Qué es la polarización

Dos polarizadores cruzados no dejan pasar nada: cero. Mete un tercero entre ellos, girado 45°, y de pronto pasa el 12,5 %. Has añadido un absorbente y ha salido más luz. No es un truco de feria: es la prueba de que un polarizador no filtra la luz que ya estaba ahí, sino que la reescribe — y de esa diferencia sale todo este módulo.

Prerrequisitos: De Fundamentos, la onda plana y la notación compleja. Del Módulo 02, sólo el hecho de que las polarizaciones s y p se reflejan distinto. Nada más: este módulo se lee suelto y es el que más se necesita después.

Transversal significa que sobran dos direcciones

En una onda plana que viaja según $z$ en un medio isótropo, Maxwell obliga a que $\mathbf{E}$ sea perpendicular a $\mathbf{k}$ . Eso deja el campo con exactamente dos grados de libertad, $x$ e $y$ , y cada uno con su amplitud y su fase:

E_x(z,t) = A_x\cos(kz-\omega t), \qquad E_y(z,t) = A_y\cos(kz-\omega t + \delta)

La fase absoluta no significa nada —depende de dónde pongas el reloj—, así que sólo hay tres números con contenido físico: las dos amplitudes y la diferencia de fase $\delta$ . Y como la intensidad total $I \propto A_x^2 + A_y^2$ es otra cosa que ya sabemos medir, el estado de polarización cabe en dos números: el reparto entre las dos componentes y el desfase entre ellas.

Conviene escribir el reparto como un ángulo, porque así los dos parámetros son ángulos y el estado vive en una superficie compacta (lo veremos literalmente en el artículo 03):

A_x = \cos\alpha, \qquad A_y = \sin\alpha, \qquad \alpha \in [0°, 90°]

Con $\alpha$ y $\delta$ ya está todo. Mueve los dos mandos y mira qué figura traza la punta del vector $\mathbf{E}$ en un plano fijo. Los dieciséis puntos están tomados a intervalos iguales de tiempo: donde se apiñan, el campo va despacio.

La elipse de polarización

Reparto α (Ax = cos α) 45°

Desfase δ 90°

Polarizador θ 0°

Lo que traza E en un plano fijo

Fracción transmitida por el polarizador

Estado circular levógira · azimut ψ = 22.5° · elipticidad χ = -45.0° (cociente de ejes 1.000) · (S₁,S₂,S₃) = (0.000, 0.000, -1.000). El polarizador a 0° deja pasar el 50.0 %. Círculo perfecto: los 16 puntos están equiespaciados y ningún ángulo del polarizador transmite más que otro — el 50 % siempre.

Tres casos, y sólo tres

polarización lineal ( $\delta = 0°$ o $180°$ ). Las dos componentes suben y bajan a la vez (o en contrafase). La punta de $\mathbf{E}$ va y viene por un segmento inclinado $\arctan(A_y/A_x)$ respecto a $x$ . Es lo que sale de un polarizador.
polarización circular ( $\alpha = 45°$ y $\delta = \pm 90°$ ). Amplitudes iguales y cuadratura: el módulo de $\mathbf{E}$ es constante y lo que gira es su dirección, a razón de una vuelta por periodo óptico. A 550 nm eso son 5,45 × 10¹⁴ vueltas por segundo.
polarización elíptica (todo lo demás). El caso general. La lineal y la circular son los dos degenerados, y ninguno de los dos es «lo normal»: lo normal es la elipse.

El convenio de la quiralidad, declarado antes de usarlo. Decir «gira a la derecha» no significa nada hasta que se dice desde dónde se mira, y la mitad de la literatura mira desde el otro lado. En todo este módulo: $\mathbf{E}(z,t) = \operatorname{Re}\!\left[\mathbf{J}\,e^{i(kz-\omega t)}\right]$ , y la quiralidad es la que ve un observador al que la onda le llega de frente (mira hacia la fuente, con $x$ a su derecha e $y$ hacia arriba). Con eso, girar en sentido horario para ese observador es dextrógira. Es el convenio tradicional de óptica, el de Hecht y el de Born & Wolf. La ingeniería de radio usa $e^{+i\omega t}$ y la IEEE mira desde detrás: allí la misma onda se llama levógira. No hay una convención correcta, hay que declararla, y quien no la declara publica un signo que nadie puede reproducir.

La luz natural no es «luz sin polarización»

Una bombilla, el Sol o una llama emiten desde muchísimos átomos independientes. Cada acto de emisión produce un tren de ondas perfectamente polarizado; lo que no hay es relación entre unos y otros. Así que en cualquier instante la luz sí tiene un estado de polarización bien definido — sólo que cambia al azar.

¿Cada cuánto? Lo fija la coherencia temporal. Para luz blanca centrada en 550 nm con $\Delta\lambda = 300$ nm:

\tau_c \approx \frac{\lambda^2}{c\,\Delta\lambda} = \frac{(550\times10^{-9})^2}{3\times10^8 \times 300\times10^{-9}} = 3{,}4\ \text{fs}

Tres coma cuatro femtosegundos: menos de dos ciclos ópticos (1,83, para ser exactos) y un micrómetro de recorrido. Ningún detector del mundo sigue eso, así que lo que se mide es un promedio sobre billones de estados sucesivos. A esa mezcla incoherente la llamamos luz natural, y su rasgo operativo es sencillo: cualquier polarizador, en cualquier orientación, transmite exactamente la mitad.

El mito que hay que desmontar aquí, con el número delante. «La luz no polarizada vibra en todas las direcciones a la vez» es la frase de los libros de bachillerato, y es falsa: el campo eléctrico en un punto y en un instante es un vector, no un abanico. Lo que es cierto es que ese vector se reordena cada 3,4 fs. La diferencia no es filosófica: si la luz vibrase «en todas las direcciones a la vez» no habría manera de que parte de un haz estuviese polarizada y parte no, y justo eso —el grado de polarización intermedio— es lo que mide un polarímetro en el cielo, en un reflejo o en la salida de una fibra. Hace falta el artículo 03 entero para escribirlo bien.

El polarizador y la ley de Malus

Un polarizador ideal proyecta el campo sobre su eje de transmisión y tira el resto. Si entra luz linealmente polarizada que forma un ángulo $\theta$ con ese eje, la amplitud transmitida es $A\cos\theta$ y la intensidad, su cuadrado. Es la ley de Malus:

I(\theta) = I_0\cos^2\theta

Por qué el coseno va al cuadrado, y por qué la luz natural da justo la mitad

Descompón el campo incidente en la dirección del eje de transmisión $\hat{u}$ y en la perpendicular: $\mathbf{E} = (E\cos\theta)\,\hat{u} + (E\sin\theta)\,\hat{u}_\perp$ . El polarizador ideal deja la primera y absorbe la segunda. La intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud, así que $I = I_0\cos^2\theta$ . El cuadrado no es un detalle de notación: es la razón de que a 45° pase la mitad y no el 71 %.

Para luz natural hay que promediar sobre todas las orientaciones, con el desfase cambiando al azar. Como el promedio se hace sobre intensidades (los trenes son incoherentes entre sí, y sus campos no interfieren de forma estable):

\langle I \rangle = \frac{I_0}{2\pi}\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta = \frac{I_0}{2}

La mitad, sea cual sea la orientación. Ese factor $\tfrac12$ es el peaje que se paga una sola vez, al entrar; lo que ocurra después ya sigue a Malus.

Los números que hay que tener en la cabeza: $\cos^2 30° = 0{,}75$ , $\cos^2 45° = 0{,}50$ , $\cos^2 60° = 0{,}25$ . Es decir: a 45° se pierde la mitad, y hacen falta 60° para perder tres cuartos. La caída es lenta al principio (a 10° todavía pasa el 97 %) y brutal al final.

Un polarizador de verdad no es ideal. Una lámina dicroica buena tiene una transmitancia principal $T_\parallel \approx 0{,}80$ y una razón de extinción $T_\perp/T_\parallel \approx 10^{-4}$ . Consecuencias, con números: de luz natural transmite el 40,0 % en vez del 50 %; dos láminas paralelas dan el 32 % y cruzadas 8 × 10⁻⁵, es decir un contraste de 4000 a 1. Un prisma de calcita de tipo Glan-Thompson llega a 10⁻⁶ y mejor, pero cuesta cien veces más y admite un campo angular de una decena de grados (los de tipo Glan-Taylor, menos aún). En un montaje de laboratorio se elige por la extinción que hace falta, no por el catálogo.

Ejemplo resuelto · La paradoja de los tres polarizadores

Problema. Sobre dos polarizadores cruzados (0° y 90°) incide luz natural de intensidad $I_0$ . No sale nada. Se intercala un tercer polarizador a 45°. ¿Cuánto sale ahora? ¿Y qué ángulo del intermedio maximiza la salida?

Solución. El primero convierte la luz natural en lineal a 0° con $I_0/2$ . El segundo, a $\theta$ , aplica Malus: $(I_0/2)\cos^2\theta$ . El tercero está a 90°, o sea a $90° - \theta$ del segundo:

I_3 = \frac{I_0}{2}\cos^2\theta\,\cos^2(90°-\theta) = \frac{I_0}{2}\cos^2\theta\,\sin^2\theta = \frac{I_0}{8}\sin^2 2\theta

Con $\theta = 45°$ : $\sin 90° = 1$ y sale $I_0/8 = 12{,}5\ \%$ . Y como la expresión sólo depende de $\sin^2 2\theta$ , el máximo está exactamente en 45° y vale exactamente $I_0/8$ . A 30° ya sólo pasa el 9,4 %.

Resultado. Lo que importa no es el 12,5 %, es por qué no es cero. El segundo polarizador no selecciona la parte de la luz «que ya iba a 45°»: recibe luz que va estrictamente a 0° y la reemite a 45°, con menos intensidad pero con una dirección nueva. Esa componente a 45° tiene una proyección no nula sobre 90°. Un filtro que sólo quitase no podría hacer esto nunca; el polarizador proyecta, y proyectar es una operación que gira. En el artículo 02 esto será literalmente un producto de matrices que no conmutan.

Girar la polarización sin perderla (casi)

Si tres polarizadores dejan pasar el 12,5 % al girar 90°, ¿y con más? Con $N$ polarizadores repartidos en pasos de $90°/N$ , cada paso cuesta $\cos^2(90°/N)$ y la fracción de la luz ya polarizada que sobrevive es

\frac{I_N}{I_{\text{pol}}} = \cos^{2N}\!\left(\frac{90°}{N}\right) \xrightarrow[N\to\infty]{} 1 - \frac{\pi^2}{4N} \to 1

Con $N = 3$ sobrevive el 42,2 %; con 10, el 78,1 %; con 45, el 94,7 %. Para conservar el 90 % hacen falta 24 polarizadores, y para el 99 %, 246. La polarización se puede girar 90° con pérdidas tan pequeñas como se quiera, siempre que se haga en pasos pequeños. Es el mismo esquema que el efecto Zenón cuántico, y no por analogía: la matemática es idéntica, porque un polarizador es una medida proyectiva.

De dónde sale luz polarizada, sin comprar nada

Reflexión. En el ángulo de Brewster $\theta_B = \arctan(n_2/n_1)$ el coeficiente $r_p$ se anula y la luz reflejada queda 100 % polarizada perpendicularmente al plano de incidencia. Para el agua ( $n = 1{,}333$ ) son 53,1°; para el vidrio crown (1,52), 56,7°. Ojo con el rendimiento: en el vidrio, a $\theta_B$ , sólo se refleja el 7,8 % de la luz natural incidente. Es un polarizador excelente y un aprovechamiento pésimo.
Reflejos molestos. Cerca de $\theta_B$ la reflexión sigue estando muy polarizada aunque no del todo: en el agua a 45° el grado de polarización de la luz reflejada ya es 0,90. Como en un charco o en el capó de un coche el plano de incidencia es vertical, ese reflejo es horizontal, y por eso las gafas de sol polarizadas llevan el eje vertical. Giradas 90°, dejan de servir.
El cielo. La luz azul del cielo es luz solar dispersada por moléculas (dispersión Rayleigh), y un dipolo no radia a lo largo de su eje: mirando a 90° del Sol, sólo sobrevive una de las dos polarizaciones. En cielo muy limpio el grado de polarización llega a 0,7–0,8; los aerosoles y la dispersión múltiple lo bajan. Con $p = 0{,}75$ , un polarizador que gire da un contraste $(1+p)/(1-p) = 7$ entre su mejor y su peor orientación — que es exactamente lo que se ve al girar un filtro polarizador delante de una cámara.
Dispersión y absorción anisótropa. El dicroísmo de las láminas Polaroid —cadenas de alcohol polivinílico estiradas y dopadas con yodo— absorbe fuertemente la componente paralela a las cadenas. Es lo mismo que hace una rejilla de hilos metálicos con microondas, sólo que a escala molecular.

Ejercicios

Ejercicio 1

Un haz tiene $A_x = 0{,}6$ , $A_y = 0{,}8$ y $\delta = +90°$ . (a) Clasifícalo. (b) ¿Cuál es el ángulo $\alpha$ equivalente? (c) Escribe $E_x(t)$ y $E_y(t)$ en $z = 0$ y evalúalos en $\omega t = 0$ y $\omega t = 90°$ : ¿hacia dónde gira, con el convenio del módulo? (d) Comprueba (a) y (c) en la visualización.

Solución

(a) Hay desfase de 90°, así que hay giro, pero las amplitudes son distintas: es elíptica, con los ejes de la elipse alineados con $x$ e $y$ (eso pasa siempre que $\delta = \pm 90°$ ). El cociente de ejes es 0,6/0,8 = 0,75.

(b) $\tan\alpha = A_y/A_x = 0{,}8/0{,}6$ , luego $\alpha = 53{,}1°$ (y en efecto $0{,}6^2 + 0{,}8^2 = 1$ : el haz está normalizado).

(c) $E_x = 0{,}6\cos(\omega t)$ , $E_y = 0{,}8\cos(\omega t - 90°) = 0{,}8\sin(\omega t)$ . En $\omega t = 0$ : (0,6, 0) — sobre $+x$ . En $\omega t = 90°$ : (0, 0,8) — sobre $+y$ . Va de la derecha hacia arriba, es decir antihorario para el observador que la recibe de frente: levógira.

La lección que se llevan pocos: con $\delta = +90°$ siempre sale levógira en este convenio, y eso es una consecuencia del signo de $e^{-i\omega t}$ , no de la física del haz. Cambia el convenio y cambia el nombre, no la elipse.

Ejercicio 2

Deduce la fórmula $\cos^{2N}(90°/N)$ de la cadena de $N$ polarizadores y evalúala para $N = 2, 3, 10$ . Después demuestra que para $N$ grande el resultado tiende a $1 - \pi^2/(4N)$ y usa esa aproximación para estimar cuántos polarizadores hacen falta para conservar el 99 %. Compara con el valor exacto (246).

Solución

Cada polarizador está a $90°/N$ del anterior y la luz que le llega es lineal, así que Malus da un factor $\cos^2(90°/N)$ por paso, y con $N$ pasos, $\cos^{2N}(90°/N)$ . Ojo con el recuento: ésos son los $N$ polarizadores que giran, sin contar el que polarizó la luz natural al entrar (que cuesta además el $\tfrac12$ ). La paradoja de los tres polarizadores es el caso $N = 2$ , y de ahí que $\tfrac12\cos^4 45° = 1/8$ . Numéricamente: $N=2 \to 0{,}250$ , $N=3 \to 0{,}422$ , $N=10 \to 0{,}781$ .

Para $N$ grande, $x = \pi/(2N)$ es pequeño: $\cos x \approx 1 - x^2/2$ , luego $\ln\cos^{2N}x = 2N\ln\cos x \approx -N x^2 = -\pi^2/(4N)$ , y $\cos^{2N}x \approx 1 - \pi^2/(4N)$ . Para que eso valga 0,99 hace falta $N \approx \pi^2/(4\times 0{,}01) = 247$ , contra el 246 exacto: un error de 0,4 % con una aproximación de dos líneas.

La segunda lección: la pérdida escala como $1/N$ , no exponencialmente. Duplicar el número de láminas reduce a la mitad la pérdida total, y eso es lo que hace que el límite continuo sea sin pérdidas. Un rotador de polarización de verdad (artículo 02) hace exactamente esto, pero con la fase en vez de con la absorción, y por eso no pierde nada.

Ejercicio 3

Luz natural incide sobre agua ( $n = 1{,}333$ ) a 45°. Usando Fresnel (Módulo 02), calcula $R_s$ y $R_p$ , la reflectancia total y el grado de polarización de la luz reflejada, $p = |R_s - R_p|/(R_s + R_p)$ . Repite en $\theta_B$ y a 75°, y di a qué altura del sol quitan más brillo unas gafas polarizadas — y por qué no es ni al mediodía ni al atardecer.

Solución

Con $\sin\theta_2 = \sin 45°/1{,}333$ sale $\theta_2 = 32{,}0°$ , y las fórmulas de Fresnel dan $R_s = 0{,}0530$ , $R_p = 0{,}0028$ . Reflectancia media 2,79 %, grado de polarización 0,899.

En $\theta_B = \arctan 1{,}333 = 53{,}1°$ : $R_p = 0$ exactamente, $R_s = 0{,}0783$ , $p = 1$ . A 75°: $R_s = 0{,}314$ , $R_p = 0{,}111$ , $p = 0{,}479$ — pero la reflectancia media sube al 21 %.

Ahí está el compromiso, y es la segunda lección: el reflejo más polarizado no es el más brillante. Quien fija el ángulo de incidencia es la altura del sol, y va al revés de lo que parece: sol alto es incidencia casi normal, sol bajo es incidencia rasante. Con el sol a 37° sobre el horizonte la luz llega justo en $\theta_B$ y el reflejo, aunque débil (3,9 % de media), es puro: unas gafas con el eje vertical lo eliminan entero. Con el sol casi puesto la incidencia se acerca a 75°, el reflejo es cinco veces más intenso (21 %) y sólo está polarizado a la mitad: las gafas quitan menos de la mitad de un brillo mucho mayor. Y con el sol en el cenit se refleja sólo el 2,0 %, pero no está polarizado en absoluto —a incidencia normal $R_s = R_p$ — y las gafas no hacen nada, aunque tampoco hagan falta. Por eso el pescador ve el fondo a media mañana y no al atardecer.

Ejercicio 4

Repite la paradoja de los tres polarizadores con láminas reales: $T_\parallel = 0{,}80$ y $T_\perp = 10^{-4}$ . Calcula lo que sale con dos láminas cruzadas y con las tres (la intermedia a 45°) multiplicando transmitancias etapa por etapa, y el factor por el que la tercera lámina aumenta la señal. ¿Sigue habiendo paradoja? (El valor exacto de las tres láminas es 6,26 %: explica de dónde sale la diferencia con tu estimación.)

Solución

De luz natural, la primera lámina transmite $\tfrac12(T_\parallel + T_\perp) = 0{,}400$ y deja el haz polarizado. Con dos cruzadas: $\tfrac12(2T_\parallel T_\perp) = 8\times10^{-5}$ , es decir 8 partes por cien mil, no cero.

Con la intermedia a 45°, cada paso transmite $T_\parallel\cos^2 45° + T_\perp\sin^2 45° = 0{,}400$ , de donde la estimación rápida $0{,}400^3 = 0{,}064$ , un 6,4 %. El valor exacto es 6,26 %: la tercera lámina multiplica la señal por $0{,}0626/8\times10^{-5} = 782$ .

Y la discrepancia del 2 % entre 6,4 y 6,26 es la segunda lección, no un redondeo. Un polarizador real no tira la componente perpendicular: la atenúa, y las dos amplitudes que salen se suman como vectores. Consecuencia: la luz que abandona la lámina intermedia no está polarizada a 45°, sino a 44,36°, porque el resto de la componente horizontal tira de ella hacia atrás. La tercera lámina la recibe, por tanto, a 45,64° de su eje y transmite $T_\parallel\cos^2 45{,}64° + T_\perp\sin^2 45{,}64° = 0{,}391$ en lugar de 0,400. Multiplicar 0,400 tres veces da por supuesto que cada etapa entrega la luz exactamente sobre su eje, y eso sólo lo hace el polarizador ideal: $0{,}400\times0{,}400\times0{,}391 = 0{,}0626$ . Con matrices de Jones —artículo 02— el cálculo se hace de una vez y sale lo mismo sin aproximar nada.

La lección de laboratorio: con polarizadores ideales el factor sería infinito y con los reales es 782, porque las cruzadas ya dejaban pasar algo. Ese fondo de 8 × 10⁻⁵ es el suelo de cualquier medida de extinción; querer medir una birrefringencia que produzca menos señal que eso exige un prisma de calcita, no una lámina, y probablemente modulación y detección síncrona.