Dificultad ●○○–●●●, pistas sin soluciones cerradas. La brújula del curso, en tres avisos y una trampa. Primero, casi todas las fórmulas de este curso se escriben con c/n, no con c: la separación de modos de una cavidad es c/(2nL) y el tiempo de vida del fotón es 2nL/(c·ln(1/R₁R₂)), y en un gas eso da igual porque n ≈ 1, pero en un semiconductor n ronda 3,6 y el olvido cambia el resultado por ese factor. Segundo, distingue siempre la ganancia γ (por unidad de longitud, cm⁻¹) del factor de amplificación eγL (adimensional): un HeNe tiene γ ≈ 2,8 × 10⁻⁴ cm⁻¹, que suena ridículo, y amplifica un 0,86 % por pasada, que es exactamente lo que necesita. Y cuidado con la L de esa exponencial, porque hay dos: cuando el barrote es más corto que el resonador, la ganancia se acumula sólo en el barrote y el tiempo de vida del fotón se reparte sobre toda la cavidad. Usar la misma longitud para las dos cosas es un error de un factor dos o tres que no chirría en ningún sitio. Y tercero, el error que más veces se comete en este tema: lo que se calcula sobre el papel es el modo, y lo que se compra es el barrote. La energía almacenada en un medio de ganancia se cuenta por volumen bombeado, pero sólo se extrae la que el modo de la cavidad toca; en un Nd:YAG con cavidad estable, ese solapamiento puede ser inferior al 1 %, y la diferencia entre los dos números son dos órdenes de magnitud de energía por pulso. El problema 5 lo cobra.
Un HeNe de 30 cm tiene un espejo trasero de R₁ = 99,9 %, un acoplador de salida de R₂ = 99 % y pérdidas internas αi = 1 × 10⁻⁴ cm⁻¹ por las ventanas y la dispersión residual. (a) Calcula la ganancia umbral y di qué fracción de ella la ponen los espejos y cuál las pérdidas internas. ¿Cuánto amplifica el medio en una sola pasada? (b) Con una sección eficaz de emisión σ = 3 × 10⁻¹³ cm² a 632,8 nm, ¿qué inversión de población hace falta? (c) El tubo lleva neón a 0,4 torr y trabaja hacia 400 K. ¿Qué fracción de los átomos de neón hay que tener excitados?
Pista
El camino. γth = αi + (1/2L)·ln(1/R₁R₂); divide por σ para la inversión y saca la densidad de neón de p/(kBT).
La trampa. Aquí αi no es despreciable frente a los espejos, al revés que en el artículo 02: tirarla te deja sin una parte grande del umbral.
La comprobación cruzada. p/(kBT) sale en m⁻³ y σ viene en cm²: si tu fracción invertida no es minúscula, hay un factor 10⁶ colado.
Clasifica estas siete cavidades de longitud L calculando gi = 1 − L/Ri: (i) R₁ = R₂ = ∞; (ii) R₁ = R₂ = L; (iii) R₁ = ∞, R₂ = L; (iv) R₁ = ∞, R₂ = 2L; (v) R₁ = R₂ = L/2; (vi) R₁ = R₂ = 2L; (vii) R₁ = R₂ = L/3. (a) ¿Cuáles son estables? (b) Dos de las estables están exactamente sobre el borde g₁g₂ = 1 y dos exactamente sobre g₁g₂ = 0. ¿Cuáles, y por qué los dos bordes no son igual de malos? (c) ¿Por qué un HeNe comercial casi nunca es plano-plano, y por qué en cambio sí se usa la configuración (iii)?
Pista
El camino. Tabula g = 1 − L/R para los catorce espejos, multiplica por pares y aplica 0 ≤ g₁g₂ ≤ 1.
La trampa. El criterio es sobre el producto, no sobre cada g: hay cavidades estables con g negativo, y un g fuera de [0, 1] no descalifica por sí solo.
La comprobación cruzada. Con dos espejos iguales el producto es g² y no puede salir negativo; si te sale, hay un signo mal.
Metes un diodo Fabry-Perot de InGaAsP en un analizador de espectros ópticos. La cavidad son las dos caras clivadas del chip, separadas 300 μm, y el peine de modos aparece centrado en 1310 nm con una separación medida de 0,79 nm. (a) Deduce el índice de grupo del material. (b) Traduce esa separación a frecuencia y cuenta cuántos modos longitudinales caben en los 5 THz de ancho de ganancia del semiconductor. Compara con lo que sale de usar Δν = c/2L a secas. (c) Con n = 3,2 para la reflexión en la cara clivada, calcula la reflectancia de la faceta, el tiempo de vida del fotón y el factor de calidad de la cavidad.
Pista
El camino. Elimina Δν entre Δν = c/(2ngL) y Δλ = λ²Δν/c, y ng queda despejado en λ, L y Δλ.
La trampa. Hay dos índices y no son el mismo: el espaciado lo fija ng y la reflectancia el n = 3,2 del enunciado. Cruzarlos estropea (a) y (c).
La comprobación cruzada. Tu ng tiene que salir mayor que ese 3,2: cerca de la banda la dispersión es normal y el índice de grupo va por encima del de fase.
Un láser de fibra de iterbio da 2 kW a 1070 nm con M² = 1,3, colimado a un radio w = 10 mm, y se focaliza con una lente de f = 200 mm. (a) Calcula la cintura focalizada y la irradiancia de pico. Para un haz real, el factor M² entra multiplicando: w₀′ = M²fλ/(πw), y la divergencia es θ = M²λ/(πw₀′). (b) Calcula el rango de Rayleigh en el foco. Si hay que cortar una chapa de 10 mm de espesor, ¿sirve este cabezal? (c) ¿Qué cintura haría falta, qué óptica la produce, y cuánto se paga en irradiancia?
Pista
El camino. Con las dos fórmulas del enunciado saca w₀′, luego I₀ y zR; el apartado (c) es la misma cadena al revés.
La trampa. La chapa de 10 mm no pide zR ≥ 10 mm sino la mitad: el foco va en el centro y la profundidad útil es 2zR.
La comprobación cruzada. θ = w/f tiene que salirte independiente de M² y de λ; si tu divergencia cambia con M², lo has aplicado dos veces.
Un Nd:YAG en Q-switch tiene un barrote de 6 mm de diámetro y 10 cm de largo (σ = 2,8 × 10⁻¹⁹ cm², λ = 1064 nm) dentro de una cavidad confocal de 30 cm con espejo trasero total y acoplador de salida del 50 %. Las pérdidas internas del barrote son 0,005 cm⁻¹. (a) Calcula la ganancia umbral y la inversión umbral. (b) Si el bombeo acumula una inversión de cuatro veces la umbral antes de abrir el Q, ¿cuánta energía se puede extraer? (c) Estima la duración del pulso a partir del tiempo de vida del fotón y da la potencia de pico y la fluencia sobre la cara del barrote. (d) Ahora la pregunta que decide si el aparato funciona: la cintura del modo TEM₀₀ de una cavidad confocal vale w₀ = √(λL/2π). ¿Qué fracción del barrote toca ese modo, y qué le pasa a la respuesta del apartado (b)?
Pista
El camino. Vuelve a la condición de umbral: la ganancia sólo se acumula en el barrote, pero el fotón recorre la cavidad entera.
La trampa. El enunciado da el diámetro del barrote y el solapamiento se mide con radios; y hay dos longitudes, 10 y 30 cm, una por fórmula.
La comprobación cruzada. La energía de (d) es la de (b) por la fracción que toca el modo: si sale del mismo orden, sobra barrote.
El artículo 06 dice que un tren de pulsos mode-locked tiene por espectro un peine de líneas separadas por el FSR, y que estabilizándolo se llega a una precisión de 10⁻¹⁸. Vamos a comprobar si la primera frase basta para la segunda. Toma un Ti:zafiro con frep = 100 MHz en torno a 800 nm. (a) Si las líneas fuesen νm = m·frep, ¿qué número de modo corresponde a 800 nm? ¿Sale entero? (b) Dentro de la cavidad, la portadora viaja a c/n y la envolvente a c/ng, así que en cada ida y vuelta la portadora se desliza bajo la envolvente un ángulo Δφ. Convéncete de que eso obliga a escribir νm = fceo + m·frep, y calcula fceo para Δφ = π/2 por vuelta. (c) ¿Cuánto vale el error relativo de dar una frecuencia óptica ignorando fceo? Compáralo con los 10⁻¹⁸ prometidos. (d) La técnica que lo mide se llama f–2f y necesita que el peine cubra una octava. Convéncete de que, doblando la línea de 1100 nm y batiéndola contra la de 550 nm, el batido es exactamente fceo. ¿Qué hace falta para tener esa octava?
Pista
El camino. Divide la frecuencia óptica entre frep y mira los decimales; luego traduce el desliz de fase por vuelta a un corrimiento del peine.
La trampa. fceo no ensancha el peine, lo desplaza: si tu corrección depende de m, has escalado en vez de mover.
La comprobación cruzada. Lo que sobrevive a 2νm − ν2m no puede contener m: si tu batido depende de un entero de siete cifras, está mal.
Fin del curso 05. Con esto ya sabes calcular un láser de principio a fin: cuánta inversión necesita para arrancar —y qué fracción ridícula del material es—, si su cavidad tiene modo y de qué tamaño, cuántas frecuencias oscilan y cómo de juntas, cuánta energía almacena, cuánta se puede sacar de verdad y en qué punto no llega a la chapa. Lo que falta es lo que el problema 6 acaba de dejar al descubierto: los tres componentes que hacen falta para cerrar un peine de frecuencias —doblar, ensanchar el espectro y mezclar dos colores— no existen en este curso, porque todos ellos exigen que la respuesta del material deje de ser proporcional al campo. El curso 06 rompe esa proporcionalidad: escribe la polarización como serie de potencias, deduce por qué χ⁽²⁾ se anula en los materiales con centro de inversión, resuelve el problema del phase matching que hace la diferencia entre un factor un millón de eficiencia, y llega hasta los solitones y la plasmónica no lineal. Ahí es donde el puntero verde deja de ser un producto y pasa a ser un cálculo, y donde los gigavatios de pico que el mode-locking acaba de fabricar encuentran para qué servir.