La aproximación paraxial y las matrices ABCD

A 10° de inclinación, $\sin\theta$ y $\theta$ se diferencian en el 0,51 %. A 20°, en el 2,06 %. A 30°, en el 4,72 %. Toda la óptica que se enseña en primero —la lente delgada, la ecuación del fabricante, el aumento— vive dentro de ese error, y no porque nadie sepa hacerlo mejor: porque al cortar el seno por su primer término, la óptica deja de ser trigonometría y pasa a ser álgebra lineal. Ese cambio es lo que permite describir un objetivo de dieciocho lentes con cuatro números.

Prerrequisitos: ninguno de este sitio. Éste es el curso más elemental de Fotonario y es el último que se ha escrito, así que se puede leer el primero y sin haber tocado nada más: basta con la ley de Snell y saber multiplicar matrices 2×2. Lo que sí conviene saber es que llega tarde a propósito: cada concepto que se construye aquí tiene ya escrito en el sitio el artículo ondulatorio que lo corrige, y se enlaza al llegar.

Qué se rompe exactamente al escribir sen θ ≈ θ

La ley de Snell, $n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2$ , es no lineal: si un rayo llega con el doble de inclinación, no sale con el doble. Eso basta para que no exista una «superposición de rayos» y para que dos sistemas ópticos en serie no se puedan describir componiendo dos operaciones sencillas. La aproximación paraxial consiste en quedarse con el primer término del desarrollo,

\sin\theta = \theta - \frac{\theta^3}{6} + \frac{\theta^5}{120} - \cdots \;\longrightarrow\; \sin\theta \approx \theta

y con eso Snell se convierte en $n_1\theta_1 = n_2\theta_2$ , que sí es lineal. El error relativo que se comete es $\theta^2/6$ con $\theta$ en radianes — la trampa clásica: en grados sale 3283 veces mayor —, y se puede tabular de una vez:

Ángulo	Error de sen θ ≈ θ	Error de tan θ ≈ θ
1°	+0,005 %	−0,010 %
5°	+0,127 %	−0,254 %
10°	+0,510 %	−1,017 %
20°	+2,06 %	−4,10 %
30°	+4,72 %	−9,31 %
45°	+11,07 %	−21,46 %

Que la tangente falle el doble que el seno no es casualidad: su tercer término es $+\theta^3/3$ en vez de $-\theta^3/6$ , y en la aproximación paraxial los dos se sustituyen por lo mismo, $\theta$ . Eso es justo lo que permite escribir la pendiente de un rayo y su ángulo con el mismo símbolo, y es de donde salen la mitad de las contradicciones cuando alguien intenta usar fórmulas paraxiales con ángulos grandes.

Es el mismo corte de Taylor que produce la difracción de Fresnel. En Óptica de Fourier 02b el paso decisivo es sustituir el camino exacto $\sqrt{z^2+\rho^2}$ por su parábola $z + \rho^2/2z$ . Es la misma operación con otra ropa: allí se linealiza la fase y aquí el ángulo. Con $z = 100$ mm y $\rho = 5$ mm la diferencia de camino es de 78,0 nm, o sea 0,142 λ a 550 nm: irrelevante para trazar un rayo y perfectamente medible en un interferómetro. Ésa es, en una frase, la diferencia entre este curso y el de Fourier — el mismo desarrollo, cortado por el mismo sitio, juzgado con dos varas distintas.

Un rayo son dos números

En un sistema con simetría de revolución y en el plano meridional, un rayo paraxial queda descrito por su altura sobre el eje y su inclinación. Se agrupan en un vector de rayo:

\mathbf{r} = \begin{pmatrix} y \\ u \end{pmatrix}, \qquad u \equiv \tan\theta \approx \theta

Con esas dos coordenadas, cualquier elemento óptico es una aplicación lineal, es decir una matriz ABCD:

\begin{pmatrix} y_2 \\ u_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}\begin{pmatrix} y_1 \\ u_1 \end{pmatrix}

Los cuatro elementos tienen nombre y significado, y conviene fijarlos ahora porque volverán en todos los artículos: $A$ es el aumento transversal cuando $B = 0$ ; $B$ es lo que un rayo se desplaza por venir inclinado; $C$ es menos la potencia del sistema; y $D$ es el aumento angular cuando $C = 0$ . Mueve los mandos del banco y mira cómo cambian los cuatro:

Banco paraxial: dos lentes y su matriz

Objeto s 150 mm

Focal f₁ 100 mm

Separación d 120 mm

Focal f₂ 60 mm

Rayos paraxiales: todo son rectas

M = [ -0.200 120.00 ; -6.667e-3 -1.000 ] · det M = 1.000000

Focal efectiva 150.00 mm. Con el objeto a 150 mm, la imagen se forma a 45.0 mm de L2 y el aumento es -0.500. Aumento negativo: la imagen está invertida. det M = 1.0000, que tiene que valer 1 exactamente porque entra y sale en aire — es la comprobación más barata que existe.

Los tres ladrillos

Propagación libre

Recorrer una distancia $d$ en un medio homogéneo no cambia la inclinación y suma $d\,u$ a la altura. La matriz de propagación es

\mathsf{T}(d) = \begin{pmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Aquí ya hay una lección: propagar no es una operación trivial, es la única que mezcla las dos coordenadas. Sin propagación no habría óptica; con ella, un haz que sale con una distribución de ángulos acaba con una distribución de posiciones. Es exactamente el mismo papel que juega la propagación en el espectro angular, donde también es lo que convierte ángulos en posiciones.

Refracción en una superficie esférica

Es el ladrillo real: todas las lentes están hechas de esto. Una superficie de radio $R$ —positivo si el centro de curvatura queda a la derecha— separa dos medios $n_1$ y $n_2$ . Aplicando Snell paraxial en el punto de incidencia sale la matriz de refracción:

\mathsf{R} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -\dfrac{P}{n_2} & \dfrac{n_1}{n_2} \end{pmatrix}, \qquad P \equiv \frac{n_2-n_1}{R}

De dónde sale, en cuatro líneas

Sea un rayo que llega a la superficie a altura $y$ con inclinación $u_1$ . La normal a la esfera en ese punto forma con el eje un ángulo $\alpha \approx y/R$ (paraxial). Los ángulos de incidencia y refracción respecto a la normal son $\theta_1 = u_1 - \alpha$ y $\theta_2 = u_2 - \alpha$ , con el signo tomado de manera que ambos crezcan hacia arriba. Snell paraxial dice $n_1\theta_1 = n_2\theta_2$ , luego

n_2\left(u_2 - \frac{y}{R}\right) = n_1\left(u_1 - \frac{y}{R}\right) \;\Longrightarrow\; u_2 = \frac{n_1}{n_2}u_1 - \frac{n_2-n_1}{n_2 R}\,y

y la altura no cambia, porque en la aproximación paraxial la superficie es un plano: la flecha de la esfera es $y^2/2R$ , de segundo orden. Ésa es la segunda linealización escondida en el método, y la que se paga en el artículo 04.

La cantidad $P = (n_2-n_1)/R$ es la potencia óptica de la superficie, en dioptrías si $R$ va en metros. Nótese que una superficie plana también refracta: con $R\to\infty$ queda $P = 0$ y la matriz es $\mathrm{diag}(1,\,n_1/n_2)$ , que no cambia la altura pero sí el ángulo. De ahí sale medio artículo 01 de cualquier libro de microscopía.

La lente delgada

Una lente delgada es dos superficies pegadas: el espesor se toma como cero y las dos matrices de refracción se multiplican sin propagación entre ellas. Con $n_1 = 1$ , vidrio $n$ y salida a aire:

\mathsf{L} = \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \dfrac{n-1}{R_2} & n \end{pmatrix}}_{\text{salida al aire}}\underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -\dfrac{n-1}{n R_1} & \dfrac{1}{n} \end{pmatrix}}_{\text{entrada al vidrio}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -(n-1)\left(\dfrac{1}{R_1}-\dfrac{1}{R_2}\right) & 1 \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1/f & 1 \end{pmatrix}

El $n$ se ha cancelado en la diagonal —entrar y salir del vidrio son operaciones inversas— y lo que queda en $C$ es la ecuación del constructor de lentes, deducida y no recordada:

\frac{1}{f} = (n-1)\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)

Comprobación con números reales: N-BK7 tiene $n = 1{,}51680$ a 587,6 nm (calculado con la ecuación de Sellmeier, no copiado del catálogo). Una biconvexa simétrica con $R_1 = +50$ mm y $R_2 = -50$ mm da $f = 1/(0{,}5168\times0{,}04) = 48{,}37$ mm. Guárdese ese número: en el artículo 02 se verá que la lente de verdad, con sus 5 mm de espesor, tiene 49,21 mm.

Componer: el producto, y en qué orden

Aquí está el motivo de todo el formalismo. Un sistema de $N$ elementos se describe multiplicando sus matrices, y el elemento que la luz atraviesa el último va a la izquierda:

\mathsf{M} = \mathsf{M}_N \cdots \mathsf{M}_2\,\mathsf{M}_1

Es exactamente el mismo convenio que el cálculo de Jones del curso 10, y por la misma razón: son operadores actuando sobre un vector de estado por la izquierda. Quien tenga interiorizado uno tiene interiorizado el otro. Y como allí, no conmutan: una lente y luego 100 mm de aire no es lo mismo que 100 mm de aire y luego la lente.

El determinante, que es el control de calidad más barato que existe. Con el convenio $(y,u)$ de este curso,

\det \mathsf{M} = AD - BC = \frac{n_{\text{entrada}}}{n_{\text{salida}}}

y en particular vale exactamente 1 para cualquier sistema que empiece y acabe en aire, tenga las lentes que tenga. Se comprueba en dos segundos y caza el 90 % de los errores de signo. Compruébalo: la matriz de propagación tiene determinante 1; la de refracción, $n_1/n_2$ ; el producto de una lente entera, $(1/n)(n/1) = 1$ . El banco de arriba lo imprime en cada movimiento de un mando, y si alguna vez no sale 1, el error está en el fuente y no en el mando.

Dónde está la imagen, y cuánto vale

Con la matriz completa $\mathsf{M}$ desde el plano objeto hasta un plano cualquiera, la altura de salida es $y_2 = A y_1 + B u_1$ . Que se forme imagen significa que todos los rayos que salen de un punto del objeto —o sea, todos los $u_1$ — llegan al mismo sitio. Es decir:

\boxed{B = 0} \quad\Longrightarrow\quad y_2 = A\,y_1, \quad m = A

Un plano imagen es un plano donde $B$ se anula, y el aumento transversal es $A$ , sin más. De ahí sale la ley de las lentes por álgebra: componiendo $\mathsf{T}(s')\,\mathsf{L}(f)\,\mathsf{T}(s)$ e imponiendo $B = 0$ aparece $1/s + 1/s' = 1/f$ , y el aumento sale $-s'/s$ sin que haya que dibujar un solo rayo notable. Comprobado para $f = 50$ mm: con $s = 75$ mm sale $s' = 150$ mm y $m = -2{,}000$ ; con $s = 200$ mm, $s' = 66{,}67$ mm y $m = -0{,}333$ .

Ejemplo resuelto 1 · Por qué un cubreobjetos desenfoca un microscopio

Problema. Entre el objetivo y la muestra hay un cubreobjetos del nº 1.5: $t = 170$ µm de vidrio D 263 M, $n = 1{,}5255$ a 546 nm. ¿Qué le hace al enfoque? ¿Y cuánto vale ese efecto comparado con la profundidad de foco de un objetivo seco de $\mathrm{NA} = 0{,}75$ ?

Solución. La lámina son tres elementos: refracción en una cara plana, propagación dentro del vidrio, refracción en la otra. Con el convenio de composición:

\mathsf{M} = \begin{pmatrix}1&0\\0&n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&1/n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & t/n \\ 0 & 1\end{pmatrix}

El resultado es otra vez una matriz de propagación, pero de longitud $t/n$ en vez de $t$ : la lámina no tiene potencia (su $C$ es cero) y lo único que hace es acortar el camino óptico aparente. Como ocupa $t$ de espacio físico pero se comporta como $t/n$ de aire, el plano conjugado se desplaza

\Delta = t\left(1 - \frac{1}{n}\right) = 170\,\mu\mathrm{m}\times(1 - 0{,}6555) = 58{,}6\ \mu\mathrm{m}

La profundidad de foco por difracción de un 0,75 NA es $\lambda/\mathrm{NA}^2 = 0{,}978$

Resultado. El desplazamiento vale 60 profundidades de foco. No es «un pequeño desenfoque»: es estar completamente fuera. Y explica dos cosas del laboratorio de verdad. La primera, por qué los objetivos serios llevan grabado 0.17 — están diseñados con la lámina puesta, y usarlos sin ella es tan malo como usarla con un cubre del nº 1 (150 µm), que deja 6,9 µm de error residual, siete profundidades de foco. La segunda, por qué existe el anillo de corrección: para NA alta hay que compensar activamente un trozo de vidrio de una décima de milímetro. Nótese además lo que no ocurre: la lámina no cambia el aumento ( $A = 1$ ) ni la potencia ( $C = 0$ ). Sólo mueve el plano.

Ejemplo resuelto 2 · El relé 4f, en una línea de álgebra

Problema. El sistema 4f del curso de Fourier son dos lentes de focales $f_1$ y $f_2$ separadas $f_1+f_2$ , con el objeto en el plano focal anterior de la primera y la imagen en el focal posterior de la segunda. Calcula su matriz completa con $f_1 = 100$ mm y $f_2 = 200$ mm, y di qué significa cada elemento.

Solución. Cinco factores, el último a la izquierda: $\mathsf{M} = \mathsf{T}(f_2)\,\mathsf{L}(f_2)\,\mathsf{T}(f_1+f_2)\,\mathsf{L}(f_1)\,\mathsf{T}(f_1)$ . Multiplicando:

\mathsf{M} = \begin{pmatrix} -f_2/f_1 & 0 \\ 0 & -f_1/f_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -0{,}5 \end{pmatrix}

$B = 0$ , luego hay imagen, con aumento $m = A = -f_2/f_1 = -2$ . $C = 0$ , luego el sistema es afocal: no tiene focal. Y $\det = AD = 1$ , como debe ser.

Resultado. Lo que hay que llevarse no es el −2: es que $B$ y $C$ se anulan a la vez, y eso es rarísimo. $B = 0$ dice que hay imagen; $C = 0$ dice que el aumento no depende de dónde esté el objeto, porque no hay potencia que lo haga depender. Un 4f es la única configuración de dos lentes con aumento constante y por eso es el relé estándar de los montajes de laboratorio: se puede deslizar la muestra sin recalibrar la escala. El precio está en $D = -f_1/f_2$ : lo que se gana en tamaño se pierde en ángulo, y con el aumento ×2 la apertura numérica de salida se reduce a la mitad. La misma conservación que en el artículo 02 llevará el nombre de invariante de Lagrange, y que en el lenguaje de Fourier es «no se pueden ganar frecuencias espaciales gratis».

Lo que este formalismo no sabe

Conviene decirlo antes de usarlo durante tres artículos. Una matriz ABCD no sabe nada de aberraciones (es lineal por construcción: el artículo 04 existe para eso), nada de difracción (un punto se aplica en un punto, sin disco de Airy — eso lo pone Fourier 02), nada de intensidades ni de reflexiones parciales (para eso está Óptica numérica 02, cuyas matrices son otras: allí las componentes son campos, aquí son coordenadas de rayo), y nada de polarización (la del curso 10, cuyas matrices también son 2×2 y también se componen por la izquierda, pero no tienen ninguna relación con éstas). Cuatro formalismos matriciales distintos en un mismo sitio, y confundirlos es un clásico.

Lo que sí sabe es todo lo demás: dónde está la imagen, de qué tamaño, con qué apertura, y a cuántos milímetros hay que poner el sensor. Que es exactamente lo que hay que saber para montar algo.

Ejercicios

Ejercicio 1

Un espejo se puede tratar como una refracción con $n_2 = -n_1$ : el signo negativo es la forma algebraica de decir «la luz da media vuelta». (a) Sustituye $n_1 = 1$ , $n_2 = -1$ en la matriz de refracción y obtén la matriz del espejo esférico. (b) ¿Cuánto vale su determinante, y es coherente con la regla del recuadro? (c) Deduce la focal en función de $R$ y compárala con $f = R/2$ . (d) Usa la matriz para localizar la imagen de un objeto a 300 mm de un espejo cóncavo de $|R| = 200$ mm, y da el aumento.

Solución

(a) Con $P = (n_2-n_1)/R = -2/R$ y $n_2 = -1$ : $C = -P/n_2 = -2/R$ y $D = n_1/n_2 = -1$ . La matriz es

\mathsf{M}_{\text{esp}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2/R & -1 \end{pmatrix}

(b) $\det = (1)(-1) - 0 = -1$ , que es exactamente $n_1/n_2 = 1/(-1)$ . La regla del recuadro se cumple: el signo negativo del determinante es la inversión del sentido de propagación, no un error.

(c) $C = -1/f$ obliga a $f = R/2$ en magnitud. Para un espejo cóncavo mirando a la luz que llega por la izquierda, el centro de curvatura está a la izquierda y por tanto $R = -200$ mm en este convenio: $|C| = 2/200 = 0{,}0100$ mm⁻¹ y $f = 100$ mm, convergente. Los 200 mm del radio dan 100 mm de focal, que es el resultado de bachillerato — pero ahora con el signo saliendo solo.

(d) Con $f = 100$ mm y $s = 300$ mm: $1/s' = 1/100 - 1/300$ , luego $s' = 150$ mm y $m = -0{,}500$ . Imagen real, invertida, a la mitad de tamaño y delante del espejo.

La segunda lección, que es la que justifica el ejercicio: un espejo no necesita teoría propia. Todos los telescopios reflectores del mundo se calculan con la misma matriz de refracción con la que se calcula una lupa, sin más que un signo. Y con el mismo truco, un espejo plano — $R\to\infty$ — tiene matriz $\mathrm{diag}(1,-1)$ , que es la razón exacta de que un espejo cambie la quiralidad de una polarización circular (curso 10, artículo 02): la misma matriz, en otro espacio.

Ejercicio 2

Un sistema de dos lentes delgadas en aire: $f_1 = 60$ mm, luego 35 mm de aire, luego $f_2 = 40$ mm. (a) Escribe el producto en el orden correcto y calcula los cuatro elementos. (b) Comprueba el determinante. (c) Deduce la focal del conjunto de $C$ y compárala con la fórmula $1/f = 1/f_1 + 1/f_2 - d/(f_1f_2)$ . (d) Con un objeto a 250 mm de la primera lente, ¿dónde está la imagen respecto de la segunda y cuánto vale el aumento? Compruébalo en el banco interactivo.

Solución

(a) $\mathsf{M} = \mathsf{L}(f_2)\,\mathsf{T}(35)\,\mathsf{L}(f_1)$ . Primero $\mathsf{T}\mathsf{L}_1 = \begin{pmatrix} 1-35/60 & 35 \\ -1/60 & 1\end{pmatrix}$ , y al multiplicar por $\mathsf{L}_2$ :

\mathsf{M} = \begin{pmatrix} 0{,}41667 & 35 \\ -0{,}0270833 & 0{,}125\end{pmatrix}

(b) $\det = 0{,}41667\times0{,}125 - 35\times(-0{,}0270833) = 0{,}052083 + 0{,}947917 = 1{,}0000$ . Aire a aire, determinante 1.

(c) $f = -1/C = 36{,}923$ mm. La fórmula de manual da $1/60 + 1/40 - 35/2400 = 0{,}0270833$ , o sea los mismos 36,923 mm. No es una coincidencia: esa fórmula es literalmente el elemento $C$ del producto, y se acaba de deducir en lugar de recordarla.

(d) Con el objeto a 250 mm hay que anteponer $\mathsf{T}(250)$ : $B_{\text{tot}} = 0{,}41667\times250 + 35 = 139{,}17$ y $D_{\text{tot}} = -0{,}0270833\times250 + 0{,}125 = -6{,}6458$ . El plano imagen está en $s' = -B/D = 20{,}941$ mm detrás de la segunda lente, y el aumento es $m = A_{\text{tot}} + s'\,C_{\text{tot}}$ con $A_{\text{tot}} = 0{,}41667$ y $C_{\text{tot}} = -0{,}0270833$ : $m = 0{,}41667 - 0{,}56715 = -0{,}1505$ .

La segunda lección: fíjate en que el aumento −0,150 no es el producto de los aumentos de las dos lentes por separado, y en que la focal 36,92 mm no es la de ninguna de ellas ni su media. El sistema tiene propiedades que no son de ninguno de sus trozos, y ésa es toda la razón de ser del producto de matrices. También conviene notar que $s' = 20{,}9$ mm no se mide desde ningún sitio «natural»: se mide desde la segunda lente, porque ahí es donde acaba la matriz. Cuál es el punto de referencia correcto —el que hace que la fórmula de la lente delgada vuelva a funcionar— es lo que resuelve el artículo 02 con los planos principales.

Ejercicio 3

Una cámara enfocada al infinito lleva delante un cristal protector de $t$ mm de N-BK7 ( $n = 1{,}5168$ ), con las dos caras planas y perpendiculares al eje. (a) Usando sólo las matrices de este artículo, demuestra que el plano de mejor foco se desplaza $t(1-1/n)$ y di en qué sentido. (b) Evalúalo para $t = 1$ , 3 y 6 mm. (c) Un fabricante de carcasas submarinas ofrece un puerto plano de 6 mm. Sabiendo que la profundidad de foco de un objetivo f/2,8 con un círculo de confusión de 30 µm es $2Nc$ , ¿hay que reenfocar? (d) ¿Cambiaría algo si el cristal estuviera inclinado 5°? Razónalo con lo que la matriz no sabe, y calcula de paso el error relativo de $\sin\theta\approx\theta$ a ese ángulo.

Solución

(a) La composición del ejemplo resuelto 1 da $\mathsf{M} = \begin{pmatrix}1 & t/n\\ 0&1\end{pmatrix} = \mathsf{T}(t/n)$ . Es decir: $t$ milímetros de vidrio equivalen ópticamente a $t/n$ milímetros de aire. Como el vidrio ocupa $t$ mm de camino físico, para llegar al mismo plano conjugado hay que recorrer $t - t/n = t(1-1/n)$ mm de más: el foco se aleja del objetivo.

(b) Con $1-1/1{,}5168 = 0{,}34073$ : 0,341 mm con 1 mm de vidrio, 1,022 mm con 3 mm y 2,044 mm con 6 mm.

(c) La profundidad de foco es $2Nc = 2\times2{,}8\times0{,}030 = 0{,}168$ mm. El desplazamiento del puerto es 2,044 mm, o sea 12 veces mayor: hay que reenfocar sí o sí. Y no es un detalle académico — es la razón de que las carcasas serias lleven puerto de cúpula y no plano: una cúpula concéntrica con la pupila de entrada atraviesa el vidrio en incidencia normal para todos los ángulos y no desplaza nada.

(d) La matriz no cambia, porque en el formalismo paraxial la inclinación de una lámina plana de 5° produce efectos de orden superior que la linealización ha borrado por definición. En la realidad sí cambia: una lámina inclinada en un haz convergente introduce astigmatismo y coma, que son precisamente dos de las aberraciones del artículo 04. El error de $\sin\theta\approx\theta$ a 5° es $\theta^2/6 = 0{,}127\ \%$ , y aquí está la trampa que hay que ver: ese 0,127 % no mide el efecto. Mide el error que se comete en el ángulo de cada rayo, mientras que lo que se estropea es la coincidencia de dónde cortan el eje rayos que salen a alturas distintas — un efecto diferencial que puede ser órdenes de magnitud mayor que el error puntual. Es exactamente lo que pasa en el artículo 04: con un rayo marginal a 7,1° (f/4), un error de ángulo del 0,26 % produce una mancha 41 veces el disco de Airy. Ése es el patrón que se repetirá todo el curso: cuando el formalismo dice «no pasa nada», lo correcto no es concluir que no pasa nada, sino preguntarse qué orden se ha tirado. Aquí, el tercero.