Óptica no lineal · Artículo 05

Efecto Kerr y solitones

χ⁽³⁾ hace que el índice de refracción dependa de la intensidad. Eso produce automodulación de fase, autoenfoque — y en una fibra óptica, solitones: pulsos que se propagan sin deformarse.

Los artículos anteriores trataron χ⁽²⁾ — generación de frecuencias nuevas en cristales no centrosimétricos. Ahora entramos en χ⁽³⁾, que existe en todos los materiales, incluidos vidrio, agua y aire. El efecto más importante de χ⁽³⁾ es el efecto Kerr óptico: el índice de refracción depende de la intensidad de la luz. Parece modesto, pero sus consecuencias son profundas — desde los pulsos de femtosegundos (M05-06) hasta los solitones en fibra que transportan datos a miles de kilómetros.

n depende de I

El efecto Kerr se resume en una línea:

n=n0+n2In = n_0 + n_2 I

donde n2n_2 es el índice no lineal. En sílice, n2≈2.7×10−20n_2 \approx 2.7 \times 10^{-20} m²/W — diminuto. Pero a intensidades altas o tras kilómetros de fibra, el efecto se acumula.

De χ⁽³⁾ a n₂

El término χ⁽³⁾ de la polarización contribuye un índice efectivo:

n2=1+χ(1)+34χ(3)∣E∣2n^2 = 1 + \chi^{(1)} + \frac{3}{4}\chi^{(3)}|E|^2

Como n=n0+δnn = n_0 + \delta n con δn≪n0\delta n \ll n_0:

δn≈3χ(3)8n0∣E∣2=3χ(3)4n02ε0cI=n2I\delta n \approx \frac{3\chi^{(3)}}{8n_0}|E|^2 = \frac{3\chi^{(3)}}{4n_0^2 \varepsilon_0 c} I = n_2 I

El factor 3/4 viene de promediar los términos de la polarización no lineal que oscilan a la frecuencia original (los que no generan nuevas frecuencias, sino que modifican la propagación).

Automodulación de fase (SPM)

Un pulso que se propaga por un medio Kerr acumula una fase no lineal:

ϕNL(t)=2πλn2I(t)⋅L\phi_{\text{NL}}(t) = \frac{2\pi}{\lambda} n_2 I(t) \cdot L

Como la intensidad varía en el tiempo (es un pulso), la fase varía en el tiempo — y una fase que cambia en el tiempo es una frecuencia instantánea que cambia:

δω(t)=−dϕNLdt∝−dIdt\delta\omega(t) = -\frac{d\phi_{\text{NL}}}{dt} \propto -\frac{dI}{dt}

En el frente de subida (dI/dt>0dI/dt > 0): la frecuencia baja (redshift). En el frente de bajada (dI/dt<0dI/dt < 0): la frecuencia sube (blueshift). El pulso se chirpea — frecuencias rojas delante, azules detrás.

El resultado: el espectro del pulso se ensancha, sin que el pulso se acorte (la duración temporal no cambia con SPM pura). Eso es la SPM. Combinado con compresión temporal (prismas, rejillas, fibra con dispersión anómala), permite acortar pulsos más allá de lo que el ancho de banda original permitiría.

Autoenfoque

Un haz con perfil gaussiano tiene más intensidad en el centro que en los bordes. Con efecto Kerr, el centro «ve» un índice mayor (n0+n2Icentron_0 + n_2 I_{\text{centro}}) que los bordes (≈n0\approx n_0). El perfil de índice actúa como una lente convergente — el haz se autoenfoca.

Si la potencia supera la potencia crítica Pcr≈3.77λ2/(8πn0n2)P_{\text{cr}} \approx 3.77\lambda^2 / (8\pi n_0 n_2), el autoenfoque domina la difracción y el haz colapsa. En sílice a 800 nm: Pcr≈3P_{\text{cr}} \approx 3 MW. Un láser de femtosegundos (GW pico) supera esto fácilmente — es lo que hace posible el Kerr lens mode-locking del Ti:zafiro (M05-06).

Hasta aquí, los efectos de χ⁽³⁾ en un solo punto: el índice local cambia con la intensidad. Ahora añadimos propagación — y cuando la automodulación de fase se encuentra con la dispersión cromática, aparece algo inesperado.

Solitones: el equilibrio perfecto

En una fibra óptica, dos efectos compiten:

En dispersión anómala (β2<0\beta_2 < 0, que en sílice ocurre para λ>1.3\lambda > 1.3 μm), los dos efectos se compensan exactamente: el chirp de SPM (rojo delante, azul detrás) es cancelado por la GVD anómala (rojo más lento, azul más rápido). El pulso se propaga sin deformarse — es un solitón óptico.

La ecuación de Schrödinger no lineal

La propagación de un pulso en una fibra con dispersión y efecto Kerr se describe por la NLSE (ecuación de Schrödinger no lineal):

i∂A∂z+β22∂2A∂t2+γ∣A∣2A=0i\frac{\partial A}{\partial z} + \frac{\beta_2}{2}\frac{\partial^2 A}{\partial t^2} + \gamma |A|^2 A = 0

donde β2\beta_2 es la GVD y γ=n2ω/(cAeff)\gamma = n_2 \omega / (cA_{\text{eff}}) el coeficiente no lineal de la fibra. La solución solitónica fundamental es:

A(z,t)=A0 sech⁡ ⁣(tT0)eiγ∣A0∣2z/2A(z,t) = A_0 \, \operatorname{sech}\!\left(\frac{t}{T_0}\right) e^{i\gamma |A_0|^2 z / 2}

con la condición ∣A0∣2=∣β2∣/(γT02)|A_0|^2 = |\beta_2| / (\gamma T_0^2). El pulso secante hiperbólico se propaga sin cambiar su forma — solo acumula una fase global. Es exactamente el equilibrio entre dispersión (ensancha) y Kerr (comprime).

Explora el equilibrio: cuando Kerr ≈ Dispersión, el pulso mantiene su forma — es el solitón:

Propagación de solitones
Equilibra Kerr ≈ Dispersión para ver el solitón (pulso que no se deforma)

La potencia del solitón fundamental es:

Psol=∣β2∣γT02≈3,11 ∣β2∣γ Δt2P_{\text{sol}} = \frac{|\beta_2|}{\gamma T_0^2} \approx \frac{3{,}11 \, |\beta_2|}{\gamma \, \Delta t^2}

Para una fibra estándar a 1550 nm con un pulso de 1 ps: Psol≈50P_{\text{sol}} \approx 50 mW. Extraordinariamente accesible — los solitones no son un fenómeno exótico. Cada sistema de telecomunicaciones que opera en la ventana de 1550 nm con pulsos cortos está en régimen solitónico.

Ejercicios

Ejercicio 1

Una fibra de sílice tiene n2=2.7×10−20n_2 = 2.7 \times 10^{-20} m²/W y área efectiva Aeff=80A_{\text{eff}} = 80 μm². Un pulso de 100 fs con energía 1 nJ se propaga por la fibra. Calcula la intensidad pico, el cambio de índice Δn=n2I\Delta n = n_2 I, y la fase no lineal acumulada en 1 metro.

Solución

Potencia pico: P=E/Δt=10−9/10−13=104P = E/\Delta t = 10^{-9}/10^{-13} = 10^4 W = 10 kW.

Intensidad: I=P/Aeff=104/(80×10−12)=1.25×1014I = P/A_{\text{eff}} = 10^4/(80 \times 10^{-12}) = 1.25 \times 10^{14} W/m².

Δn=2.7×10−20×1.25×1014=3.4×10−6\Delta n = 2.7 \times 10^{-20} \times 1.25 \times 10^{14} = 3.4 \times 10^{-6}.

Fase NL en 1 m: ϕ=2πΔn/λ=2π×3.4×10−6/(1.55×10−6)≈13.8\phi = 2\pi \Delta n / \lambda = 2\pi \times 3.4 \times 10^{-6} / (1.55 \times 10^{-6}) \approx 13.8 rad ≈ 4.4π. Más de dos ciclos completos de fase no lineal — suficiente para ensanchar el espectro significativamente (SPM) y entrar en régimen solitónico.

Ejercicio 2

La potencia crítica de autoenfoque en sílice a 800 nm es ~3 MW. Un pulso de Ti:zafiro de 10 fs tiene energía 1 nJ. ¿Supera la potencia crítica? ¿Y un pulso de 100 fs con 1 μJ?

Solución

10 fs, 1 nJ: P=10−9/10−14=105P = 10^{-9}/10^{-14} = 10^5 W = 100 kW. No supera 3 MW. Sin autoenfoque catastrófico.

100 fs, 1 μJ: P=10−6/10−13=107P = 10^{-6}/10^{-13} = 10^7 W = 10 MW. Supera 3 MW. Autoenfoque → colapso → daño al material o filamentation. Es el régimen de ablación con femtosegundos.

Ejercicio 3

Para una fibra estándar a 1550 nm: ∣β2∣=20|\beta_2| = 20 ps²/km, γ=1.3\gamma = 1.3 W⁻¹km⁻¹. ¿Cuál es la potencia pico del solitón fundamental para un pulso de 1 ps? ¿Y para 100 fs?

Solución

Psol=∣β2∣/(γT02)P_{\text{sol}} = |\beta_2|/(\gamma T_0^2). Con T0=Δt/1.76T_0 = \Delta t / 1.76 (sech²):

1 ps: T0=0.57T_0 = 0.57 ps. P=20×10−3/(1.3×(0.57)2×10−6)≈47P = 20 \times 10^{-3} / (1.3 \times (0.57)^2 \times 10^{-6}) \approx 47 mW.

100 fs: T0=57T_0 = 57 fs. P=20×10−3/(1.3×(0.057)2×10−6)≈4.7P = 20 \times 10^{-3} / (1.3 \times (0.057)^2 \times 10^{-6}) \approx 4.7 W.

Pulsos más cortos necesitan más potencia (porque la dispersión es más fuerte y necesita más Kerr para compensarla). Un solitón de 1 ps a 50 mW viaja por centenares de km sin deformarse — la base de las telecomunicaciones solitónicas.