La hoja de problemas · Óptica numérica

Quieres simular con FDTD un tramo de guía de silicio ($n$ = 3,48) sobre óxido, a 1550 nm, en un dominio 2D de 6 µm × 4 µm, dejando correr el campo 2 ps. (a) ¿Qué $\Delta x$ te pide la regla de las 20 celdas por longitud de onda, y cuánto te habría salido si tomas la λ del vacío? (b) Con $\Delta x$ = 20 nm, calcula el número de celdas, el paso temporal por CFL, los pasos necesarios y las actualizaciones de celda totales. ¿Cuánta memoria come? (c) Repite el presupuesto en 3D con un dominio de 6 µm × 4 µm × 4 µm. ¿Por cuánto se multiplica el coste, y por qué el factor no es simplemente el número de celdas nuevas?

El artículo 02 dedujo la matriz característica de una capa y la fórmula del coeficiente de reflexión del apilamiento, y luego se contentó con dejar que el simulador las evaluara. Hazlo a mano. (a) Escribe $M$ para una capa de espesor óptico $\lambda_0/4$ —es decir $\delta = \pi/2$— y sustitúyela en la fórmula de $r$ para demostrar que $R = \left[(n_f^2 - n_0 n_s)/(n_f^2 + n_0 n_s)\right]^2$. (b) Evalúala para MgF₂ ($n_f$ = 1,38) sobre vidrio ($n_s$ = 1,52) y compárala con el 1,3 % que da el ejercicio 1 de aquel artículo. (c) ¿Qué dice la fórmula sobre el índice ideal, y cuánto vale $R$ sin recubrir?

Este problema retoma el antirreflejante del problema anterior y el objetivo fotográfico que el artículo 02 menciona de pasada. (a) Multiplica las matrices de dos capas de cuarto de onda, de índices $n_1$ (la exterior) y $n_2$, y demuestra que la reflexión se anula exactamente cuando $n_2/n_1 = \sqrt{n_s/n_0}$. (b) Con $n_1$ = 1,38 (MgF₂), ¿qué material haría falta debajo? ¿Cuánto vale $R$ con el par 1,38/1,70? (c) Un objetivo de nueve lentes tiene 18 superficies vidrio-aire. Calcula la transmisión total sin recubrir, con monocapa de MgF₂ y con una multicapa moderna de 0,2 % por cara. (d) ¿Adónde va la luz que no se transmite, y por qué eso importa más que la pérdida?

Hay que calcular el espectro de extinción y el campo cercano de un nanocubo de plata de 60 nm de arista a 400 nm, donde su índice complejo es $m$ = 0,17 + 1,95$i$. (a) Aplica el criterio $|m|kd < 1$ del artículo 05: ¿qué espaciado máximo entre dipolos permite, y cuántos dipolos por arista son? (b) Mira el número que te ha salido y decide si el criterio basta. ¿Qué otra cosa fija en realidad la discretización de este objeto? (c) Con $d$ = 2 nm, cuenta las incógnitas y la memoria de la matriz densa de DDA. (d) Haz el mismo recuento con BEM, mallando la superficie con triángulos de 3 nm de lado. ¿Cuál eliges y por qué?

Se simula con FDTD la resonancia de un microdisco de silicio y, refinando la rejilla, se obtiene $\lambda_{\text{res}}$ = 1548,2 nm con $\Delta x$ = 20 nm, 1551,0 nm con 10 nm y 1551,7 nm con 5 nm. (a) Deduce del propio conjunto de datos el orden de convergencia observado. ¿Coincide con el que promete FDTD? (b) Usa la extrapolación de Richardson para estimar el resultado a rejilla cero, y di cuánto error arrastra la corrida más fina. (c) ¿Qué $\Delta x$ haría falta para bajar el error a 0,05 nm por fuerza bruta, y cuánto costaría en 3D? ¿Y con DGTD de orden $p$ = 3? (d) ¿Qué habría que sospechar si el cociente de diferencias sucesivas no hubiera salido tan limpio?

El problema 2 dejó pendiente algo incómodo: el antirreflejante perfecto aire-vidrio pide $n_f$ = 1,233 y no hay ningún material sólido con ese índice. La naturaleza lo resolvió hace cien millones de años: el ojo de las polillas nocturnas está cubierto de conos submicrométricos. (a) Para que el conjunto se comporte como un medio homogéneo y no como una rejilla de difracción, ¿qué periodo máximo $\Lambda$ admite si el sustrato tiene $n_s$ = 1,52 y hay que cubrir hasta 400 nm? (b) Modela un cono como cinco láminas de fracción de volumen de vidrio decreciente y calcula el índice efectivo de cada una con Bruggeman. ¿Qué índice sale a media altura, y con qué se parece? (c) ¿Qué altura mínima necesita el cono, y por qué? (d) Un fabricante escala el molde a $\Lambda$ = 280 nm para abaratar la litografía. ¿Qué le pasa a su antirreflejante?