La hoja de problemas · Fotónica integrada

Dificultad ●○○–●●●. Cada pista son tres líneas —el camino, la trampa y una comprobación que aplicas a tu número— y ninguna de las tres da el resultado. La brújula del curso, en tres avisos. Primero, el error que hace fallar el primer diseño de todo el mundo: en cuanto aparece una resonancia o un retardo, el índice que manda es el de grupo, no el efectivo. En SOI son 4,2 frente a 2,4 —un factor 1,75— y el resultado no suena raro, solo está mal. Segundo, los decibelios: se suman, nunca se multiplican, y hay dos de ellos. La potencia va con $10^{-\text{dB}/10}$ y la amplitud —la $a$ de una vuelta de anillo, el coeficiente de un acoplador— con $10^{-\text{dB}/20}$ ; confundirlos duplica o divide por dos cualquier extinción. Tercero, y es el que se cobra los proyectos: un circuito resonante en silicio no tiene un espectro, tiene un espectro y una temperatura. La resonancia de un anillo SOI se mueve unos 79 pm/°C, y medio grado ya es una fracción apreciable de una anchura de línea. Ningún número de esta hoja significa nada si no dices a qué temperatura está el chip.

Necesitas: el curso 07 completo. Los problemas 1, 3 y 6 usan el anillo y el factor Q del artículo 04, y los dos primeros toman del 09 la deriva térmica de 79 pm/K y la resistencia térmica del calentador; el 2 y el 5, el presupuesto de pérdidas del artículo 03 y los acopladores fibra-chip del 08; el 3 toma la capacidad por milímetro de la unión del artículo 07 y el 6 sus ecuaciones de Soref-Bennett. El problema 5 invoca además la divergencia de un haz gaussiano del curso 05, artículo 04.

Problema 1 ●○○ · Dos grados y el canal se ha ido

Un anillo SOI de radio 10 μm con Q = 10⁴ filtra un canal de una rejilla WDM de 100 GHz a 1550 nm. La resonancia se desplaza 79 pm por cada grado centígrado (artículo 09). (a) ¿Cuántos grados hacen falta para que el anillo pase a filtrar el canal vecino? (b) ¿Y para desplazar la resonancia una anchura a media altura entera, es decir, para convertir el «pasa» en «no pasa»? (c) Si en vez de estabilizar quieres sintonizar, ¿qué salto de temperatura barre un rango espectral libre completo? (d) La rejilla ITU está definida en frecuencia —100 GHz exactos— y el anillo resuena en longitud de onda. ¿Cuánto vale un canal de 100 GHz en los dos extremos de la banda C (1530 y 1565 nm)? Si diseñas ocho anillos con paso constante en nanómetros, ¿cuánto se ha desalineado el octavo?

Pista

Camino. Pasa la rejilla a nanómetros con $\Delta\lambda = \lambda^2\Delta\nu/c$ y divide cada distancia espectral entre los 79 pm/K.

Trampa. 100 GHz no son unos nanómetros fijos: si conviertes una sola vez a 1550 y reutilizas ese paso, (d) sale cero.

Comprobación. Los tres saltos térmicos guardan la razón de las tres distancias; si el de la anchura no es el menor, has cambiado anchura por canal.

Problema 2 ●○○ · El enlace entero en decibelios

Un transmisor de 400G tiene un láser DFB externo que entrega 10 dBm a la fibra. La cadena es: acoplador de canto de entrada (1,0 dB), 4 mm de guía strip a 2 dB/cm, un modulador Mach-Zehnder con 4,0 dB de pérdida de inserción y 3,0 dB más de penalización por extinción finita y calidad de la señal modulada, un anillo de multiplexado (1,5 dB), un acoplador de rejilla de salida (2,5 dB) y 1,0 dB de fibra y conectores hasta el receptor. El fotodiodo de germanio tiene una responsividad de 0,9 A/W y el receptor necesita −6 dBm para cerrar el enlace en PAM-4. (a) ¿Cuánta potencia llega al fotodiodo y qué fotocorriente produce? (b) ¿Cierra el enlace, y con cuánto margen? (c) ¿Qué término conviene atacar primero, y cuánto margen recuperas si sustituyes el acoplador de rejilla por uno de canto?

Pista

Camino. Suma los siete términos en dB, resta de los 10 dBm y compara con la sensibilidad; a milivatios se baja al final, para $I = RP$ .

Trampa. La entrada ya es un acoplador de canto: (c) cambia solo el de salida, y se gana la diferencia, no el doble.

Comprobación. Si tu potencia en el fotodiodo más las pérdidas no devuelve los 10 dBm de partida, has multiplicado transmisiones en vez de sumar dB.

Problema 3 ●●○ · El anillo gasta doscientas veces menos, y el calentador se lo come

Compara la energía por bit de un modulador de anillo con la de un Mach-Zehnder. La unión p-n tiene 200 fF por milímetro de guía en los dos casos; el Mach-Zehnder mide 3 mm y se ataca con 2 V de pico a pico, y el anillo tiene radio 10 μm y le basta 1 V. Para una secuencia binaria aleatoria, la energía media por bit de una carga capacitiva es $E = CV^2/4$ . (a) Calcula las dos y su cociente. (b) El anillo, a diferencia del Mach-Zehnder, necesita un calentador permanente para quedarse en su canal: la dispersión de fabricación lo deja 1 nm fuera y el calentador, que cubre el perímetro del anillo, tiene la resistencia térmica que el artículo 09 calcula para esa geometría — $R_{\text{th}} = 3{,}79$ K/mW — con los 79 pm/K del problema 1. ¿Cuánta potencia consume, y cuánta energía por bit añade eso a 50 Gbit/s? (c) ¿A partir de qué velocidad de línea el anillo gana de verdad?

Pista

Camino. $E = CV^2/4$ con la capacidad por milímetro por la longitud de guía; el calentador da potencia, energía por bit solo tras dividir por la tasa.

Trampa. La longitud del anillo es su perímetro, no el radio, y su tensión es 1 V, no los 2 V del Mach-Zehnder.

Comprobación. Iguala las energías totales para (c): si la tasa de cruce supera los 50 Gbit/s de (b), tus dos apartados se contradicen.

Problema 4 ●●○ · Un nanosegundo de retardo, en el chip y en la fibra

Un procesador óptico necesita una línea de retardo de 1 ns. (a) ¿Qué longitud de guía hace falta en SOI? (b) Calcula la pérdida en las tres plataformas del curso: strip (2 dB/cm), rib (0,5 dB/cm) y nitruro de silicio (0,1 dB/cm, con $n_g = 2{,}15$ ). (c) Si la espiral se enrolla con un paso de 20 μm entre vueltas, ¿qué área ocupa la versión en strip? (d) Compárala con el mismo nanosegundo hecho con fibra monomodo ( $n_g = 1{,}47$ , 0,2 dB/km).

Pista

Camino. $L = c\tau/n_g$ en cada plataforma; la pérdida es esa longitud por su dB/cm y el área de la espiral, longitud por paso.

Trampa. El retardo lo fija el índice de grupo, no el efectivo: con 2,4 en vez de 4,2 pides una espiral casi el doble de larga.

Comprobación. El nitruro necesita más longitud que el strip y aun así pierde menos; si te sale al revés, has cruzado los $n_g$ con los dB/cm.

Problema 5 ●●● · Por qué el acoplador de rejilla solo sirve para una banda

El artículo 08 afirma que un acoplador de rejilla tiene un ancho de banda de 30-40 nm. Dedúcelo. Datos: periodo Λ = 630 nm, índice efectivo del modo en la zona grabada $n_{\text{eff}} = 2{,}8$ con índice de grupo 4,2, revestimiento de SiO₂ (1,45), λ = 1550 nm, y la fibra monomodo tiene un diámetro de modo de 10,4 μm. (a) Calcula el ángulo de acoplo. (b) Deriva la condición de difracción respecto a λ y obtén cuántos grados se mueve el ángulo óptimo por cada nanómetro. Ojo: $n_{\text{eff}}$ también depende de λ. (c) La fibra está pegada a un ángulo fijo y solo acepta la luz dentro del cono de divergencia de su propio modo. Estima ese cono y convierte el desajuste angular en ancho de banda espectral. (d) ¿Qué le pasa a la eficiencia si el bloque de fibras se pega con un grado de error?

Pista

Camino. Deriva la condición de difracción respecto a λ y divide el cono de divergencia del modo de la fibra entre $d\theta/d\lambda$ .

Trampa. $n_{\text{eff}}$ no es constante: su derivada sale de la definición del índice de grupo, y suma al término de $1/\Lambda$ en vez de cancelarlo.

Comprobación. Rehaz la derivada con ese índice congelado: debe dar más banda; si da menos, has restado los términos.

Problema 6 ●●● · El índice que se paga en absorción

En silicio, mover el índice cuesta absorción: es lo que dicen las ecuaciones de Soref-Bennett del artículo 07. Se quiere $\Delta n = 2\times10^{-4}$ a 1550 nm. (a) Calcula la concentración de portadores necesaria y la absorción extra que aparece, una vez con electrones y otra con huecos, y expresa las dos en dB/cm. (b) ¿Cuánta pérdida añade cada opción a un brazo de 3 mm? ¿Cuál elegirías, y por qué el resultado no es evidente a priori? (c) El mismo desplazamiento de índice en un anillo de 10 μm solo recorre 63 μm de guía, así que la penalización parece despreciable. Demuestra que en el anillo el problema es otro y peor.

Pista

Camino. Invierte Soref-Bennett para el Δn pedido, lleva la concentración a su Δα y compara las opciones por $|\Delta n|/\Delta\alpha$ .

Trampa. El término de huecos lleva exponente 0,8: su prefactor y el de electrones ni comparten unidades, hay que evaluarlos a una concentración.

Comprobación. En (c) mide la caída de $a$ contra el acoplamiento crítico del artículo 04, no contra la pérdida por vuelta.

Fin del curso 07. Con esto sabes dimensionar un circuito fotónico entero: elegir la geometría de guía, curvarla sin perder luz, resonarla en un anillo, filtrar con ella un canal WDM, modularla a decenas de gigabits y sacarla del chip hacia una fibra — y, lo que separa un diseño de un dibujo, sabes cuánto cuesta cada paso en decibelios, en milivatios y en milímetros cuadrados. Lo que este curso ha usado sin justificar es precisamente lo que lo sostiene: de dónde sale $\varepsilon(\omega)$ . El índice 3,48 del silicio, el $dn/dT$ , las ecuaciones empíricas de Soref-Bennett, el hecho mismo de que mover el índice obligue a absorber — todo eso se ha tomado como dato de catálogo. El curso 08 lo construye desde abajo: la función de Green como propagador universal, la susceptibilidad cuántica que da la polarizabilidad, la causalidad que enlaza refracción con absorción —Kramers-Kronig es el teorema que explica por qué Δn y Δα del problema 6 no pueden separarse— y las reglas de suma que acotan lo que un material puede hacer haga lo que haga su geometría. Es el curso más exigente del sitio, y después de él ningún índice de refracción vuelve a ser un número de tabla.