Respuesta EM · Artículo 04

Causalidad y Kramers-Kronig

La parte real y la parte imaginaria de cualquier función de respuesta no son independientes: la causalidad las enlaza. Si conoces la absorción a todas las frecuencias, puedes calcular la refracción — y viceversa.

Hay una restricción profunda que toda función de respuesta física debe satisfacer: la causa precede al efecto. No puedes tener polarización antes de que llegue el campo. Esta restricción — la causalidad — parece obvia. Pero sus consecuencias matemáticas son sorprendentemente poderosas: conectan la parte real y la parte imaginaria de la respuesta, la refracción con la absorción, la dispersión con la disipación.

Causalidad en el dominio temporal

La relación entre el campo aplicado y la polarización inducida, en el dominio temporal, es una convolución:

P(t)=ε0∫−∞∞dt′  χ(t−t′) E(t′)P(t) = \varepsilon_0 \int_{-\infty}^{\infty} dt'\; \chi(t - t')\, E(t')

La función de respuesta temporal χ(t)\chi(t) describe cómo el sistema responde a un pulso instantáneo de campo. Causalidad exige:

χ(t)=0para t<0\chi(t) = 0 \quad \text{para } t < 0

No puede haber respuesta antes de que llegue la perturbación. Esto es tan fundamental que cualquier modelo que lo viole — no importa cuán sofisticado sea — está mal.

De causalidad a analiticidad

La transformada de Fourier de χ(t)\chi(t) es:

χ(ω)=∫0∞dt  χ(t) eiωt\chi(\omega) = \int_0^{\infty} dt\; \chi(t)\, e^{i\omega t}

La integral empieza en 0 (no en −∞-\infty) porque χ(t)=0\chi(t) = 0 para t<0t < 0. Ahora, consideremos ω\omega como una variable compleja: ω=ω′+iω′′\omega = \omega' + i\omega''. El integrando contiene eiωt=eiω′te−ω′′te^{i\omega t} = e^{i\omega't}e^{-\omega''t}. Si ω′′>0\omega'' > 0 (semiplano superior), el factor e−ω′′te^{-\omega''t} decae exponencialmente para t>0t > 0 — la integral converge mejor, no peor.

Resultado: χ(ω)\chi(\omega) es una función analítica en el semiplano superior del plano complejo ω\omega. No tiene polos allí — todos los polos de χ(ω)\chi(\omega) están en el semiplano inferior (o sobre el eje real). Esto es pura consecuencia de la causalidad.

Las relaciones de Kramers-Kronig

La analiticidad en el semiplano superior implica, por el teorema integral de Cauchy, que el valor de χ(ω)\chi(\omega) en el eje real está completamente determinado por una integral sobre el propio eje real:

Derivación de Kramers-Kronig

Consideramos la integral de contorno:

∮Cχ(ω′)ω′−ω dω′=0\oint_C \frac{\chi(\omega')}{\omega' - \omega}\,d\omega' = 0

donde CC es un contorno que recorre el eje real (evitando el polo ω′=ω\omega' = \omega por un semicírculo inferior de radio ϵ\epsilon) y cierra con un semicírculo en el semiplano superior. La integral es cero porque χ\chi es analítica dentro del contorno.

Suponiendo que χ(ω)→0\chi(\omega) \to 0 cuando ∣ω∣→∞|\omega| \to \infty (la materia no puede responder a frecuencias infinitas), la contribución del semicírculo grande se anula. El semicírculo pequeño alrededor de ω\omega da −iπχ(ω)-i\pi\chi(\omega) (residuo). El eje real da el valor principal de Cauchy P ⁣∫\mathcal{P}\!\int:

P ⁣∫−∞∞χ(ω′)ω′−ω dω′−iπχ(ω)=0\mathcal{P}\!\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\chi(\omega')}{\omega' - \omega}\,d\omega' - i\pi\chi(\omega) = 0

Separando parte real e imaginaria de χ=χ′+iχ′′\chi = \chi' + i\chi'':

χ′(ω)=1πP ⁣∫−∞∞χ′′(ω′)ω′−ω dω′\chi'(\omega) = \frac{1}{\pi}\mathcal{P}\!\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\chi''(\omega')}{\omega' - \omega}\,d\omega'
χ′′(ω)=−1πP ⁣∫−∞∞χ′(ω′)ω′−ω dω′\chi''(\omega) = -\frac{1}{\pi}\mathcal{P}\!\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\chi'(\omega')}{\omega' - \omega}\,d\omega'

Estas son las relaciones de Kramers-Kronig. La parte real es la transformada de Hilbert de la parte imaginaria, y viceversa.

Las relaciones de Kramers-Kronig son:

χ′(ω)=1π P ⁣∫−∞∞χ′′(ω′)ω′−ω dω′\chi'(\omega) = \frac{1}{\pi}\,\mathcal{P}\!\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\chi''(\omega')}{\omega' - \omega}\,d\omega'
χ′′(ω)=−1π P ⁣∫−∞∞χ′(ω′)ω′−ω dω′\chi''(\omega) = -\frac{1}{\pi}\,\mathcal{P}\!\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\chi'(\omega')}{\omega' - \omega}\,d\omega'

Significado: si conoces χ′′(ω)\chi''(\omega) (la absorción) a todas las frecuencias, puedes calcular χ′(ω)\chi'(\omega) (la refracción) a cualquier frecuencia. Y al revés. No son independientes — la causalidad los enlaza.

Aplicación a ε(ω)

Para la permitividad ε(ω)=1+χ(ω)\varepsilon(\omega) = 1 + \chi(\omega), las relaciones se escriben (usando que ε−1→0\varepsilon - 1 \to 0 cuando ω→∞\omega \to \infty):

Re ε(ω)−1=2π P ⁣∫0∞ω′ Im ε(ω′)ω′2−ω2 dω′\text{Re}\,\varepsilon(\omega) - 1 = \frac{2}{\pi}\,\mathcal{P}\!\int_0^{\infty}\frac{\omega'\,\text{Im}\,\varepsilon(\omega')}{\omega'^2 - \omega^2}\,d\omega'
Im ε(ω)=−2ωπ P ⁣∫0∞Re ε(ω′)−1ω′2−ω2 dω′\text{Im}\,\varepsilon(\omega) = -\frac{2\omega}{\pi}\,\mathcal{P}\!\int_0^{\infty}\frac{\text{Re}\,\varepsilon(\omega') - 1}{\omega'^2 - \omega^2}\,d\omega'

Hemos usado la simetría ε(−ω)=ε∗(ω)\varepsilon(-\omega) = \varepsilon^*(\omega) (que viene de que los campos son reales en el dominio temporal) para convertir la integral de −∞-\infty a +∞+\infty en una integral de 0 a ∞\infty.

Explorar
Resonancia ω₀ (eV) 3.0
Fuerza f 2.0
Amortiguamiento γ (eV) 0.30
Kramers-Kronig: Re y Im de ε(ω) — oscilador lorentziano
Donde Im(ε) tiene su pico (absorción), Re(ε) cruza su valor medio — las dos partes están enlazadas por causalidad.

Verificación: el modelo de Drude

Comprobemos con el modelo de Drude ε(ω)=1−ωp2/(ω2+iγω)\varepsilon(\omega) = 1 - \omega_p^2/(\omega^2 + i\gamma\omega):

Re ε=1−ωp2(ω2−γ2)ω2(ω2+γ2),Im ε=ωp2γω(ω2+γ2)\text{Re}\,\varepsilon = 1 - \frac{\omega_p^2(\omega^2 - \gamma^2)}{\omega^2(\omega^2 + \gamma^2)}, \qquad \text{Im}\,\varepsilon = \frac{\omega_p^2\gamma}{\omega(\omega^2 + \gamma^2)}

La parte imaginaria es un pico centrado en ω=0\omega = 0 con ancho γ\gamma. ¿Satisface Kramers-Kronig? Sí, porque el modelo de Drude tiene un polo en ω=−iγ\omega = -i\gamma (semiplano inferior) y otro en ω=0\omega = 0 (eje real), pero ninguno en el semiplano superior. Es automáticamente causal.

Consecuencia práctica: si mides Im(ε) del oro a todas las frecuencias (espectro de absorción), puedes calcular Re(ε) sin ninguna medida adicional. Esto es lo que hacen los grupos experimentales: miden la absorción óptica con un espectrofotómetro y obtienen la parte real por Kramers-Kronig.

Significado físico: absorción determina refracción

La relación entre absorción y refracción no es una coincidencia matemática. Es física:

Kramers-Kronig como test de consistencia

Las relaciones de Kramers-Kronig son un test de consistencia para datos ópticos:

Ejercicios

Ejercicio 1

Para el modelo de Drude sin amortiguamiento (γ=0\gamma = 0), ε(ω)=1−ωp2/ω2\varepsilon(\omega) = 1 - \omega_p^2/\omega^2 es puramente real. ¿Cómo es posible que satisfaga Kramers-Kronig si Im(ε) = 0 para todo ω≠0\omega \neq 0? Pista: ¿qué pasa en ω=0\omega = 0?

Solución
Cuando γ→0\gamma \to 0, Im ε\text{Im}\,\varepsilon no se anula en ω=0\omega = 0 — se convierte en una delta de Dirac: Im ε→(πωp2/2) δ(ω)\text{Im}\,\varepsilon \to (\pi\omega_p^2/2)\,\delta(\omega). Esa delta infinitamente estrecha e infinitamente alta en ω=0\omega = 0 es la que genera toda la parte real 1−ωp2/ω21 - \omega_p^2/\omega^2 a través de Kramers-Kronig. Físicamente, corresponde a una conductividad DC perfecta (sin colisiones, el metal es un conductor perfecto a frecuencia cero).
Ejercicio 2

Un material tiene una única línea de absorción lorentziana centrada en ω0=3\omega_0 = 3 eV con ancho γ=0.1\gamma = 0.1 eV y fuerza A=2A = 2 eV²: Im ε(ω)=Aγω/[(ω02−ω2)2+γ2ω2]\text{Im}\,\varepsilon(\omega) = A\gamma\omega/[(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + \gamma^2\omega^2]. Sin hacer la integral de Kramers-Kronig, predice cualitativamente el comportamiento de Re(ε) cerca de ω0\omega_0: ¿crece o decrece al acercarse desde abajo? ¿Y desde arriba?

Solución
Kramers-Kronig dice que Re(ε) es la transformada de Hilbert de Im(ε). Para una absorción lorentziana, la parte real tiene la forma de la derivada de la lorentziana (antisimétrica alrededor de ω0\omega_0): crece al acercarse desde abajo (ω<ω0\omega < \omega_0), alcanza un máximo justo antes de ω0\omega_0, cruza por el valor medio en ω0\omega_0, y cae a un mínimo justo después. Es la dispersión anómala clásica. El índice de refracción disminuye con la frecuencia en la banda de absorción — al revés de lo habitual.
Ejercicio 3

Un colega propone un modelo de permitividad para un nuevo material: ε(ω)=2+3i/ω\varepsilon(\omega) = 2 + 3i/\omega para ω>0\omega > 0. ¿Satisface Kramers-Kronig? Si no, ¿qué falla?

Solución
No satisface Kramers-Kronig. Re(ε) = 2 es constante, pero Im(ε) = 3/ω ≠ 0. Si hubiera absorción (Im ≠ 0), Re debería tener estructura — no puede ser plano. Además, ε−1=1+3i/ω\varepsilon - 1 = 1 + 3i/\omega no tiende a 0 cuando ω→∞\omega \to \infty (Re → 2, no → 1), violando el comportamiento asintótico requerido. El modelo no es causal — no puede representar un material real.