego. La imagen simple está en $3L_\pi$ y las $N$ imágenes en $3L_\pi/N$ ; el 2×2 de 3 dB, que necesita dos entradas y por tanto no puede ser simétrico, es $3L_\pi/2$ .

La confusión clásica es tomar los $3L_\pi/4$ de la autoimagen simétrica y llamarlos «divisor 1×2»: son el doble de largo y lo que sale por el otro extremo es una imagen, no dos.

Lo importante: $L_\pi$ depende de $W_e^2$ y de $1/\lambda$ — dependencia suave. Pequeños cambios en $\lambda$ o en $W_e$ (por fabricación) apenas afectan la calidad de la imagen. Por eso el MMI es robusto.

Ventajas del MMI:

Tolerancia a fabricación: el ratio de división depende de la posición de las imágenes, no de un acoplamiento exponencial. Variaciones de ±20 nm en la anchura cambian el ratio < 1%.
Banda ancha: funciona sobre >100 nm sin degradación significativa. Ideal para sistemas WDM de banda ancha.
Configuraciones N×M: un MMI puede hacer 1×2, 2×2, 1×4, 1×8... cambiando la anchura y la longitud.

Desventaja: más grande que un acoplador direccional — aunque menos de lo que suele decirse. Con $n_{\text{eff}} = 2.8$ a 1550 nm, un 1×2 simétrico ( $3L_\pi/8$ ) mide 8.1 μm de largo si la sección multimodo tiene $W_e = 3$ μm y 32.5 μm si tiene 6 μm. Lo que sí se va a las decenas de micras es el 2×2, que necesita $3L_\pi/2$ — 32.5 y 130 μm para esas dos anchuras. El acoplador direccional equivalente: ~0.2 μm de gap × 10–20 μm de largo.

Y-junction

La Y-junction es el divisor más intuitivo: una guía que se bifurca en dos. Por simetría, la potencia se divide 50/50 — siempre, a cualquier longitud de onda. No hay partes móviles, no hay acoplamiento que ajustar.

Ventaja: inherentemente de banda ancha y 50/50.

Problemas:

El vértice donde las guías se separan es un punto de scattering — la transición abrupta genera pérdidas de 0.2–1 dB dependiendo del diseño y la resolución de fabricación.
Como combinador (2→1), la Y-junction tiene pérdida intrínseca de 3 dB si las entradas no están perfectamente en fase. No es un combinador coherente reversible en general.

Acopladores 2×2 y la matriz de scattering

Un acoplador 2×2 ideal (sin pérdidas) se describe por una matriz unitaria:

\begin{pmatrix} E_3 \\ E_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t & i\kappa \\ i\kappa & t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E_1 \\ E_2 \end{pmatrix}

donde $|t|^2 + |\kappa|^2 = 1$ . El factor $i$ en los términos cruzados es la diferencia de fase de $\pi/2$ entre el puerto directo y el acoplado — consecuencia de la conservación de energía. Dos de estos acopladores con un brazo desfasado forman un interferómetro Mach-Zehnder — el corazón del modulador que veremos en el Artículo 07.

Comparación

Parámetro	Direccional	MMI	Y-junction
Tamaño (SOI)	~10–20 μm	~8–33 μm el 1×2; ~33–130 el 2×2	~20–50 μm
Pérdida típica	< 0.1 dB	0.2–0.5 dB	0.2–1 dB
Tolerancia fab.	Baja	Alta	Media
Banda ancha	No	Sí (>100 nm)	Sí
Ratio ajustable	Sí	Limitado	No (50/50)
Uso típico	Filtros, sintonizable	MZI, híbridos	Distribución

En la práctica, los MMIs dominan en diseños de producción: su tolerancia a fabricación es el factor decisivo cuando fabricas miles de chips en una foundry. Los acopladores direccionales se reservan para circuitos donde necesitas sintonizar el ratio de división o aprovechar la dependencia en λ.

Ejercicios

Ejercicio 1

Un MMI 1×2 en SOI tiene una sección multimodo de anchura $W_e = 6$ μm y $n_{\text{eff}} = 2.8$ a 1550 nm, con la guía de entrada centrada. Calcula $L_\pi$ y la longitud del MMI. Después contesta: si al cortar la oblea te hubieras equivocado y hubieras dejado el doble de longitud, ¿qué habría a la salida?

Solución

$L_\pi = 4 n_{\text{eff}} W_e^2 / (3\lambda) = 4 \times 2.8 \times 36 / (3 \times 1.55) = 403.2 / 4.65 = 86.7$ μm. (Comprobación por el otro camino, sin parabolizar: $\pi/(\beta_0-\beta_1)$ con $\beta_\nu = \sqrt{(n k_0)^2 - ((\nu+1)\pi/W_e)^2}$ da 86.5 μm — el 0.3% de diferencia es lo que cuesta la parábola.)

Entrada centrada = interferencia simétrica, así que el 1×2 está en $3L_\pi/8 = 3 \times 86.7/8 = 32.5$ μm. Con 6 μm de anchura, el MMI ocupa 6 × 32.5 = 195 μm². Compacto, y solo el doble que un acoplador direccional de 10–20 μm.

Con el doble de longitud, 65 μm, estarías justo en $3L_\pi/4$ : la autoimagen. Y no es un fallo benigno. Las dos imágenes de un 1×2 simétrico caen en $x = \pm W_e/4 = \pm 1.5$ μm, que es donde van las guías de salida; la autoimagen cae en $x = 0$ , en el centro, que es justo donde no hay ninguna — la entrada estaba centrada y la imagen reproduce la entrada. Propagando los veintiún modos de la sección hasta cada longitud, los dos puertos recogen el 79 % de la potencia en $3L_\pi/8$ y prácticamente nada en $3L_\pi/4$ : el dispositivo no deja de dividir, deja de guiar. Es exactamente el error que comete quien copia la fórmula $3L_\pi/4$ creyendo que es la del 1×2, y por eso se ve en el banco como pérdida de inserción y no como un reparto desequilibrado.

Ejercicio 2

Un acoplador direccional en SOI tiene gap = 200 nm y $\kappa = 0.08$ μm⁻¹ a 1550 nm. Si reduces el gap a 180 nm y $\kappa$ aumenta un 30% (por la dependencia exponencial), ¿cuánto cambia la longitud de acoplamiento $L_c$ ? Si querías un divisor 50/50, ¿qué ratio de división obtienes con la longitud original?

Solución

Original: $L_c = \pi/(2 \times 0.08) = 19.6$ μm. Con gap = 180 nm: $\kappa' = 0.104$ μm⁻¹, $L'_c = \pi/(2 \times 0.104) = 15.1$ μm.

Si fabricaste con longitud 9.8 μm (= $L_c/2$ original) pero $\kappa = 0.104$ : $P_2 = \sin^2(0.104 \times 9.8) = \sin^2(1.019) = 0.73$ . Obtienes 73/27 en vez de 50/50. Una variación de 20 nm en el gap destruye el ratio — por eso el MMI es preferido en producción.

Ejercicio 3

Demuestra que la matriz de un acoplador 2×2 sin pérdidas debe ser unitaria. Si $|t|^2 + |\kappa|^2 = 1$ y la relación de fase entre $t$ y $\kappa$ es $\pi/2$ , comprueba que la potencia total de salida ( $|E_3|^2 + |E_4|^2$ ) es igual a la de entrada ( $|E_1|^2 + |E_2|^2$ ) para cualquier entrada arbitraria.

Solución

$|E_3|^2 = |t E_1 + i\kappa E_2|^2 = |t|^2|E_1|^2 + |\kappa|^2|E_2|^2 + 2\,\text{Re}(t \cdot (i\kappa)^* E_1 E_2^*)$ .

$|E_4|^2 = |i\kappa E_1 + t E_2|^2 = |\kappa|^2|E_1|^2 + |t|^2|E_2|^2 + 2\,\text{Re}(i\kappa \cdot t^* E_1 E_2^*)$ .

Los términos cruzados: $t(i\kappa)^* = -i t\kappa^*$ y $i\kappa \cdot t^* = i\kappa t^*$ . Si $t$ y $\kappa$ son reales, la suma de los cruzados es $2\,\text{Re}((-i + i)t\kappa E_1 E_2^*) = 0$ .

Total: $(|t|^2 + |\kappa|^2)(|E_1|^2 + |E_2|^2) = |E_1|^2 + |E_2|^2$ . QED. La fase $\pi/2$ entre los puertos es lo que garantiza la cancelación de los términos cruzados — sin ella, se violaría la conservación de energía.