Lo que cambia al fabricarlo

Para que la resonancia de un anillo de $Q = 10^4$ caiga dentro de su propio ancho de línea, el espesor del silicio tendría que estar controlado a 0,127 nm. Una monocapa atómica de Si(001) mide 0,136 nm. Ninguna oblea del mundo cumple eso, no va a cumplirlo, y de ahí sale todo lo que cuenta este artículo: por qué cada anillo de cada producto lleva un calentador debajo, por qué ese calentador consume más que la luz que gobierna, y por qué la industria acaba poniendo un MZI de tres milímetros donde un anillo de diez micras sería más elegante.

Prerrequisitos: el artículo 04 completo — condición de resonancia, FSR, factor Q, índice de grupo y acoplamiento crítico. Del artículo 07, la transmisión del MZI y la idea de

V_\pi

; del artículo 08, qué es un PDK y qué es una foundry.

Los ocho artículos anteriores han diseñado un chip. Todos daban por hecho lo mismo sin decirlo: que la guía mide 500 × 220 nm, que está a 25 °C, y que las dos guías del dibujo son iguales. Las tres cosas son falsas en una oblea, y las tres se corrigen con el mismo instrumento —una resistencia de nitruro de titanio sobre el óxido— que es a la vez la solución y el problema.

El efecto termo-óptico: el mando de sintonía y la avería

El silicio tiene el coeficiente termo-óptico más grande de los materiales con los que se guía luz en una oblea de silicio: $dn/dT = 1{,}86 \times 10^{-4}\ \mathrm{K^{-1}}$ a 1550 nm y 300 K, unas veinte veces el de la sílice ( $1{,}0 \times 10^{-5}\ \mathrm{K^{-1}}$ ). No es el récord de la fotónica —el germanio y el GaAs lo superan—, pero con ellos no se hacen las guías pasivas de un PIC, y con el silicio sí. Ese número es el efecto termo-óptico en silicio, y tiene dos caras: permite mover el índice sin tocar nada, y hace que el índice se mueva solo.

De dn/dT a pm/K: por qué el índice de grupo se cancela

La condición de resonancia del artículo 04 es $n_{\text{eff}}(\lambda, T)\, L = m\lambda$ con $m$ entero. Al calentar, el orden $m$ no cambia: lo que cambia es la longitud de onda que lo cumple. Derivando a $m$ fijo:

L\frac{\partial n_{\text{eff}}}{\partial\lambda}\frac{d\lambda}{dT} + L\frac{\partial n_{\text{eff}}}{\partial T} = \frac{n_{\text{eff}}L}{\lambda}\frac{d\lambda}{dT}

y con $n_g \equiv n_{\text{eff}} - \lambda\,\partial n_{\text{eff}}/\partial\lambda$ queda el resultado que se usa siempre:

\frac{d\lambda_{\text{res}}}{dT} = \frac{\lambda}{n_g}\frac{\partial n_{\text{eff}}}{\partial T}

Falta $\partial n_{\text{eff}}/\partial T$ , que no es $dn/dT$ del silicio: el modo no está todo en el silicio. Teoría de perturbaciones de primer orden da

\frac{\partial n_{\text{eff}}}{\partial T} = n_g \sum_i f_i \frac{1}{n_i}\frac{dn_i}{dT}

donde $f_i$ es la fracción de energía modal del material $i$ . Ojo al $n_g$ que aparece delante: en SOI vale 4,2 y $n_{\text{Si}} = 3{,}48$ , así que $\partial n_{\text{eff}}/\partial T$ es mayor que $dn/dT$ del silicio macizo aunque el modo no esté entero dentro. Es la sorpresa de esta cuenta.

Y al sustituir en la anterior, $n_g$ se cancela exactamente:

\boxed{\ \frac{d\lambda_{\text{res}}}{dT} = \lambda \sum_i f_i \frac{1}{n_i}\frac{dn_i}{dT}\ }

La deriva térmica de una resonancia no depende del índice de grupo. Depende sólo de dónde está la energía del modo y del $dn/dT$ de cada material. Con todo el modo en silicio sale el techo absoluto, $\lambda\,(dn/dT)/n_{\text{Si}} = 82{,}8$ pm/K, y ninguna geometría de silicio puede superarlo.

Con $f_{\text{Si}} = 0{,}95$ —el reparto de una guía strip de 500 × 220 nm: el peso $n^2$ de la energía eléctrica concentra en el núcleo más que la propia potencia, así que el 80 % de confinamiento de potencia que daba el artículo 02 es un 0,95 de energía— la fórmula da 79 pm/K. Son los «~80 pm/°C» que los artículos 07 y 08 usaban sin justificar, y ahora se sabe de dónde vienen y cuál es su techo. Los mismos 79 pm/K explican la otra frase del artículo 07: 0,6 °C corren la resonancia 47 pm, casi un tercio de la anchura de línea de un anillo de Q = 10⁴.

En unidades de lo que de verdad importa: un anillo de $Q = 10\,000$ tiene una anchura de línea $\Delta\lambda_{\text{FWHM}} = \lambda/Q = 155$ pm. Dividiendo:

1,96 K corren la resonancia una FWHM entera.
1,0 K la corren media FWHM: la transmisión en el punto de trabajo ya ha cambiado a la mitad.
El rango comercial de un módulo de centro de datos va de 0 a 70 °C —el industrial, de −40 a 85 °C, casi lo dobla—. Son 5500 pm de deriva: treinta y cinco anchuras de línea, y catorce veces el espaciado de 400 pm de una rejilla DWDM de 50 GHz.

Con Si₃N₄ la historia es otra: $dn/dT = 2{,}45\times10^{-5}\ \mathrm{K^{-1}}$ y $n = 2{,}0$ , y con $f_{\text{SiN}} = 0{,}70$ (el modo se sale más, y lo que se sale cae en óxido, que también tiene $dn/dT$ positivo) salen 16,5 pm/K: 4,8 veces más estable que el silicio. Es la mitad de la razón por la que los peines de frecuencia y los giroscopios se hacen en nitruro. La otra mitad son las pérdidas del artículo 02.

Cuántos milivatios cuesta un π

Un calentador termo-óptico es una resistencia —TiN, o silicio dopado dentro de la propia guía— separada del modo por unos cientos de nanómetros de óxido. Se le mete corriente, sube la temperatura local, sube $n_{\text{eff}}$ , y la fase acumulada se mueve. Para un desfase de $\pi$ hace falta $\Delta n_{\text{eff}} \cdot L = \lambda/2 = 775$ nm, exactamente la misma condición que el MZM del artículo 07.

Con $\partial n_{\text{eff}}/\partial T = 2{,}15\times10^{-4}\ \mathrm{K^{-1}}$ y un calentador de $L = 200$ μm:

\Delta T_\pi = \frac{\lambda}{2 L\, (\partial n_{\text{eff}}/\partial T)} = \frac{1550\ \mathrm{nm}}{2 \times 200\,\mu\mathrm{m} \times 2{,}15\times10^{-4}} = 18{,}0\ \mathrm{K}

Dieciocho grados. Pero los grados no se piden en la hoja de especificaciones: se piden milivatios. La conversión es la resistencia térmica del camino que sigue el calor desde el calentador hasta el sumidero, que es el sustrato de silicio.

Estimar R_th con una losa, y qué se deja fuera

El camino dominante es hacia abajo, a través del óxido enterrado, hasta el sustrato — que con $k_{\text{Si}} = 130\ \mathrm{W/(m\,K)}$ es cien veces mejor conductor que el óxido y hace de tierra térmica. Para una losa de espesor $t$ y área $A$ :

R_{\text{th}} = \frac{t}{k_{\text{SiO}_2} A}

Con $t = 2$ μm de BOX, $k_{\text{SiO}_2} = 1{,}4\ \mathrm{W/(m\,K)}$ y un área efectiva de 200 × 6 μm² (el calentador más el ensanchamiento lateral del flujo, del orden del propio espesor a cada lado):

R_{\text{th}} = \frac{2\ \mu\mathrm{m}}{1{,}4 \times 1200\ \mu\mathrm{m}^2} = 1{,}19\ \mathrm{K/mW}

y por tanto $P_\pi = \Delta T_\pi / R_{\text{th}} = 15{,}2$ mW. Un calentador de foundry real está en 20–30 mW, y la diferencia va en la dirección correcta: el modelo ignora el camino hacia arriba, ignora la conducción lateral por el óxido de recubrimiento e ignora que el sustrato bajo el chip no está exactamente a ambiente. Todos esos son caminos en paralelo, que bajan $R_{\text{th}}$ y por tanto suben los milivatios que hay que meter para el mismo $\Delta T$ . Una estimación de una línea que acierta el orden y además sabe hacia dónde se equivoca vale más que una simulación que no se puede auditar.

Esos 20–30 mW por π son la primera restricción de cualquier circuito con más de diez elementos sintonizables, y el número que hay que llevar en la cabeza al dibujar un layout.

Y cuántos microsegundos

La otra mitad del calentador es su velocidad. El mismo camino térmico tiene una capacidad térmica: hay que calentar el volumen de óxido que separa la resistencia del sumidero. Con $\rho c = 1{,}63\times10^{6}\ \mathrm{J/(m^3 K)}$ para la sílice y el mismo volumen de 200 × 6 × 2 μm³ sale $C_{\text{th}} = 3{,}9$ nJ/K, y la constante de tiempo térmica es el producto:

\tau = R_{\text{th}} C_{\text{th}} = \frac{t}{k A}\cdot \rho c A t = \frac{\rho c\, t^2}{k} = \frac{t^2}{D} = 4{,}65\ \mu\mathrm{s}

El área se cancela. La velocidad de un calentador termo-óptico no depende de lo largo que sea: la fija el espesor del óxido que el calor tiene que cruzar y la difusividad térmica $D = k/\rho c = 8{,}6\times10^{-7}\ \mathrm{m^2/s}$ . Los 4,65 μs calculados caen dentro de los 2–20 μs que se miden en calentadores estándar. En cristiano: un calentador termo-óptico va a unos 100 kHz, y por eso sirve para sintonizar y conmutar, y no sirve para modular datos.

Y aquí aparece el compromiso que gobierna todo el diseño térmico. Multiplica las dos cifras:

P_\pi \cdot \tau = \frac{\Delta T_\pi}{R_{\text{th}}} \cdot R_{\text{th}} C_{\text{th}} = \Delta T_\pi \, C_{\text{th}}

$R_{\text{th}}$ ha desaparecido. Aislar térmicamente el calentador —grabar trincheras a los lados, socavar el sustrato debajo— es exactamente lo que sube $R_{\text{th}}$ , y con nuestros números un factor 10 de aislamiento baja $P_\pi$ de 15 a 1,5 mW y sube $\tau$ de 4,7 a 47 μs. El producto sigue valiendo 70 nJ. La potencia y la velocidad se compran una con otra, uno a uno, y lo único que mueve el producto es cambiar el volumen que se calienta.

Ahí está el margen honesto de esta afirmación: socavar el sustrato también reduce el volumen calentado, así que $C_{\text{th}}$ baja algo y el producto mejora un poco. Los valores publicados de $P_\pi \tau$ se reparten entre 30 y 200 nJ mientras $P_\pi$ recorre un factor diez: el producto no es una constante de la naturaleza, pero es mucho más constante que sus factores, y ésa es toda la utilidad de una figura de mérito.

El presupuesto térmico de un chip entero

Un solo calentador no preocupa a nadie. El presupuesto térmico aparece al contar cuántos hay. Tomemos un conmutador óptico 8 × 8 con topología de Benes: necesita $2\log_2 N - 1 = 5$ etapas de $N/2 = 4$ celdas, es decir 20 celdas MZI de 2 × 2. En una permutación cualquiera, alrededor de la mitad están en estado cruzado y piden $\pi$ :

P_{\text{chip}} \approx 20 \times \tfrac{1}{2} \times 25\ \mathrm{mW} = 250\ \mathrm{mW}

Un cuarto de vatio disipado en unos pocos milímetros cuadrados, para dirigir una potencia óptica que rara vez pasa de 5 mW. El control térmico consume cincuenta veces la luz que gobierna, y los conmutadores termo-ópticos 8 × 8 publicados aterrizan justo ahí, entre 0,2 y 1 W.

Y ese cuarto de vatio no se queda quieto. Una fuente puntual sobre un semiespacio de silicio crea un campo de temperatura que cae como $1/r$ :

\Delta T(r) = \frac{P}{2\pi k_{\text{Si}}\, r} \qquad (r \gg L)

Y la condición de la derecha no es decorativa, porque el calentador de este artículo mide $L = 200$ μm y el vecino del que preocuparse está a 20: $r/L = 0{,}1$ , que es lo contrario de $r \gg L$ . A esa distancia el calentador no es un punto, es una raya, y hay que integrar la fuente puntual a lo largo de ella:

\Delta T(r) = \frac{P}{\pi k_{\text{Si}} L}\,\operatorname{arcsinh}\!\frac{L}{2r}

que devuelve la fórmula anterior en cuanto $r \gg L$ — $\operatorname{arcsinh} x \to x$ — y a 2 mm las dos coinciden en la cuarta cifra. Con $P = 25$ mW, un vecino a 20 μm se calienta 0,71 K y no 1,53: 56 pm de corrimiento, un tercio largo de la FWHM de un $Q = 10^4$ . A 50 μm, 0,44 K y 35 pm; a 100 μm, 0,27 K y 21 pm. Usar el $1/r$ a 20 μm infla el resultado por 2,2 — y siempre en la misma dirección, porque repartir la misma potencia a lo largo de una raya sólo puede bajar el pico.

Con las cifras buenas o con las infladas, la conclusión no cambia de signo: eso es diafonía térmica, el estado de un componente cambia el punto de trabajo del de al lado. En un conmutador con veinte celdas encendiéndose y apagándose, cada lazo de control ve moverse su objetivo cada vez que se mueve otro, y la matriz de acoplos térmicos acaba siendo parte del firmware.

Ejemplo resuelto · Un demux de 16 canales, en vatios

Problema. Un receptor DWDM lleva 16 filtros add-drop de $R = 10$ μm y $Q = 10\,000$ colgados del mismo bus. La dispersión de resonancia de la oblea es de ±2 nm. ¿Cuánta potencia eléctrica cuesta alinearlos, y qué significa esa cifra dentro de un transceptor de 400G?

Solución. Un calentador sólo calienta: no se puede correr una resonancia hacia el azul. Así que el diseño se sitúa por debajo de todos los objetivos y se sube cada anillo hasta el suyo, lo que obliga a cubrir el rango entero, 4 nm, y no la mitad. En temperatura, $\Delta T = 4\ \mathrm{nm} / 79{,}2\ \mathrm{pm/K} = 50{,}5$ K. El calentador de un anillo es corto —el perímetro son 62,8 μm— así que su resistencia térmica es mayor que la del calentador de 200 μm de antes: $R_{\text{th}} = 2\,\mu\mathrm{m}/(1{,}4 \times 62{,}8 \times 6\ \mu\mathrm{m}^2) = 3{,}79$ K/mW. El peor anillo pide 13,3 mW; el promedio, medio rango, unos 6,7 mW. Los dieciséis suman ≈ 107 mW, más 16 fotodiodos de derivación y 16 lazos de control. Y el rango no se puede recortar: hay que cubrirlo entero porque el signo del calentador es uno solo.

Resultado. Contra los 8–12 W que consume un módulo de 400G entero, 107 mW es el 1 %: la potencia no es lo que mata al demultiplexor de anillos. Lo que lo mata es todo lo demás que viene con esa cifra. Son 16 lazos que tienen que converger antes de que haya enlace, que tienen que reconverger tras cada corte de alimentación, que se persiguen entre sí por diafonía térmica, y que consumen mientras el equipo está en reposo. Un demultiplexor hecho con AWG o con MZI en cascada tampoco es inmune —su rejilla entera deriva a los mismos 79 pm/K—, pero se mueve en bloque: los dieciséis canales comparten un único $n_{\text{eff}}$ y ocupan un área muy por debajo de la longitud de correlación del proceso, así que un solo calentador global los alinea todos. Dieciséis lazos independientes frente a uno solo: la comparación honesta entre anillo y MZI no se decide en milivatios, se decide en cuántas cosas tienen que estar funcionando para que la primera trama pase.

Variabilidad de proceso: la oblea no promete nada

Hasta aquí, la temperatura. La otra mitad del artículo es peor, porque no se arregla con un lazo de control: es la variabilidad de proceso, la diferencia entre dos componentes que el layout dibujó idénticos.

Dispersión de λ_res en una oblea

600 anillos nominalmente idénticos, R = 10 μm

σ espesor (nm) 0.40 σ anchura (nm) 1.2 Factor Q

Con σ = 658 pm sólo el 8.8 % de los anillos cae dentro de su propia FWHM (155 pm): el resto está fuera de canal antes de encender nada. Alinearlos exige 3.85 nm de sintonía, unos 49 K y 12.8 mW por anillo en el peor caso — sólo para volver al punto de partida.

Dos parámetros geométricos gobiernan $n_{\text{eff}}$ y por tanto la resonancia: el espesor $h$ de la capa de silicio, que lo fija el fabricante de la oblea, y la anchura $w$ de la guía, que la fija la litografía y el grabado —la dimensión crítica del proceso. Las sensibilidades salen de derivar el índice efectivo y llevarlo a la fórmula del artículo 04:

\Delta\lambda_{\text{res}} = \frac{\lambda}{n_g}\,\Delta n_{\text{eff}} = \frac{\lambda}{n_g}\left(\frac{\partial n_{\text{eff}}}{\partial h}\Delta h + \frac{\partial n_{\text{eff}}}{\partial w}\Delta w\right)

Para la guía canónica de 500 × 220 nm a 1550 nm, $\partial n_{\text{eff}}/\partial h \approx 3{,}3\times10^{-3}$ por nanómetro y $\partial n_{\text{eff}}/\partial w \approx 1{,}0\times10^{-3}$ por nanómetro, y con $\lambda/n_g = 369$ nm eso da:

Qué se mueve	Cuánto mueve la resonancia	En grados de temperatura
1 nm de espesor de silicio	1220 pm	15,4 K
1 nm de anchura de guía	369 pm	4,7 K
1 K de temperatura	79 pm	—

Un nanómetro de silicio equivale a quince grados. Y al revés: para que la resonancia caiga dentro de su propia FWHM de 155 pm, el espesor tendría que estar controlado a 155/1220 = 0,127 nm, contra los 0,136 nm que mide una monocapa de Si(001). No es una tolerancia difícil: es una tolerancia que no existe.

Un proceso bueno de 300 mm entrega, dentro de una oblea, $\sigma_h \approx 0{,}4$ nm de espesor y $\sigma_w \approx 1{,}2$ nm de anchura. Como los dos errores son independientes, se suman en cuadratura:

\sigma_\lambda = \sqrt{(S_h\sigma_h)^2 + (S_w\sigma_w)^2} = \sqrt{487^2 + 443^2} = 658\ \mathrm{pm}

Es decir ±2 nm a tres sigmas, que es exactamente la dispersión de resonancia que se mide barriendo anillos por una oblea. Contra una anchura de línea de 155 pm, la dispersión es trece veces la FWHM. Sin sintonizar nada, sólo el 9 % de los anillos resuena dentro de su propio ancho de línea; con $Q = 50\,000$ , el 2 %.

Conviene saber cómo se reparte esa variabilidad en el espacio, porque de ahí sale toda la sección siguiente. El espesor de una oblea SOI tiene una firma radial suave y una longitud de correlación de milímetros a centímetros; la anchura hereda la firma del campo de exposición, de unos 26 mm, más una componente local de rugosidad y de carga de grabado que cambia en micras. En consecuencia: dos guías separadas 10 μm son prácticamente la misma guía, y dos dados separados 50 mm en la misma oblea no lo son en absoluto.

Por qué la industria acaba poniendo MZI donde el anillo sería más elegante

Con los números anteriores, la pregunta se contesta sola en tres pasos, y sólo el segundo es sutil.

Primero: el rasgo del anillo es demasiado estrecho. Un anillo de $R = 10$ μm tiene FSR de 9,1 nm; con $Q = 10\,000$ su finesse es 58,7 y su rasgo espectral mide FSR/58,7 = 155 pm. Un MZI del mismo FSR tiene por rasgo su semiperiodo, 4,55 nm — 29 veces más ancho. La misma dispersión de ±2 nm es trece anchuras de línea para el anillo y cuatro décimas de semiperiodo para el MZI: al primero lo saca de canal y al segundo lo desplaza el punto de trabajo.

Segundo, y es el argumento de verdad: el anillo mide en absoluto y el MZI mide en diferencia. La resonancia del anillo la fija el producto $n_{\text{eff}} L$ , un número absoluto que tiene que coincidir con una longitud de onda que viene de fuera —la del láser—. La salida de un MZI la fija la diferencia de fase entre dos brazos. En un MZI equilibrado, con los dos brazos de la misma longitud y separados unas micras, el error de espesor y el de anchura son el mismo en los dos, y en la resta se cancelan exactamente. Un error de 1,5 nm de espesor corre un anillo 1,83 nm —doce anchuras de línea, canal perdido— y no le hace absolutamente nada al MZI equilibrado. Lo mismo vale para la temperatura: si los dos brazos están a la misma temperatura, $d(\Delta\phi)/dT = 0$ , y el MZI equilibrado es atérmico por construcción, sin necesidad de material ninguno.

Tercero: lo que cuesta arreglar cada uno. Un MZI equilibrado necesita un ajuste estático de su punto de trabajo, de unos pocos milivatios, que se fija en el test de oblea y no se vuelve a tocar. Un anillo necesita un lazo cerrado —fotodiodo de derivación, controlador, algoritmo de captura— que arranca antes que el enlace, corre para siempre y persigue a sus vecinos por diafonía térmica. No es más potencia: es más cosas que tienen que funcionar.

Nada de esto convierte al anillo en un mal componente, y la conclusión contraria es la lectura perezosa de este artículo. Un anillo de 10 μm ocupa unos 450 μm²; un MZM de 3 × 0,5 mm ocupa 1,5 millones, tres mil veces más — y modula con ~10 fJ por bit frente al picojulio del MZM. Cuando hay que meter 32 canales en un dado co-empaquetado con la lógica, esa razón manda y los anillos ganan; hoy se venden así.

La regla que sí se sostiene es más estrecha: el anillo gana donde alguien puede pagar el lazo de control, y el MZI gana donde el producto tiene que funcionar sin él. Un módulo enchufable que debe arrancar frío en un rack a temperatura desconocida está en el segundo caso. Un motor óptico dentro de una máquina con firmware, sensores y un presupuesto de calibración está en el primero. Y ninguno de los dos escapa del calentador: el MZI también lleva el suyo, sólo que estático.

Diseñar contra el proceso

Un PDK serio no da un valor: da una distribución. Tres herramientas aparecen en cualquier flujo de diseño que haya llegado a producción.

Esquinas de proceso. El circuito se simula en el caso nominal y en los extremos de cada parámetro: espesor delgado y grueso, anchura estrecha y ancha, temperatura mínima y máxima. Con tres parámetros a tres niveles son $3^3 = 27$ simulaciones, y el criterio es que el circuito cumpla especificación en las veintisiete, no en la primera.
Monte Carlo de proceso. Las esquinas son pesimistas: suponen que todo se va a la vez y en la peor dirección. El Monte Carlo sortea cada parámetro de su distribución —con sus correlaciones, que es la parte que la gente olvida— y da el rendimiento paramétrico de verdad, en porcentaje de dados que cumplen.
Layout defensivo. Poner juntos los componentes que tienen que parecerse, orientarlos igual, rodearlos de estructuras ficticias para que vean la misma densidad de grabado, y disponer en centroide común lo que tiene que cancelarse. Todo esto viene de la electrónica analógica, y por la misma razón.

Queda la tentación de eliminar el problema en vez de gestionarlo: hacer la guía atérmica. La receta es un recubrimiento polimérico con $dn/dT$ negativo —del orden de $-2\times10^{-4}\ \mathrm{K^{-1}}$ — que compense al silicio. La condición sale de anular la suma de la caja de arriba:

f_{\text{Si}}\frac{1}{n_{\text{Si}}}\frac{dn_{\text{Si}}}{dT} + f_{\text{pol}}\frac{1}{n_{\text{pol}}}\frac{dn_{\text{pol}}}{dT} = 0 \;\Longrightarrow\; \frac{f_{\text{pol}}}{f_{\text{Si}}} = 0{,}401

Es decir: como mucho el 71 % de la energía puede quedarse en el silicio, y al menos el 29 % tiene que estar en el polímero. Una guía strip está en 90–95 %: no llega ni de lejos. Hay que desconfinar el modo con una guía muy delgada, muy estrecha o de tipo slot, y eso se paga en pérdidas y en radio mínimo de curvatura, que son justamente los dos números que los artículos 02 y 03 protegían. En nitruro la cuenta sale mucho mejor —basta con un 8 % de la energía en el polímero— y por eso los anillos atérmicos comerciales son de nitruro, no de silicio.

Y aquí conviene ser honesto sobre lo que no está resuelto. Tras veinte años de fotónica en silicio no existe un proceso que entregue un anillo que funcione sin sintonizar. Se ha intentado por todos los lados: recubrimientos atérmicos (cuestan pérdida), el ajuste post-fabricación por compactación del óxido con luz ultravioleta o implantación de germanio (no es reversible y deriva con el envejecimiento), diseños con dos anchuras que cancelan la sensibilidad al espesor (funcionan en una banda estrecha), y control adaptativo en el dominio digital (mueve el problema al ASIC). Todas dan resultados publicados y ninguna ha eliminado el calentador. La frase que hay que llevarse no es «esto se arreglará en el próximo nodo»: es que el presupuesto térmico y la variabilidad son parte del diseño de un PIC, igual que el presupuesto de pérdidas del artículo 03, y un diseño que no los tiene escritos en algún sitio todavía no está terminado.

Ejercicios

Ejercicio 1

Un anillo de Si₃N₄ tiene $n = 2{,}0$ , $dn/dT = 2{,}45\times10^{-5}\ \mathrm{K^{-1}}$ , $n_g = 2{,}15$ y un reparto de energía $f_{\text{SiN}} = 0{,}70$ con el resto en SiO₂ ( $n = 1{,}45$ , $dn/dT = 1{,}0\times10^{-5}\ \mathrm{K^{-1}}$ ). (a) Calcula su deriva térmica en pm/K y compárala con los 79 pm/K del SOI. (b) Calcula $\partial n_{\text{eff}}/\partial T$ y di cuántas veces más potencia necesita un calentador de nitruro que uno de silicio para el mismo desfase, suponiendo la misma $R_{\text{th}}$ y la misma longitud. (c) Se recubre el nitruro con un polímero de $n = 1{,}5$ y $dn/dT = -2{,}0\times10^{-4}\ \mathrm{K^{-1}}$ : ¿qué fracción de energía tiene que llevarse el polímero para que el anillo sea atérmico? Compárala con el 29 % que exigía el silicio.

Solución

(a) $d\lambda/dT = 1550\,[0{,}70 \times 2{,}45\times10^{-5}/2{,}0 + 0{,}30 \times 1{,}0\times10^{-5}/1{,}45]$ $= 1550 \times 1{,}064\times10^{-5} = 16{,}5$ pm/K. El SOI es $79{,}2/16{,}5 = 4{,}8$ veces más sensible. Nótese que el óxido, aunque sólo lleva el 30 % de la energía, aporta ya el 19 % del resultado: en nitruro el recubrimiento deja de ser un detalle.

(b) $\partial n_{\text{eff}}/\partial T = n_g \sum_i f_i (dn_i/dT)/n_i = 2{,}15 \times 1{,}064\times10^{-5} = 2{,}29\times10^{-5}\ \mathrm{K^{-1}}$ , frente a $2{,}15\times10^{-4}$ en SOI. Como $\Delta T_\pi \propto 1/(\partial n_{\text{eff}}/\partial T)$ y $P_\pi = \Delta T_\pi/R_{\text{th}}$ , el calentador de nitruro necesita 9,4 veces más potencia.

Y aquí está la segunda lección, que es la que importa: las dos razones no son la misma. La resonancia del nitruro es 4,8 veces menos sensible, pero su fase es 9,4 veces menos sensible. La diferencia es exactamente el cociente de índices de grupo, $4{,}2/2{,}15 = 1{,}95$ , y sale de que $d\lambda/dT$ lleva un $1/n_g$ que $d\phi/dT$ no lleva. Estabilidad y sintonizabilidad no se compran ni se pagan en la misma moneda.

(c) $f_{\text{pol}}/f_{\text{SiN}} = (2{,}45\times10^{-5}/2{,}0)/(2{,}0\times10^{-4}/1{,}5) = 0{,}0919$ , luego $f_{\text{pol}} = 0{,}0919/1{,}0919 = 8{,}4\,\%$ . Contra el 28,6 % del silicio, es 3,4 veces menos exigente, y por eso los anillos atérmicos que se venden son de nitruro. El silicio pide desconfinar tanto el modo que se pierden a la vez las pérdidas bajas y el radio de 5 μm.

Ejercicio 2

Mides un desfasador termo-óptico de $L = 150$ μm sobre una guía strip estándar y obtienes $P_\pi = 24$ mW y una constante de tiempo de 6 μs. (a) ¿Qué $\Delta T$ corresponde a $\pi$ ? (b) Deduce $R_{\text{th}}$ . (c) Deduce $C_{\text{th}}$ y el volumen de óxido que estás calentando; comprueba que la cifra es geométricamente creíble. (d) La foundry ofrece una opción con el sustrato socavado que multiplica $R_{\text{th}}$ por 8. Predice $P_\pi$ y $\tau$ .

Solución

(a) $\Delta T_\pi = \lambda/(2L\,\partial n_{\text{eff}}/\partial T) = 1550\times10^{-9}/(2 \times 150\times10^{-6} \times 2{,}15\times10^{-4}) = 24{,}1$ K.

(b) $R_{\text{th}} = \Delta T_\pi/P_\pi = 24{,}1\ \mathrm{K}/24\ \mathrm{mW} = 1{,}00$ K/mW.

(c) $C_{\text{th}} = \tau/R_{\text{th}} = 6\ \mu\mathrm{s}/1000\ \mathrm{K/W} = 6{,}0$ nJ/K. Con $\rho c = 1{,}63\times10^{6}\ \mathrm{J/(m^3K)}$ , el volumen es $6{,}0\times10^{-9}/1{,}63\times10^{6} = 3{,}7\times10^{-15}\ \mathrm{m^3} = 3680\ \mu\mathrm{m^3}$ . Repartidos en los 150 μm de largo son 24,5 μm² de sección: por ejemplo 12 μm de ancho por los 2 μm del óxido enterrado. Es creíble, y de paso confirma que el calor se ensancha bastante más que el propio calentador.

(d) $P_\pi = 24/8 = 3{,}0$ mW y $\tau = 6 \times 8 = 48$ μs. La segunda lección está en multiplicar: $P_\pi\tau = 144$ nJ antes y después. Si al comparar dos versiones de un desfasador el producto $P_\pi\tau$ cambia mucho, no han mejorado el aislamiento: han cambiado el volumen que calientan, y conviene preguntarse cómo.

Ejercicio 3

Una foundry entrega, dentro de una oblea, $\sigma_h = 0{,}5$ nm de espesor y $\sigma_w = 1{,}0$ nm de anchura. Usa $S_h = 1220$ pm/nm y $S_w = 369$ pm/nm. (a) Calcula $\sigma_\lambda$ y qué fracción de la varianza aporta cada término. (b) ¿Qué porcentaje de anillos de $Q = 10\,000$ resuena dentro de su propia FWHM? (La fracción dentro de $\pm x$ de una gaussiana es $\mathrm{erf}(x/\sigma\sqrt{2})$ ; $\mathrm{erf}(0{,}077) = 0{,}0867$ .) (c) Ocho de estos anillos forman un demux. Calcula el rango de sintonía a seis sigmas y la potencia media que costará alinearlos con $R_{\text{th}} = 3{,}79$ K/mW. (d) Te ofrecen mejorar a la mitad, y sólo una, la dispersión de espesor o la de anchura. ¿Cuál eliges?

Solución

(a) Espesor: $1220 \times 0{,}5 = 610$ pm. Anchura: $369 \times 1{,}0 = 369$ pm. $\sigma_\lambda = \sqrt{610^2 + 369^2} = 713$ pm. En varianza, el espesor pone $610^2/713^2 = 73\,\%$ : casi tres cuartas partes del problema vienen del proveedor de la oblea, no de la litografía.

(b) FWHM = 155 pm, así que $x = 77{,}5$ pm y $x/(\sigma\sqrt{2}) = 77{,}5/(713 \times 1{,}414) = 0{,}077$ . La fracción es 8,7 %. Nueve de cada diez anillos nacen fuera de canal.

(c) Seis sigmas son $6 \times 713 = 4280$ pm = 4,28 nm, es decir $4280/79{,}2 = 54{,}0$ K y $54{,}0/3{,}79 = 14{,}2$ mW en el peor anillo. A medio rango de media, ocho anillos suman $8 \times 7{,}1 = 57$ mW.

(d) Mejorar sólo la anchura deja $\sqrt{610^2 + 184{,}5^2} = 637$ pm, un 11 % menos. Mejorar sólo el espesor deja $\sqrt{305^2 + 369^2} = 479$ pm, un 33 % menos. La oblea. Y la lección general es la suma en cuadratura: cuando dos contribuciones son desiguales, atacar la pequeña casi no sirve de nada — la razón por la que se pagan obleas de espesor premium en vez de exigir litografía imposible.

Ejercicio 4

Un dado sale de la oblea con el silicio 1,5 nm más grueso de lo nominal —un error correlacionado, igual en todo el dado. (a) ¿Cuánto se corre la resonancia de un anillo de $R = 10$ μm, en nm y en FWHM de un $Q = 10\,000$ , y qué le ocurre a un conmutador MZI de brazos iguales de 3 mm, dibujados a 10 μm uno de otro? (b) Traduce el error del anillo a fase de una vuelta y calcula qué gradiente de temperatura entre los dos brazos del MZI produciría esa misma fase. (c) Un calentador vecino de 25 mW, ¿a qué distancia produce ese gradiente? Cuidado con qué magnitud hay que despejar. ¿Qué conclusión sacas sobre dónde termina la inmunidad del MZI?

Solución

(a) $\Delta n_{\text{eff}} = 3{,}3\times10^{-3} \times 1{,}5 = 4{,}95\times10^{-3}$ y $\Delta\lambda = (\lambda/n_g)\Delta n_{\text{eff}} = 369 \times 4{,}95\times10^{-3} = 1{,}83$ nm = 11,8 FWHM. El canal está perdido. En el MZI equilibrado los dos brazos cambian igual, la diferencia de fase es $(2\pi/\lambda)\Delta n_{\text{eff}}(L_1 - L_2) = 0$ exactamente: no le pasa nada.

(b) $\Delta\phi = (2\pi/\lambda)\Delta n_{\text{eff}}\cdot 2\pi R = 4{,}05\times10^{6} \times 4{,}95\times10^{-3} \times 62{,}8\times10^{-6} = 1{,}26$ rad. Para el MZI, un gradiente $\delta T$ entre brazos da $(2\pi/\lambda)(\partial n_{\text{eff}}/\partial T)\,\delta T\, L = 2{,}61\,\delta T$ rad, luego $\delta T = 1{,}26/2{,}61 = 0{,}48$ K.

(c) Aquí está la trampa, y es la misma contra la que argumenta la sección de la diafonía. Lo que hay que despejar no es la temperatura absoluta a una distancia, sino la diferencia entre los dos brazos. Despejar $\Delta T(r) = 0{,}48$ K de $P/(2\pi k_{\text{Si}} r)$ da $r = 0{,}025/(2\pi \times 130 \times 0{,}48) = 63$ μm, y es la respuesta a otra pregunta: a 63 μm el brazo cercano está a 0,486 K y el lejano, 10 μm más allá, a 0,419 K, así que el MZI ve $\delta T = 0{,}067$ K — siete veces menos de lo que hace falta. Un MZI equilibrado no ve el modo común; ve el gradiente.

Lo que hay que resolver es $\delta T = \frac{P}{2\pi k_{\text{Si}}}\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{r+d}\right) = 0{,}48\ \mathrm{K}$ con $d = 10$ μm de separación entre brazos, y sale $r = 21$ μm (15 μm si los brazos van a 5 y 27 μm si van a 20). Veintiuna micras, no sesenta y tres — y aún menos si se trata el calentador como la raya de 200 μm que es, porque un calentador largo y paralelo a los brazos los calienta casi por igual y el modo común se cancela solo.

Y ahí está la segunda lección, que sobrevive al cambio de número y además se afila: el MZI equilibrado es inmune a la oblea, que varía en milímetros, e inmune a lo que caliente a los dos brazos por igual; lo que le hace daño es el gradiente, y un gradiente sólo aparece cuando la fuente está tan cerca que la caída de $1/r$ es apreciable a lo ancho del par. Medio grado de diferencia entre brazos hace tanto daño como un nanómetro y medio de error de espesor. Por eso los brazos de un MZI se dibujan juntos —juntos ven casi la misma temperatura—, paralelos y lejos de los calentadores ajenos, y por eso un conmutador denso acaba necesitando el mapa térmico completo del chip.

Resumen en frío · Fotónica integrada

Todo lo que el módulo deja utilizable para dimensionar un circuito: las fórmulas de diseño, las constantes que un PIC en SOI da por sabidas y el artículo donde salió cada una. Si dentro de seis meses hay que volver al texto a buscar un índice de grupo, un V_π, una pérdida por curva o los milivatios que cuesta un desfase de π, esta tabla ha fallado.

Qué	Fórmula o valor	Dónde
Plataforma SOI	Silicio de 220 nm sobre óxido enterrado: n_Si = 3.48, n_SiO₂ = 1.45 → Δn ≈ 2.03. Guía estándar 500 × 220 nm; Si transparente a 1310 y 1550 nm	art. 01
Grosor monomodo de la guía	NA = √(3.48² − 1.45²) = √10.01 = 3.16 y d < λ/(2·NA) = 1550/6.32 ≈ 245 nm: los 220 nm del estándar quedan justo debajo del corte del segundo modo	art. 01, ej. 1
Lo que compra el contraste de índice	R_c ∝ 1/Δn^1.5, no 1/Δn²: con el R_c del art. 03, SOI (Δn = 2.03) frente a SMF-28 (0.006) da 6000× y no 115 000×. Los 5 mm de la fibra se vuelven 0.83 μm de radiación, y los ~5 μm reales de un PDK los fija el término de transición, que no escala con Δn. Neto: ~1000× más compacto	art. 01, ej. 3
Pérdidas en dB, ida y vuelta	T = 10^(−dB/10). A 2 dB/cm: 1 cm = 2 dB → pasa el 63%; 1 mm = 0.2 dB → pasa el 95.5%. Acoplo fibra-chip: 1–3 dB por faceta	art. 01, ej. 2
Cuánto cuesta un dado, según cuántos hagas	Volumen: oblea de 200 mm → ~1250 dados de 5 × 5 mm (~1070 útiles) y ~10³ € de oblea procesada = 1–5 €/dado, más décimas de € de máscaras repartidas entre millones. MPW: bloque del orden de 10⁴ € compartiendo máscaras con 20–40 proyectos y ~20 dados de vuelta = 10²–10³ €/dado. La MPW es la vía más barata por proyecto y la más cara por dado	art. 01
Índice efectivo, y la polarización de cada paso	β = n_eff·k₀, siempre con 1.45 < n_eff < 3.48. La trascendente es κ·tan(κd/2) = W·γ con W = 1 si E es tangencial a las caras (TE) y W = (n_núcleo/n_clad)² si es normal (TM). Cuasi-TE: paso 1 vertical en TE, V = 1.41 < π/2 → n_slab = 2.852; paso 2 lateral en TM (W = 3.87) → 2.497 a 500 nm y 2.423 a 450. Resolver TE en los dos pasos da 2.634 y está mal. El vectorial da 2.43–2.45; el curso usa 2.4	art. 02, ej. 1
Corte del segundo modo lateral	V_x = (πw/λ)·√(n_slab² − n_SiO₂²) y los cortes de un slab simétrico están en V = mπ/2, independientes de la polarización (en el corte γ = 0). Con NA = 2.456 eso pone el TE₁ en w = λ/(2·NA) = 316 nm — pero es el corte del método, que sobreconfina; el vectorial y los PDK lo ponen en 500–550 nm, y por eso la strip estándar es de 450–500 nm	art. 02, ej. 1
Strip, rib y slot	strip 500 × 220 nm: n_eff^TE 2.4 (80% del campo en Si) y TM 1.8 (50%, mejor para sensores), 1–3 dB/cm, R_min ~5 μm · rib con slab de 90 nm: 2.6, 0.3–1 dB/cm, 20–50 μm · slot con ranura de 100 nm: 1.7, 5–15 dB/cm, ~20 μm	art. 02
Campo en la ranura del slot	E_slot/E_Si = (n_Si/n_ranura)²: 3.48²/1.45² = 5.8 con SiO₂ y 3.48²/1.33² = 6.8 con agua — de ahí el sensor bioquímico en medio acuoso	art. 02, ej. 2
Pérdidas de propagación	α_scat ∝ (σ²/λ)(Δn/d)², con σ = 1–5 nm rms de rugosidad del grabado. Con 3 dB de presupuesto: 1.5 cm de strip (2 dB/cm) o 6 cm de rib (0.5); las espirales largas van en rib o en Si₃N₄ (< 0.1 dB/cm)	art. 02, ej. 3
Pérdida por curvatura: son dos mecanismos	Radiación: α_rad ∝ exp(−R/R_c) con R_c = n_clad/(2γ(n_eff − n_clad)) = 0.098 μm (0.18 μm con la integral WKB) y γ = k₀√(n_eff² − n_clad²) = 7.75 μm⁻¹ — no 5.8, que es n_clad·k₀. Transición en las dos uniones recta-curva: ~0.25/R² dB. Suma, para strip SOI por curva de 90°: 1.00 dB a R = 1 μm, 0.065 a 2 μm y 0.010 a 5 μm, cruzándose en R = 1.29 μm. La curva de Euler baja 2–5× el término de transición, no el de radiación	art. 03, ej. 1
Cruces de guías	Cruce simple: 0.2 dB y −20 dB de crosstalk; ensanchado a 1.5 μm: 0.05 dB y < −40 dB. Doce cruces a −20 dB acumulan −9.2 dB de diafonía; a −40 dB, −29 dB	art. 03, ej. 2
Taper adiabático	dw/dz ≪ w·Δn_eff/λ (adimensional a ambos lados; sale de (dw/dz)·z_b ≪ w con z_b = λ/Δn_eff). Manda el mayor producto w·Δn_eff. De 500 nm a 2 μm: extremos 0.25 y 0.20 → L_min ≈ 116 μm, el orden de los tapers de PDK	art. 03, ej. 3
Presupuesto de pérdidas de un PIC	2 dB de acoplo + 0.4 dB por 2 mm de guía + 0.04 dB por 4 curvas + 0.1 dB por cruce + 1 dB de anillo + 0.4 dB + 2 dB de acoplo ≈ 6 dB: manda el acoplo fibra-chip, no el circuito	art. 03
Resonancia y FSR del anillo	n_eff·2πR = mλ → λ_m = n_eff·2πR/m (el Fabry-Perot con 2L → 2πR). FSR = λ²/(n_g·2πR) con n_g ≈ 4.2 en SOI, no n_eff = 2.4 (equivocarse cuesta un factor 1.75): R = 10 μm → 2πR = 62.8 μm y FSR = 9.1 nm	art. 04, ej. 1
Acoplamiento crítico	T_res = (a − \|t\|)²/(1 − a\|t\|)², nula si a = \|t\|, con a = e^(−απR) = 10^(−dB_vuelta/20) (amplitud, no potencia). R = 10 μm a 3 dB/cm: 0.019 dB por vuelta → a = 0.998, y el crítico pediría \|κ\|² = 1 − a² = 0.4%. Extinción real 20–30 dB, retocable con calentador (dn/dT = 1.86×10⁻⁴ K⁻¹)	art. 04, ej. 1–2
Factor Q del anillo	Q = λ_res/Δλ_FWHM, luego Δλ_FWHM = λ/Q (Q = 10⁴ → 155 pm a 1550 nm). Q_i = 2π n_g/(αλ) = 2.47×10⁵ con α = 3 dB/cm = 0.69 cm⁻¹ (dB/cm × 0.23); 1/Q_L = 1/Q_i + 1/Q_c y en crítico Q_L = Q_i/2	art. 04, ej. 1
Anillo como sensor	Δλ = λ·Δn_eff/n_g — índice de GRUPO, no efectivo. Δn_eff = 10⁻⁴ con n_g = 4.2 desplaza 37 pm, el 24% de los 155 pm de FWHM de un Q = 10⁴. Usar n_eff = 2.4 daría 65 pm: un 75% optimista	art. 04, ej. 3
Filtro add-drop	E_th/E_in = (t₁ − a·t₂·e^(iφ))/(1 − a·t₁t₂·e^(iφ)), luego el through se anula si t₁ = a·t₂ — con a < 1 eso es κ₁ > κ₂: el acoplador de entrada es el más fuerte, porque tiene que cubrir drop + pérdidas. T_drop = (1−t₁²)(1−t₂²)a/(1−a t₁t₂)², en la práctica 80–95%. F = FSR/Δλ_FWHM = π√(a t₁t₂)/(1 − a t₁t₂) — con la raíz: R = 20 μm y κ₁ = κ₂ = 0.2 dan FSR 4.55 nm, F = 77, Δλ_FWHM = 59 pm y Q ≈ 26 000	art. 05, ej. 1 y 4
Factor de forma y orden del filtro	Ancho a −20 dB entre ancho a −3 dB: un anillo lorentziano ≈ 10; dos anillos 3–4; cuatro o más, 1.5–2, casi rectangular (DWDM a 50 GHz). El precio es un heater por anillo para alinear resonancias	art. 05
Efecto Vernier	FSR_eff = FSR₁·FSR₂/\|FSR₁ − FSR₂\|: 10 y 11 nm dan 110 nm. Para llegar a 40 nm partiendo de R₁ = 10 μm (9.1 nm) hace falta FSR₂ = 7.4 nm, es decir R₂ = 12.3 μm	art. 05, ej. 2
Demultiplexado WDM	N canales = N add-drops sobre el mismo bus. A 1550 nm, 100 GHz ≈ 0.8 nm y 200 GHz ≈ 1.6 nm; 8 canales a 200 GHz piden FSR > 8 × 1.6 = 12.8 nm → R < 7 μm	art. 05
Pérdidas de un demux en cascada	El canal N paga (N−1) × 0.5 dB de through más 1–2 dB de drop: el canal 4 de 4 acumula 2.5–3.5 dB y el canal 1 solo 1–2 dB	art. 05, ej. 3
Acoplador direccional	P_cruzada = sin²(κL): la potencia oscila con periodo 2L_c = π/κ y el 50/50 sale al cortar en L_c/2 = π/(4κ): κ = 0.08 μm⁻¹ → L_c = 19.6 μm, corte a 9.8 μm. Como κ ∝ e^(−γd), 20 nm menos de gap suben κ a 0.104 y ese 50/50 se vuelve 73/27	art. 06, ej. 2
MMI y self-imaging	L_π = 2β₀W_e²/(3π) = 4 n_eff W_e²/(3λ) — el 3 sale de β₀ − β_ν ∝ ν(ν+2), que en ν = 1 vale 3. Entrada centrada (interferencia simétrica): N imágenes en 3L_π/(4N), o sea 1×2 en 3L_π/8, 1×4 en 3L_π/16 y la autoimagen 1×1 en 3L_π/4. Entrada descentrada (general): 2×2 en 3L_π/2. Con W_e = 6 μm y n_eff = 2.8: L_π = 86.7 μm, L_MMI(1×2) = 32.5 μm, área ~195 μm². Las dos imágenes caen en x = ±W_e/4 y la autoimagen en el centro, así que cortar en 3L_π/4 no descompensa el reparto: lo pierde casi todo. ±20 nm de anchura mueven el ratio < 1% y aguanta > 100 nm de banda	art. 06, ej. 1
Qué divisor elegir	direccional 10–20 μm y < 0.1 dB pero sensible al gap y a λ · MMI 8–33 μm el 1×2 (33–130 el 2×2) y 0.2–0.5 dB, tolerante y de banda ancha (> 100 nm) · Y-junction 20–50 μm, 50/50 exacto pero 0.2–1 dB, y 3 dB de pérdida como combinador	art. 06
Matriz de un acoplador 2×2	(t, iκ; iκ, t) con \|t\|² + \|κ\|² = 1: la fase π/2 del puerto cruzado es lo que cancela los términos cruzados y conserva la energía	art. 06, ej. 3
Efecto plasma-dispersión (Soref-Bennett, 1550 nm)	Δn = −8.8×10⁻²²·ΔN_e − 8.5×10⁻¹⁸·ΔN_h^0.8 y Δα = 8.5×10⁻¹⁸·ΔN_e + 6.0×10⁻¹⁸·ΔN_h, con N en cm⁻³ y α en cm⁻¹. Mover el índice siempre añade absorción	art. 07
Inyección frente a depleción	p-i-n en directa: Δn ~10⁻³ pero la recombinación (~1 ns) la deja en ~1 GHz · p-n en inversa: Δn ~10⁻⁴, brazos de 2–4 mm y f_3dB = 1/(2πR_sC_j) = 53 GHz con 3 mm, 200 fF/mm y R_s = 5 Ω. La depleción es el estándar; en OOK la tasa de bits ≈ 1.5× el BW	art. 07
Modulador Mach-Zehnder: T y V_π·L	T = cos²(Δφ/2) = cos²(πV/2V_π) con Δφ = (2π/λ)·Δn_eff·L; el desfase π exige Δn_eff·L = λ/2 = 0.775 μm a 1550 nm. El Δn del material no es el del modo: una unión de depleción a 10¹⁸ cm⁻³ vacía 37 nm de una guía de 500 (3.8% del modo) → Δn_eff ≈ 1×10⁻⁴ por 2 V, L_π = 7.75 mm y V_π·L = 15.5 V·mm, dentro de los 15–30 V·mm (1.5–3 V·cm) que dan los PDK de foundry. El push-pull lo divide por dos	art. 07
MZM de 3 mm, caso cerrado	Δn_eff = 1.0×10⁻⁴ a 2 V y L = 3 mm → Δφ = 1.216 rad, V_π = 2 V × π/1.216 = 5.17 V y V_π·L = 15.5 V·mm. Con 1 V la transmisión solo baja a 0.910 (0.41 dB): 6 dB de extinción piden 3.4 V y el apagado 5.2 V — de ahí el problema del driver	art. 07, ej. 1
Modulador de anillo	Δn ~10⁻⁴ corre la resonancia ~0.1 nm y en el flanco eso da ~10 dB; con 1 V el corrimiento es 0.05 nm, un tercio de los 155 pm de FWHM de un Q = 10⁴ → ~9 dB de extinción	art. 07, ej. 2
Anillo frente a MZM	10 μm y ~10 fJ/bit frente a 2–4 mm y ~1 pJ/bit, pero el anillo deriva ~80 pm/°C (0.6 °C ≈ 0.05 nm ya lo desajusta) y su banda óptica es ~1 nm frente a los ~100 nm del MZM	art. 07
Capacidad por formato	PAM-4, 2 bits/símbolo: 53 GBaud = 106 Gbit/s por lane y 4 lanes = 424 Gbit/s (400GbE). DP-16QAM, 8 bits/símbolo: los mismos 424 Gbit/s en una sola λ. DP-64QAM a 64 GBaud, ~800 Gbit/s por λ	art. 07, ej. 3
Fotodiodo de Ge sobre Si	Responsividad 0.8–1.1 A/W a 1550 nm (Ge absorbe hasta ~1600 nm), banda > 50 GHz, corriente oscura 1–10 nA. Con R = 0.9 A/W y −10 dBm = 100 μW: I_ph = 90 μA y SNR = I_ph/(2qB) = 5625 = 37.5 dB a 50 GHz (q = 1.6×10⁻¹⁹ C)	art. 08, ej. 2
Grating coupler	Λ = λ/(n_eff − n_clad·sen θ): con n_eff 2.8, SiO₂ y θ = 10° salen 608 nm (se fabrican ~630 nm, duty 50%, grabado 70 nm). Al aire, con n_eff 2.75 y Λ = 630 nm, sen θ = 2.75 − 1550/630 = 0.29 → 16.9°. Pérdida 1–3 dB, banda 30–40 nm	art. 08, ej. 1
Edge coupler	Taper invertido de 500 a ~80 nm: el modo se desconfina a 3–5 μm para casar con los ~10 μm de la fibra (desajuste ~400:1 en área). < 1 dB, banda > 100 nm e insensible a la polarización	art. 08
Grating o edge: lo que decide	El grating acopla por la superficie y permite test en oblea; el edge exige cortar y pulir la faceta. Pesa porque el empaquetado es el 50–80% del coste del transceptor	art. 08
Transceptor 400G completo	TX: 4 láseres DFB de InP externos (el Si tiene gap indirecto y no emite) + 4 MZM + mux + coupler. RX: coupler + demux + 4 fotodiodos de Ge + TIAs. 4 MZM de 0.5 × 4 mm = 8 mm², más 0.2 de mux/demux y 0.5 de guías ≈ 9–10 mm², un chip de 3 × 3 mm; con anillos, 1–2 mm²	art. 08, ej. 3
Coeficiente termo-óptico de una guía	dλ/dT = λ·Σᵢ fᵢ(dnᵢ/dT)/nᵢ, con fᵢ la fracción de energía modal en cada material — no la de potencia: en la strip de 500 × 220 el confinamiento de potencia es 0,80 y el de energía 0,95, y con 0,80 saldrían 68 pm/K en vez de 79. Strip SOI (f_Si = 0,95, resto SiO₂): 79 pm/K, contra los 83 del silicio puro. Si₃N₄ (f = 0,70): 16,5 pm/K, 4,8× más estable	art. 09, ej. 1
Del material al modo, y el salto de π	∂n_eff/∂T = n_g·Σᵢ fᵢ(dnᵢ/dT)/nᵢ = 2,15×10⁻⁴ K⁻¹ para el strip 500 × 220 con n_g = 4,2. Y ΔT_π = λ/(2L·∂n_eff/∂T): un calentador de 200 μm pide 18 K	art. 09, ej. 2
Potencia de un calentador	R_th = ΔT/P; modelo de losa R_th = t/(k_SiO₂·A) con los 2 μm del BOX bajo 200 × 6 μm → 1,19 K/mW y P_π = ΔT_π/R_th = 15,2 mW. Un calentador de foundry gasta 20–30 mW: el modelo de losa da el suelo, no la cifra	art. 09, ej. 2
Velocidad, y el compromiso que no se puede romper	τ = R_th·C_th = t²/D (el área se cancela): 4,65 μs con 2 μm de óxido. El producto P_π·τ = ΔT_π·C_th = 70,5 nJ NO lleva R_th dentro, así que aislar 10× baja P_π a 1,52 mW y sube τ a 46,5 μs — se compra potencia con tiempo	art. 09, ej. 2
Diafonía térmica entre elementos	ΔT = P/(2π·k_Si·r) es fuente puntual y sólo vale para r ≫ L; con el calentador de L = 200 μm hay que integrar la raya: ΔT = P/(π·k_Si·L)·arcsinh(L/2r), que a 20 μm da 0,71 K y no 1,53 (k_Si = 130 W/m·K). Un calentador de 25 mW corre la resonancia de un anillo vecino 56 pm a 20 μm, 35 pm a 50 μm y 21 pm a 100 μm — la FWHM de un Q = 10⁴ son 155 pm. Un MZI equilibrado no ve eso, ve la diferencia entre brazos: 0,48 K de gradiente piden el calentador a 21 μm con los brazos a 10 μm, no a 63	art. 09, ej. 4
Presupuesto térmico de un chip	N elementos × ½ × P_π (la mitad de las celdas cruza). Conmutador Benes 8 × 8: 2log₂N − 1 = 5 etapas × N/2 = 4 celdas = 20 MZI → 250 mW térmicos para gobernar 5 mW ópticos, 50× más	art. 09, ej. 3
Sensibilidad a la geometría	Δλ = (λ/n_g)(∂n_eff/∂h·Δh + ∂n_eff/∂w·Δw): S_h = 1,22 nm por nm de espesor y S_w = 0,37 nm por nm de anchura. Un nanómetro de espesor son 7,9 FWHM de un Q = 10⁴, o 15,4 K de calentador; caber en una FWHM exigiría controlar 0,13 nm, una monocapa de Si(001)	art. 09, ej. 3–4
Dispersión en oblea y coste de alinear	σ_λ = √(S_h²σ_h² + S_w²σ_w²) — en cuadratura, no sumadas. Con σ_h = 0,4 nm y σ_w = 1,2 nm: σ_λ = 658 pm y ±3σ = ±2 nm. Sólo el 9,4 % de los anillos cae dentro de su propia FWHM (Q = 10⁴), y sintonizar 6σ = 3,95 nm pide ~50 K	art. 09, ej. 3
Atermalidad, y por qué casi nunca sale	Σᵢ fᵢ(dnᵢ/dT)/nᵢ = 0 con un recubrimiento de dn/dT negativo: en SOI pide f_pol/f_Si = 0,40, o sea f_Si ≤ 0,71, y el strip estándar está en 0,90–0,95. En Si₃N₄ basta f_pol = 0,084, 3,4× más fácil	art. 09, ej. 1
Anillo frente a MZI equilibrado	El error correlacionado de oblea se resta consigo mismo en un MZI de brazos iguales (Δφ = 0 exacto); en un anillo, 1,5 nm de espesor corren la resonancia 1,83 nm = 11,8 FWHM. Lo que sí mata al MZI es el gradiente local: 1 K entre brazos de 3 mm mete 2,61 rad, y 1,2 K ya valen π	art. 09, ej. 4