Dificultad ●○○–●●●, pistas sin soluciones cerradas. La brújula del curso, en tres avisos y una trampa. Primero, el número V se escribe en la guía plana y en la fibra, y las dos fórmulas son la misma —π por el tamaño transversal completo— porque es un grosor y un radio. Meter el radio donde la fórmula pide el grosor divide V por dos y convierte una guía de cuatro modos en una monomodo sin que nada chirríe. Lo que sí cambia entre las dos geometrías son los cortes: π/2 en la plana, 2,405 en la fibra. Segundo, los decibelios son logarítmicos y son de potencia: 0,18 dB/km durante 100 km son 18 dB, y 18 dB no es perder el 18 % sino quedarse con el 1,6 %. Y tercero, el error que más veces se comete en este tema: el modo de orden superior tiene el más bajo, luego la velocidad de fase más alta —y llega el último, porque quien fija la llegada es la velocidad de grupo y el rayo oblicuo recorre más camino. Velocidad de fase alta y velocidad de grupo baja, las dos a la vez, sin contradicción. Quien encadene «más rápido, luego antes» sale con el signo del retardo invertido y no lo nota, porque casi todos los enunciados piden un valor absoluto.
Una fibra recibe luz por su cara plana, desde el aire. (a) Demuestra que un rayo que entra formando un ángulo θa con el eje queda guiado sólo si sen θa ≤ NA, con NA = √(n₁² − n₂²) — la misma apertura numérica del artículo 02, que aquí resulta ser literalmente el seno de un ángulo. (b) Calcula ese semiángulo de aceptación para la SMF-28 (NA = 0,12) y para una fibra de plástico de núcleo de PMMA (n₁ = 1,492) con revestimiento fluorado (n₂ = 1,402). (c) Un LED emite como un radiador lambertiano, y de una fuente así la fracción de potencia que cae dentro de un cono de semiángulo θa es sen²θa. ¿Qué fracción acopla cada una de las dos fibras? ¿Por qué las tiras de fibra plástica de un coche o de una máquina recreativa se iluminan con LED y las de telecomunicaciones no?
Pista
El camino. Snell en la cara plana y reflexión total interna en la pared: dos ángulos y una identidad.
La trampa. El ángulo que ve la pared no es el que da Snell, es su complementario. Dibújalo.
La comprobación cruzada. La razón entre las dos fracciones acopladas debe ser el cuadrado de la razón de NA.
En una guía plana de vidrio (n₁ = 1,50, n₂ = 1,45) a 1550 nm, un rayo guiado incide sobre la pared del núcleo a 80° de la normal. (a) Calcula la constante de decaimiento evanescente γ = k₀√(neff² − n₂²), con neff = n₁ sen θ, y la profundidad de penetración 1/γ. (b) Repite con un rayo a 76°, casi en el ángulo crítico. ¿Qué le pasa a la cola evanescente cuando el rayo se acerca al corte? (c) El revestimiento de una fibra real mide 125 μm de diámetro y su núcleo 8,2 μm, así que hay 58,4 μm de vidrio entre el borde del núcleo y el exterior. ¿Cuántas profundidades de penetración son? ¿Está ese diámetro elegido por razones ópticas?
Pista
El camino. Convierte el ángulo en neff = n₁ sen θ, mete eso en γ y la profundidad es 1/γ.
La trampa. A 76° estás a menos de un grado del corte: la resta neff² − n₂² pierde casi todas sus cifras, así que arrastra decimales de más.
La comprobación cruzada. Si la cola se acorta al bajar de 80° a 76°, tienes los índices cambiados: acercarse al corte desconfina.
Una guía plana simétrica tiene n₁ = 1,50, n₂ = 1,45 y un núcleo de d = 3 μm, y se ilumina a 1550 nm. (a) Calcula NA y V, y di cuántos modos TE caben. (b) Resuelve la ecuación trascendente del artículo 02 para cada uno de ellos — para el simétrico, para el antisimétrico, con — y obtén el índice efectivo de cada modo. Recuerda que u = κd/2 y w = γd/2. (c) Compara la diferencia real de índices efectivos con la estimación rápida NA²/(2n) que usa el ejercicio 3 del artículo 02, y calcula el retardo intermodal en 1 km de guía.
Pista
El camino. Acota u: (0, π/2) el simétrico, (π/2, π) el antisimétrico. En cada intervalo hay un cambio de signo y bastan seis bisecciones.
La trampa. V lleva el grosor d entero, pero u = κd/2 y w = γd/2 llevan la mitad: mezclarlos te borra un modo.
La comprobación cruzada. Calcula cada neff por los dos lados, desde el núcleo y desde el revestimiento: tienen que coincidir hasta el último decimal.
En una plataforma de silicio sobre aislante mides dos acopladores direccionales idénticos salvo por el hueco entre guías. Con un hueco de 200 nm, la potencia se transfiere por completo a la segunda guía en 25 μm; con 300 nm, en 78 μm. (a) Obtén κ en cada caso y, sabiendo que κ ∝ e−γd, ajusta γ y la profundidad de penetración del campo evanescente. Compárala con el valor que declara el artículo 04 para guías SOI. (b) Diseña un divisor 3 dB con hueco de 200 nm: ¿qué longitud tiene? (c) La litografía deja el hueco con una tolerancia de ±20 nm. ¿En qué se convierte el reparto 50/50? Exprésalo en decibelios de desequilibrio.
Pista
El camino. Transferencia completa es z = π/(2κ): cada longitud medida te da un κ, y dos κ con κ ∝ e−γd dan γ.
La trampa. Los ±20 nm no dan un desequilibrio simétrico: la exponencial mueve el reparto más hacia un lado que hacia el otro. Calcula los dos signos.
La comprobación cruzada. Tu 1/γ debe salir del orden de la cola evanescente del artículo 04; si sale en micras, has mezclado nm con μm.
Un cable de 6400 km cruza el Atlántico con fibra SMF-28 a 1550 nm (0,18 dB/km, D = 17 ps/(nm·km)) y un amplificador de erbio cada 80 km. (a) ¿Cuántos amplificadores en línea lleva, y cuánta pérdida acumularía la señal si no estuvieran? (b) Calcula la dispersión acumulada de todo el enlace. Para una señal a 10 Gbit/s, la anchura espectral mínima que puede tener el canal es la que impone su propia modulación, Δλ = λ²·(tasa de símbolo)/c; con ella, ¿cuánto se ensancha un pulso, y cuántas ranuras de bit ocupa el ensanchamiento? (c) La solución de manual es intercalar fibra compensadora de dispersión, con D = −100 ps/(nm·km). ¿Cuánta hace falta? ¿Es razonable? (d) Si no lo es, ¿qué se hace hoy?
Pista
El camino. Todo es una cadena de productos: L/80, 0,18·L, D·L, y el ensanchamiento es D·L por el Δλ que impone la propia modulación.
La trampa. 80 tramos no son 80 amplificadores en línea: el último acaba en el receptor. Cuenta vallas, no postes.
La comprobación cruzada. Si la fibra compensadora te sale más larga que el propio cable, has invertido el cociente de dispersiones.
Vuelve al acoplador desajustado del ejercicio 2 del artículo 04: κ = 0,5 mm⁻¹ y Δβ = 1,0 mm⁻¹, con transferencia máxima del 50 %. Un ingeniero propone usarlo tal cual como divisor 3 dB: «si sólo pasa la mitad, ya está repartida». (a) Con y , ¿a qué longitud hay que cortarlo, y cómo se compara con la del acoplador ideal? (b) Compara la sensibilidad de los dos diseños a un error del 1 % en la longitud. ¿Cuál gana, y por qué? (c) Ahora comete un error del 10 % en Δβ. ¿Qué le pasa a cada uno? (d) ¿Tenía razón el ingeniero?
Pista
El camino. Escribe P₂(z), localiza el punto de corte de cada diseño y estudia la derivada ahí: toda la comparación está en la pendiente.
La trampa. Δβ entra en S como Δβ/2, no como Δβ; olvidar el medio te cambia S y con ella la longitud de corte.
La comprobación cruzada. Tu κ²/S² tiene que dar exactamente el 50 % de transferencia máxima que declara el enunciado. Si no, S está mal.
Fin del curso 04. Con esto sabes dimensionar una guía de verdad: contar sus modos, resolver la ecuación trascendente que da sus índices efectivos, medir hasta dónde llega su campo evanescente, calcular cuánta luz entra por su punta, diseñar un acoplador y —lo que casi nunca se enseña— decir a qué error de fabricación es sensible cada cosa. Lo que falta es todo lo demás del canal: nada de este curso dice de dónde sale la luz que entra por la fibra. Y no es un detalle de ingeniería, porque el problema 1 te habrá dejado midiendo qué parte de un LED lambertiano se queda fuera de una fibra monomodo: hace falta una fuente que ya nazca dentro del cono, coherente, estrecha en espectro y direccional. El curso 05 la construye desde los coeficientes A y B de Einstein —inversión de población, cavidad, umbral, haces gaussianos— y con ella se puede por fin cerrar un enlace entero. El reencuentro está garantizado: la condición de fase de ida y vuelta que aquí daba los modos transversales dará allí los longitudinales, el diodo DFB que ilumina cada fibra del planeta es una guía de onda con una rejilla dentro, y los supermodos y el acoplador direccional del artículo 04 vuelven, ya montados sobre un chip, en el curso 07.