La hoja de problemas · Nanofotónica

Dificultad ●○○–●●●. Cada pista son tres líneas —el camino, la trampa y una comprobación que aplicas a tu número— y ninguna de las tres da el resultado. La brújula del curso, en tres avisos, y el tercero es el que separa un cálculo de nanofotónica de un número inventado. Primero: el factor de Purcell mide la tasa total de desexcitación, no los fotones que salen. Junto a un metal, $F_P = 500$ puede significar que el 98 % de la energía se va en calor — el ejercicio 2 del artículo 02 ya lo enseñaba, y aquí se convierte en criterio de diseño. Segundo: el signo del efecto lo decide la eficiencia cuántica de partida. Una antena ayuda a un emisor malo y estropea a uno bueno, y quien no diga con qué $\eta_0$ empieza no ha planteado el problema. Y tercero, el error que este curso invita a cometer más que ningún otro: cada fórmula de aquí tiene un dominio de validez marcado por una longitud, y los resultados espectaculares aparecen justo al pasarse. La aproximación dipolar muere cuando el objeto se acerca a $\lambda$ ; los eigenmodos electrostáticos, hacia $\lambda/10$ ; el acoplo dipolo-dipolo, cuando el hueco baja de un quinto del radio; la fórmula de Purcell, cuando la tasa del emisor alcanza la de la cavidad. Cuando salga un factor de un millón, la primera pregunta no es «¿qué bonito, no?», sino «¿sigo dentro del dominio de la fórmula que he usado?».

Necesitas: el curso 09 completo, y del curso 08, artículo 01, que la tasa de emisión es la parte imaginaria de la función de Green evaluada en la posición del propio emisor. Los problemas 1, 2 y 5 son el artículo 02; el 3 evalúa la dispersión del artículo 06 y comprueba el array contra el 03; el 4 es la hibridación del 05; el 6 cierra con la conductividad de lámina del 06 y usa la cota unitaria del curso 08, artículo 06.

Problema 1 ●○○ · La distancia a la que el oro deja de ayudar

El artículo 02 afirma que la distancia óptima entre un emisor y un metal noble es de 10 a 30 nm, pero no dice de dónde sale. Sácala. Para un dipolo perpendicular a una superficie metálica plana, a una distancia $z$ en el vacío, la tasa no radiativa en el límite de campo cercano es

\frac{\Gamma_{\text{nr}}}{\Gamma_0} = \frac{3}{4(kz)^3}\,\text{Im}\!\left[\frac{\varepsilon-1}{\varepsilon+1}\right].

(a) Para oro a 700 nm ( $\varepsilon = -15{,}9 + 1{,}05\,i$ ), ¿a qué distancia el canal no radiativo iguala a la emisión libre? (b) Un dipolo paralelo se acopla la mitad: ¿qué distancia le corresponde, y por qué el cociente entre las dos no depende del metal? (c) ¿Cuánto vale $\Gamma_{\text{nr}}/\Gamma_0$ a 10 nm? (d) Repite con plata ( $\varepsilon = -22{,}3 + 0{,}39\,i$ ) y explica la diferencia.

Pista

Camino. Iguala $\Gamma_{\text{nr}}/\Gamma_0$ a uno y despeja $z$ : todo el material entra por un solo número.

Trampa. El cociente complejo hay que racionalizarlo entero: no es $\text{Im}\,\varepsilon$ partido por nada, y sale mucho menor.

Comprobación. Las cuatro distancias deben ordenarse como la raíz cúbica de sus factores; si una rompe el orden, revisa el cociente.

Problema 2 ●○○ · Más rápido no es más brillante

Una antena plasmónica multiplica por 20 la tasa radiativa de un emisor y le añade un canal de absorción en el metal equivalente a 200 veces esa misma tasa radiativa libre. La desexcitación no radiativa interna del emisor no cambia: la antena no sabe nada de ella. (a) Escribe la eficiencia cuántica resultante en función de la de partida $\eta_0$ . (b) Evalúala para un emisor bueno ( $\eta_0 = 0{,}9$ , un punto cuántico) y para uno malo ( $\eta_0 = 0{,}01$ , un colorante apagado por su entorno). (c) ¿Cuántos fotones por segundo da cada uno respecto a antes? Piensa la respuesta dos veces: depende de cómo bombees.

Pista

Camino. Separa $\Gamma_0$ en su parte radiativa y su parte interna antes de tocar nada: la antena actúa sobre una y no sobre la otra.

Trampa. La interna no se multiplica por ningún factor; meterla dentro del Purcell borra justo la diferencia entre el emisor bueno y el malo.

Comprobación. Prueba los dos extremos: con $\eta_0 \to 0$ debe anularse, y con $\eta_0 = 1$ no puede quedar rastro de $\eta_0$ .

Problema 3 ●●○ · Una cinta de grafeno afinada al dióxido de carbono

Se quiere un filtro de grafeno que resuene exactamente sobre la banda de tensión asimétrica del CO₂, en 2349 cm⁻¹, para hacer espectroscopía amplificada de superficie. La cinta cuantiza el plasmón en $q_1 = \pi/W$ y la dispersión es la del artículo 06. (a) Evalúa en números absolutos la frecuencia de una cinta de 100 nm con $E_F = 0{,}4$ eV sobre SiO₂ ( $\bar{\varepsilon} = 2{,}5$ ) y compárala con los ~1500 cm⁻¹ que da el artículo. (b) Diseña la cinta para el CO₂ sobre CaF₂ ( $n = 1{,}4$ , transparente en el infrarrojo medio) con $E_F = 0{,}6$ eV. (c) Comprueba que sigues dentro del régimen intrabanda. (d) Las cintas se fabrican en un array de periodo 200 nm: ¿dónde cae la anomalía de Rayleigh del artículo 03, y qué papel juega?

Pista

Camino. Mete $q_1 = \pi/W$ en la dispersión del artículo 06 para (a) y despeja la anchura en (b), fijando antes el promedio de cada sustrato.

Trampa. El promedio es de permitividades, y de CaF₂ te dan el índice: elévalo al cuadrado antes de promediar.

Comprobación. Mete tu anchura de (b) del derecho en la dispersión: debe devolver los 2349 cm⁻¹ del CO₂; si no, el fallo está en el promedio.

Problema 4 ●●○ · La partícula sobre el espejo

Una esfera de oro de 80 nm de diámetro se deposita sobre un espejo de oro con una monocapa molecular de 1 nm por medio. Por el método de las imágenes, el sistema equivale a un dímero: la partícula y su imagen, separadas por un hueco de 2 nm. (a) Con el modelo dipolar del artículo 05 y su ancla numérica ( $\delta\lambda = 20$ nm a $d = 100$ nm, con $a = 40$ nm y $\lambda_0 = 530$ nm), predice dónde cae el modo enlazante. (b) La «regla del plasmón», ajustada empíricamente a dímeros reales, dice $\delta\lambda/\lambda_0 = 0{,}18\,e^{-(s/D)/0{,}23}$ con $s$ el hueco y $D$ el diámetro de la partícula. ¿Qué predice? (c) Un sistema así se mide en torno a 750 nm. Cuantifica el fallo del modelo dipolar y comprueba con el criterio del propio artículo 05 que era esperable.

Pista

Camino. Escala el ancla del artículo 05 como $1/d^3$ con $d$ la separación centro a centro del dímero imagen, y reparte el salto entre los dos modos.

Trampa. El hueco del dímero es el doble del espaciador, y el exponente de (b) lleva el diámetro, no el radio.

Comprobación. Mide tu hueco contra el umbral $a/5$ del artículo 05 antes de creerte (a): por debajo de él, el desacuerdo es la predicción.

Problema 5 ●●● · Una picocavidad de cuarenta nanómetros cúbicos

El hueco de la estructura del problema anterior confina luz en un volumen modal de unos 40 nm³ con $Q = 12$ , a 750 nm y en un medio de índice 1,4. (a) Aplica la fórmula de Purcell del artículo 02 y obtén $F_P$ . (b) Para una molécula con momento dipolar de transición de 1 debye, calcula $\Gamma_0 = \omega^3\mu^2 n/(3\pi\varepsilon_0\hbar c^3)$ , la tasa acelerada y el tiempo de vida resultante. Compáralos con la vida del fotón en la cavidad, $1/\kappa = Q/\omega$ . (c) La fórmula de Purcell supone que la cavidad es mala, es decir $\Gamma \ll \kappa$ : la luz sale de la cavidad antes de volver al emisor. ¿Hasta qué $Q$ aguanta esa hipótesis con este volumen y este dipolo? (d) ¿Y qué haría falta para llegar al acoplo fuerte?

Pista

Camino. Purcell del artículo 02 para (a); $\Gamma_0$ de su fórmula, la acelerada es $F_P$ veces ésa, y su inversa contra la vida del fotón.

Trampa. El volumen modal se compara con $(\lambda/n)^3$ , no con $\lambda^3$ : con la de vacío $F_P$ se infla casi un factor tres.

Comprobación. En (c), $Q$ sube $\Gamma$ y baja $\kappa$ a la vez: la condición es cuadrática, y si tu despeje sale lineal has congelado una.

Problema 6 ●●● · El cincuenta por ciento que no se puede pasar

Una lámina conductora de espesor nulo y conductividad de superficie $\sigma_s$ , suspendida en el vacío, tiene coeficientes de reflexión y transmisión $r = -\zeta/(2+\zeta)$ y $t = 2/(2+\zeta)$ , con $\zeta = \sigma_s Z_0$ y $Z_0 = 377$ Ω. (a) Escribe la absorción y encuentra el máximo sobre $\zeta$ . (b) El grafeno tiene $\sigma_s = e^2/4\hbar$ en el visible: comprueba que eso da el famoso 2,3 % y di cuánto le falta para el máximo. (c) En el máximo, calcula qué fracción de la energía se dispersa y compárala con la absorbida. ¿Dónde has visto antes ese resultado? (d) Pon un espejo perfecto detrás, a $\lambda/4$ : ahora $A = 4\zeta/(1+\zeta)^2$ . ¿Cuál es el máximo, y por qué es otro?

Pista

Camino. Escribe $A = 1-|r|^2-|t|^2$ con las expresiones dadas y deriva respecto a $\zeta$ real; en (d) repite con la $A$ que te dan.

Trampa. En (c) lo dispersado hacia delante es $|t-1|^2$ , no $|t|^2$ : la onda incidente sigue ahí y hay que restarla antes del cuadrado.

Comprobación. Mete cada $\zeta$ óptimo de vuelta: sin espejo debe dar $|r| = |t|$ y con espejo reflexión cero; si no, ése no es el máximo.

Fin del curso 09, y fin del Fotonario. El recorrido cierra donde ningún libro de óptica empieza: en un dipolo que no tiene una tasa de emisión propia, sino la que le dicta el sitio donde está. Con estos nueve cursos sabes descomponer una imagen en rejillas y volverla a montar con una lente, simular Maxwell por cinco métodos distintos, dimensionar una fibra y un chip de silicio, construir un láser y estirarlo hasta el femtosegundo, doblar frecuencias en un cristal no lineal, atrapar luz en un metal por debajo del límite de difracción, deducir de dónde sale la permitividad y, aquí, cambiar la emisión espontánea moviendo un emisor veinte nanómetros. Lo que ha ido apareciendo en cada curso es siempre la misma pareja de ideas: una función de respuesta y una cota — el número V y su condición monomodo, el acoplamiento crítico, Kramers-Kronig, la regla de suma, el límite dipolar, el 50 % de una lámina. Las cotas son lo que queda cuando se agota el ingenio, y saber cuáles son es la diferencia entre optimizar un diseño y perseguir uno imposible. Lo que este sitio deja abierto también tiene nombre y conviene decirlo: la polarización apenas aparece, la difracción de Fresnel no se calcula, la holografía no está, y la óptica geométrica —la primera de todas— tampoco. Nada de eso es un olvido: es la lista de por dónde seguirá creciendo. Mientras tanto, la caja de herramientas está entera y afilada, y las hojas de problemas son el sitio donde se comprueba si de verdad corta.