Respuesta EM · Artículo 03

De Lindhard a Drude

La susceptibilidad del gas de electrones libres — la función de Lindhard — contiene al modelo de Drude como caso límite. Pero también contiene efectos no locales que Drude ignora y que importan cuando las dimensiones bajan de 5 nm.

En el Módulo 03 presentamos el modelo de Drude como un hecho empírico: un gas de electrones libres con colisiones da ε(ω)=1−ωp2/(ω2+iγω)\varepsilon(\omega) = 1 - \omega_p^2/(\omega^2 + i\gamma\omega). Funciona sorprendentemente bien para metales nobles en el visible. Pero ¿de dónde sale? ¿Cuáles son sus limitaciones? Y cuando falla — en nanopartículas de 2 nm, en gaps subnanométricos — ¿qué lo reemplaza?

La respuesta es la función de Lindhard — la susceptibilidad cuántica exacta del gas de electrones libres. El modelo de Drude es su límite cuando q→0q \to 0 (perturbaciones de longitud de onda larga). Pero a momento finito, Lindhard contiene física que Drude no puede capturar.

Electrones libres: ondas planas

El estado de un electrón libre en una caja de volumen VV es una onda plana:

ψk(r)=1V eik⋅r,Ek=ℏ2k22m\psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = \frac{1}{\sqrt{V}}\,e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}, \qquad E_{\mathbf{k}} = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}

A temperatura cero, los electrones llenan todos los estados con k≤kFk \leq k_F, donde kF=(3π2n)1/3k_F = (3\pi^2 n)^{1/3} es el momento de Fermi. La energía máxima es la energía de Fermi EF=ℏ2kF2/(2m)E_F = \hbar^2 k_F^2/(2m). La distribución de ocupación es la función de Fermi-Dirac f(Ek)f(E_{\mathbf{k}}).

La susceptibilidad de Lindhard

Aplicamos la fórmula general del artículo anterior. Los estados son ondas planas, así que los elementos de matriz de la densidad de carga ρ^q=∑ie−iq⋅ri\hat{\rho}_{\mathbf{q}} = \sum_i e^{-i\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}_i} entre estados ∣k⟩|\mathbf{k}\rangle y ∣k+q⟩|\mathbf{k}+\mathbf{q}\rangle son simplemente 1. El resultado es:

χ0(q,ω)=2V∑kfk−fk+qℏω−(Ek+q−Ek)+iη\chi_0(\mathbf{q}, \omega) = \frac{2}{V}\sum_{\mathbf{k}} \frac{f_{\mathbf{k}} - f_{\mathbf{k}+\mathbf{q}}}{\hbar\omega - (E_{\mathbf{k}+\mathbf{q}} - E_{\mathbf{k}}) + i\eta}

El factor 2 es por el espín. La suma recorre todos los vectores de onda k\mathbf{k}. El numerador fk−fk+qf_{\mathbf{k}} - f_{\mathbf{k}+\mathbf{q}} asegura que solo contribuyen las transiciones desde estados ocupados a estados vacíos (o viceversa).

Evaluación del continuo de excitaciones

Una transición k→k+q\mathbf{k} \to \mathbf{k}+\mathbf{q} tiene energía:

Ek+q−Ek=ℏ22m(2k⋅q+q2)E_{\mathbf{k}+\mathbf{q}} - E_{\mathbf{k}} = \frac{\hbar^2}{2m}(2\mathbf{k}\cdot\mathbf{q} + q^2)

Para un q\mathbf{q} dado, la energía de transición varía continuamente con k\mathbf{k}. El rango de energías accesibles es (para q≤2kFq \leq 2k_F):

ℏ22m(q2−2kFq)≤ℏω≤ℏ22m(q2+2kFq)\frac{\hbar^2}{2m}(q^2 - 2k_F q) \leq \hbar\omega \leq \frac{\hbar^2}{2m}(q^2 + 2k_F q)

Esa región en el plano (q,ω)(q, \omega) es el continuo electrón-hueco. Dentro del continuo, Im[χ0]≠0\text{Im}[\chi_0] \neq 0 — hay absorción por creación de pares electrón-hueco (cada transición k→k+q\mathbf{k} \to \mathbf{k}+\mathbf{q} crea un hueco en k\mathbf{k} y un electrón en k+q\mathbf{k}+\mathbf{q}).

A T=0T = 0, la suma se convierte en integral. La parte imaginaria en 3D es:

Im χ0(q,ω)=−m2ω2πℏ3q(dentro del continuo)\text{Im}\,\chi_0(q, \omega) = -\frac{m^2\omega}{2\pi\hbar^3 q}\quad\text{(dentro del continuo)}

RPA: apantallamiento

La función de Lindhard χ0\chi_0 es la respuesta de electrones que no interactúan entre sí. Pero los electrones se repelen por Coulomb — el potencial que un electrón ve incluye no solo el potencial externo, sino también el campo creado por todos los demás electrones. La RPA (aproximación de fase aleatoria) lo incorpora de forma autoconsistente:

χ(q,ω)=χ0(q,ω)1−v(q) χ0(q,ω)\chi(\mathbf{q}, \omega) = \frac{\chi_0(\mathbf{q}, \omega)}{1 - v(q)\,\chi_0(\mathbf{q}, \omega)}

donde v(q)=4πe2/q2v(q) = 4\pi e^2/q^2 es la transformada de Fourier de la interacción de Coulomb. La función dieléctrica del gas de electrones es:

ε(q,ω)=1−v(q) χ0(q,ω)\varepsilon(\mathbf{q}, \omega) = 1 - v(q)\,\chi_0(\mathbf{q}, \omega)

Los ceros de ε(q,ω)=0\varepsilon(\mathbf{q}, \omega) = 0 son las excitaciones colectivas — los plasmones de volumen. La condición ε=0\varepsilon = 0 significa que el sistema puede sostener una oscilación sin campo externo.

El límite de longitud de onda larga: Drude

Ahora viene lo importante. ¿Qué pasa cuando q→0q \to 0? Las transiciones k→k+q\mathbf{k} \to \mathbf{k} + \mathbf{q} tienen energía ℏω≈ℏ2k⋅q/m→0\hbar\omega \approx \hbar^2 k\cdot q/m \to 0, mucho menor que la frecuencia óptica ω\omega. En este límite:

χ0(q→0,ω)≈nq2mω2\chi_0(q\to 0, \omega) \approx \frac{nq^2}{m\omega^2}

Sustituyendo en ε\varepsilon:

ε(q→0,ω)=1−4πne2mω2=1−ωp2ω2\varepsilon(q\to 0, \omega) = 1 - \frac{4\pi ne^2}{m\omega^2} = 1 - \frac{\omega_p^2}{\omega^2}

Eso es Drude (sin amortiguamiento). Las colisiones se agregan fenomenológicamente reemplazando ω→ω+iγ\omega \to \omega + i\gamma:

ε(ω)=1−ωp2ω(ω+iγ)\varepsilon(\omega) = 1 - \frac{\omega_p^2}{\omega(\omega + i\gamma)}

El modelo de Drude es el límite q=0q = 0 de Lindhard. Es local: no depende de qq, lo que significa que la respuesta en cada punto solo depende del campo en ese mismo punto. Toda la riqueza de la no localidad — el continuo electrón-hueco, el amortiguamiento de Landau, la dispersión del plasmón — desaparece.

Explorar
Frecuencia plasma ω_p (eV) 9.0
Amortiguamiento γ (eV) 0.10
Modelo de Drude: ε(ω) = 1 - ω_p²/(ω² + iγω)
Zona sombreada: Re(ε) < 0 — comportamiento metalico. ω_p marca la transicion.

Más allá de Drude: efectos no locales

A momento finito, la función de Lindhard predice dos cosas que Drude no puede:

  1. Dispersión del plasmón: la frecuencia del plasmón depende de qq: ω(q)≈ωp+3vF210ωpq2+…\omega(q) \approx \omega_p + \frac{3v_F^2}{10\omega_p}q^2 + \ldots donde vF=ℏkF/mv_F = \hbar k_F/m es la velocidad de Fermi. A mayor qq (perturbación más «fina» espacialmente), mayor frecuencia. Drude dice que la frecuencia es siempre ωp\omega_p.
  2. Amortiguamiento de Landau: cuando la curva de dispersión del plasmón entra en el continuo electrón-hueco, el plasmón decae rápidamente en pares electrón-hueco. Esto ocurre a un qq crítico qc∼ωp/vFq_c \sim \omega_p/v_F. El amortiguamiento de Landau no existe en Drude.

¿Cuándo importan estos efectos? La escala espacial de la no localidad es ∼vF/ωp\sim v_F/\omega_p. Para metales nobles, vF∼1.4×106v_F \sim 1.4 \times 10^6 m/s y ωp∼9\omega_p \sim 9 eV, lo que da ∼0.1\sim 0.1 nm. La no localidad importa cuando las dimensiones del sistema son comparables a esa escala — partículas de pocos nanómetros, gaps subnanométricos.

Plasmón de volumen desde ε = 0

La condición de plasmón es ε(q,ω)=0\varepsilon(q, \omega) = 0. A primer orden en qq, expandimos χ0(q,ω)\chi_0(q, \omega) para q≪kFq \ll k_F y ω≫vFq\omega \gg v_F q:

χ0(q,ω)≈nq2mω2(1+3vF2q25ω2+…)\chi_0(q, \omega) \approx \frac{nq^2}{m\omega^2}\left(1 + \frac{3v_F^2 q^2}{5\omega^2} + \ldots\right)

Sustituyendo en ε=1−v(q)χ0=0\varepsilon = 1 - v(q)\chi_0 = 0:

1−ωp2ω2(1+3vF2q25ω2)=01 - \frac{\omega_p^2}{\omega^2}\left(1 + \frac{3v_F^2 q^2}{5\omega^2}\right) = 0

Resolviendo a primer orden en q2q^2:

ω2≈ωp2+35vF2q2\omega^2 \approx \omega_p^2 + \frac{3}{5}v_F^2 q^2

Para q=0q = 0: ω=ωp\omega = \omega_p (Drude). Para q>0q > 0, la frecuencia aumenta. La velocidad de grupo dω/dq∝vFd\omega/dq \propto v_F es del orden de la velocidad de Fermi.

Implicaciones para la nanofotónica

En la práctica, los efectos no locales se manifiestan como:

El modelo más simple que captura la no localidad sin necesidad de la función de Lindhard completa es el modelo hidro-dinámico, que añade un término de presión β2q2\beta^2 q^2 al denominador de Drude: ε(q,ω)=1−ωp2/(ω2−β2q2)\varepsilon(q, \omega) = 1 - \omega_p^2/(\omega^2 - \beta^2 q^2), con β2=3vF2/5\beta^2 = 3v_F^2/5.

Ejercicios

Ejercicio 1

Para oro (n=5.9×1028n = 5.9 \times 10^{28} m⁻³), calcula kFk_F, EFE_F, vFv_F y ωp\omega_p. ¿Cuánto vale la «longitud de no localidad» vF/ωpv_F/\omega_p? Compárala con el radio de una nanopartícula de 5 nm.

Solución
kF=(3π2×5.9×1028)1/3=1.2×1010k_F = (3\pi^2 \times 5.9\times10^{28})^{1/3} = 1.2 \times 10^{10} m⁻¹. EF=ℏ2kF2/(2m)=5.5E_F = \hbar^2 k_F^2/(2m) = 5.5 eV. vF=ℏkF/m=1.4×106v_F = \hbar k_F/m = 1.4 \times 10^6 m/s. ωp=ne2/(ε0m)=1.37×1016\omega_p = \sqrt{ne^2/(\varepsilon_0 m)} = 1.37 \times 10^{16} rad/s (≈ 9 eV). Longitud de no localidad: vF/ωp=1.4×106/(1.37×1016)≈0.1v_F/\omega_p = 1.4\times10^6/(1.37\times10^{16}) \approx 0.1 nm. Para una partícula de 5 nm de diámetro (radio 2.5 nm), esta escala es un 4% del radio — marginal pero no despreciable. Para una partícula de 1 nm, es un 20% del radio — ahí Drude falla.
Ejercicio 2

El plasmón de volumen tiene dispersión ω2=ωp2+(3/5)vF2q2\omega^2 = \omega_p^2 + (3/5)v_F^2 q^2. ¿A qué qq la corrección no local cambia la frecuencia en un 1%? Expresa el resultado en unidades de kFk_F. ¿Es una longitud de onda accesible con luz visible?

Solución
Un cambio del 1% en ω\omega requiere (3/5)vF2q2≈0.02 ωp2(3/5)v_F^2 q^2 \approx 0.02\,\omega_p^2, es decir q≈ωp0.02×5/3/vF≈0.18 ωp/vFq \approx \omega_p\sqrt{0.02\times 5/3}/v_F \approx 0.18\,\omega_p/v_F. Usando ωp/vF≈kF×(ωp/EF)×(ℏ/2)∼0.1 kF\omega_p/v_F \approx k_F \times (\omega_p/E_F)\times(\hbar/2) \sim 0.1\,k_F: q≈0.02 kF∼2×108q \approx 0.02\,k_F \sim 2 \times 10^8 m⁻¹. La longitud de onda correspondiente es 2π/q≈302\pi/q \approx 30 nm — mucho menor que la luz visible (~500 nm). La luz tiene q≈107q \approx 10^7 m⁻¹, así que la corrección no local a qq óptico es irrelevante. Solo técnicas con alto momento (EELS, nano-gaps) la revelan.