La hoja de problemas · Respuesta EM

Dificultad ●○○–●●●. Cada pista son tres líneas —el camino, la trampa y una comprobación que aplicas a tu número— y ninguna de las tres da el resultado. La brújula de este curso, en tres avisos, y los tres son de contabilidad antes que de física. Primero, el convenio temporal. Aquí se escribe $e^{-i\omega t}$ , y de ahí sale todo lo demás: la absorción es $\text{Im}\,\varepsilon > 0$ , la función de respuesta es analítica en el semiplano superior y los polos caen abajo. Con el convenio de ingeniería $e^{+j\omega t}$ todo se conjuga. Si tu cuenta devuelve absorción negativa, no has descubierto ganancia: has perdido un signo. Segundo, las unidades de la polarizabilidad. En esta hoja $\alpha$ tiene dimensiones de volumen ( $\mathbf{p} = \varepsilon_0\alpha\mathbf{E}$ ) y por tanto $\sigma_{\text{ext}} = k\,\text{Im}\,\alpha$ y $\sigma_{\text{scat}} = k^4|\alpha|^2/6\pi$ ; en gaussianas aparece un $4\pi$ extra y las fórmulas no se pueden mezclar. Declara el convenio antes de la primera línea o acabarás con un factor 12,6 sin saber de dónde. Y tercero, el error de fondo del tema: una función de respuesta nunca se evalúa en una frecuencia sola. Kramers-Kronig y las reglas de suma son integrales sobre todo el espectro, así que lo que pasa en $\omega$ depende siempre de lo que pasa lejos de $\omega$ — incluso donde no has medido.

Necesitas: el curso 08 completo. El problema 1 usa el Drude del artículo 03 con la condición de Fröhlich del 02; el 2, la representación de Weyl del 01; el 3 evalúa de verdad la integral de Kramers-Kronig del 04; el 4 junta la fuerza de oscilador del 05 con la cota unitaria del 06 y se apoya en la emisión estimulada del curso 05, artículo 01; el 5 vive entero en el artículo 06, y el 6 vuelve al continuo electrón-hueco del 03.

Problema 1 ●○○ · El oro que resuena donde no debería

Una esfera de oro de 20 nm en agua ( $n = 1{,}33$ ) tiene su resonancia plasmónica en 520 nm: es el color del oro coloidal, y por la condición de Fröhlich significa que ahí $\text{Re}\,\varepsilon = -2\varepsilon_m$ . Usa el modelo de Drude del artículo 03 con $\hbar\omega_p = 9{,}0$ eV y $\hbar\gamma = 0{,}07$ eV. (a) Calcula $\varepsilon$ a 1550 nm. (b) Calcula la longitud de onda a la que Drude dice que se cumple la condición de Fröhlich. ¿Cuánto se equivoca? (c) Añade un término $\varepsilon_\infty$ constante a la parte real — $\varepsilon = \varepsilon_\infty - \omega_p^2/[\omega(\omega+i\gamma)]$ — y averigua qué valor hace falta para acertar los 520 nm. ¿Qué es físicamente ese número?

Pista

Camino. Despeja ω de Fröhlich con el Drude del artículo 03; en (c), el mismo despeje con $\varepsilon_\infty$ libre.

Trampa. El medio entra por su permitividad: el cuadrado del índice del agua, no el índice.

Comprobación. Esa incógnita debe pasar de uno y correr la resonancia al rojo respecto a (b); por debajo de uno, has usado el índice sin elevar.

Problema 2 ●○○ · Cuánto puede alejarse la punta

Un microscopio óptico de campo cercano trabaja a 633 nm con una apertura de 50 nm y aspira a resolver esos mismos 50 nm. Esa resolución vive en la componente de onda plana de momento transversal $q = 2\pi/50\ \text{nm}$ de la representación de Weyl. (a) Compara $q$ con $k$ . (b) Calcula $q_z$ y la longitud de decaimiento. (c) ¿Qué fracción de la intensidad de esa componente sobrevive a 10 nm de la muestra? ¿Y a 25 nm? (d) Escribe la longitud de decaimiento en función de la resolución que se persigue, y saca la conclusión de diseño.

Pista

Camino. Compara $q$ con $k$ , saca $|q_z| = \sqrt{q^2-k^2}$ y de ahí la longitud de decaimiento.

Trampa. Esa longitud es la de la amplitud; la intensidad va con $e^{-2|q_z|z}$ , y usar la primera en (c) te deja la raíz de la fracción correcta.

Comprobación. Las dos fracciones de (c) salen del mismo exponencial: la de 25 nm es la de 10 nm elevada a 2,5. Si no, has mezclado amplitud con intensidad.

Problema 3 ●●○ · Una raya de absorción y el índice a cien nanómetros

Una capa de colorante tiene una única banda de absorción lorentziana centrada en 500 nm, con coeficiente de absorción en el pico $\alpha = 10^4$ cm⁻¹ y anchura a media altura de 20 nm, sobre un índice de fondo 1,5. (a) Convierte el coeficiente de absorción en $\text{Im}\,\varepsilon$ en el pico. (b) Con la relación de Kramers-Kronig del artículo 04, y aproximando la raya por su área concentrada en $\omega_0$ , calcula cuánto cambia el índice de refracción en 600 nm y en 450 nm. (c) Interpreta el signo de cada uno. (d) La aproximación de raya estrecha desprecia el polo en $-\omega_0$ : ¿en qué dirección se equivoca?

Pista

Camino. Pasa α a $\text{Im}\,\varepsilon$ en el pico, concentra el área de la lorentziana en $\omega_0$ y aplica Kramers-Kronig.

Trampa. La anchura de 20 nm está en longitud de onda y la integral va en frecuencia: conviértela antes de calcular el área.

Comprobación. Rehaz (a) por el otro camino, pasando por el índice de extinción: si no sale lo mismo, el fallo está ahí y no en Kramers-Kronig.

Problema 4 ●●○ · Un átomo mucho más grande que un átomo

El artículo 06 afirma que un átomo de dos niveles en resonancia tiene una sección eficaz de $3\lambda^2/2\pi$ , el límite dipolar. Ponle números con la línea D₂ del sodio: 589 nm, vida media del estado excitado 16,2 ns. (a) Calcula la sección eficaz y compárala con la sección geométrica de un átomo (radio ~0,15 nm). (b) Calcula la anchura natural de la línea. (c) A 300 K el vapor está ensanchado por efecto Doppler: calcula esa anchura y en cuánto reduce la sección eficaz de pico. (d) ¿Qué densidad de átomos hace falta para que una celda de 1 cm absorba de forma apreciable, y cómo se compara con el aire?

Pista

Camino. Cada anchura, por su fórmula: la natural desde la vida media, la Doppler de la térmica. (d) es la densidad que hace $\sigma n L \approx 1$ .

Trampa. Entre vida media y anchura hay un 2π, y la anchura va en hercios, no en radianes: ese factor se propaga entero al cociente de (c).

Comprobación. El área se conserva: σ de pico por anchura natural debe igualar σ ensanchada por anchura Doppler.

Problema 5 ●●● · La polarizabilidad que no conserva la energía

Una esfera de un dieléctrico transparente con $\varepsilon = 12$ (el orden del silicio en el infrarrojo cercano, donde ya no absorbe) tiene radio 120 nm y se ilumina a 1200 nm en vacío. (a) Calcula la polarizabilidad electrostática $\alpha_0 = 4\pi a^3(\varepsilon-\varepsilon_m)/(\varepsilon+2\varepsilon_m)$ y, con ella, $\sigma_{\text{ext}}$ y $\sigma_{\text{scat}}$ . Algo va mal: ¿el qué? (b) La reparación es la reacción de radiación, $\alpha = \alpha_0/(1 - ik^3\alpha_0/6\pi)$ . Demuestra que esta $\alpha$ cumple la cota unitaria $\text{Im}\,\alpha = k^3|\alpha|^2/6\pi$ con igualdad exacta cuando $\alpha_0$ es real, y recalcula las dos secciones eficaces. (c) ¿A qué distancia queda del límite $3\lambda^2/2\pi$ , y qué haría falta para saturarlo?

Pista

Camino. Evalúa $\alpha_0$ , mira su parte imaginaria y compárala con la sección de dispersión; rehaz las dos con la α corregida.

Trampa. La extinción no es la suma de las otras dos: es $k\,\text{Im}\,\alpha$ por el teorema óptico, y por la suma el fallo de (a) se esconde.

Comprobación. Tras (b), extinción y dispersión coinciden cifra a cifra y la absorción sale nula; si no, has mezclado las dos α.

Problema 6 ●●● · Dónde muere el plasmón de volumen

El artículo 03 dice que el plasmón se amortigua por efecto Landau cuando su dispersión entra en el continuo electrón-hueco, «a un $q$ crítico $q_c \sim \omega_p/v_F$ ». Ponle un número para el oro ( $n = 5{,}9\times10^{28}$ m⁻³). (a) Evalúa esa estimación en unidades de $k_F$ . (b) Hazlo en serio: encuentra el corte de $\omega(q) = \omega_p\sqrt{1+3v_F^2q^2/5\omega_p^2}$ con el borde superior del continuo, $\hbar\omega = (\hbar^2/2m)(q^2+2k_Fq)$ . (c) Traduce $q_c$ a una longitud de onda y di a qué energía ha llegado ya el plasmón cuando muere. (d) ¿Puede la luz visible llegar ahí? ¿Y un haz de electrones de 100 keV?

Pista

Camino. De la densidad salen el momento y la velocidad de Fermi; con ellos, la estimación de (a), y en (b) el corte numérico de las dos ramas.

Trampa. El momento de Fermi lleva el espín dentro: con $6\pi^2$ en vez de $3\pi^2$ te vas más de un veinte por ciento.

Comprobación. Las dos vías coinciden en orden de magnitud y (b) cae por debajo de (a); si sale mayor, has cortado por el borde inferior.

Fin del curso 08. Con esto tienes el aparato completo de la respuesta lineal: la función de Green que propaga cualquier fuente, la susceptibilidad cuántica que explica de dónde sale $\varepsilon(\omega)$ , la causalidad que enlaza refracción con absorción, las reglas de suma que acotan lo que un material puede hacer y el teorema óptico que convierte la extinción en una amplitud en una sola dirección. Es maquinaria general: nada de lo anterior sabía si el objeto era una nanopartícula, una molécula o una capa. Lo que falta es ponerla a trabajar donde el entorno manda. Porque hay un resultado en la letra pequeña del artículo 01 que aún no se ha explotado: la tasa de emisión de un dipolo es $\text{Im}\,\mathbf{G}$ evaluada en la posición del propio emisor, de modo que la emisión espontánea —que la física atómica presenta como una constante del átomo— es en realidad una propiedad del sitio. El curso 09 parte de ahí: el efecto Purcell, la densidad local de estados, las resonancias colectivas de un array, los eigenmodos que separan geometría de material, la hibridación que convierte dos partículas en una molécula plasmónica y los plasmones de una sola capa atómica. Es el cierre del Fotonario, y es donde la respuesta electromagnética deja de describir materiales para empezar a diseñarlos.