La hoja de problemas · Óptica de Fourier

Dificultad ●○○–●●●, pistas sin soluciones cerradas. La brújula del curso son tres preguntas que hay que contestarse antes de escribir la primera fórmula. Primera y más cara: ¿se suman amplitudes o intensidades? Con un láser el sistema es lineal en amplitud y la máscara es la CTF, con corte en NA/λ; con una lámpara es lineal en intensidad y la máscara es la OTF, con corte en 2NA/λ. Son un factor dos de resolución, y confundirlos es el error que suspende el capítulo de formación de imagen. Segunda: ¿cuál es la distancia que escala el plano de frecuencias? En propagación libre es $u = x_P/(\lambda z)$ con la distancia a la pantalla; con lente es $u = x'/(\lambda f)$ con la focal, y $f$ no es $z$ . Tercera: ¿estás midiendo campo o intensidad? El detector registra $|F|^2$ y tira la fase, que es justo donde vive la estructura. Y un aviso de unidades que cuesta tiempo real: la ecuación de la rejilla trabaja en ángulos ( $\sin\theta$ ) y la MTF en ciclos por milímetro; el puente entre las dos es $u = \sin\theta/\lambda$ , y hay que cruzarlo a mano.

Necesitas: el curso 01 completo. Los problemas 1 y 2 usan la ecuación de la rejilla del artículo 02 y la escala

x' = \lambda f u

del 03; el 3 combina el límite de Abbe del artículo 04 con la distinción CTF/OTF del 05; el 4 encadena la PSF y la MTF del 05 con el filtro de Wiener del 06; el 5 y el 6 viven en la coherencia del artículo 07 — el 6 es el primer sitio donde el teorema de Wiener-Khintchine se usa para algo. Del curso 02, artículo 02 sólo hace falta saber que una interfaz aire-vidrio refleja un 4 %, y sólo en el problema 2.

Problema 1 ●○○ · El doblete del sodio y la rejilla que sobra

Un espectrómetro de laboratorio lleva una rejilla de 600 líneas/mm sobre la que el haz ilumina una banda de 25 mm de ancho. Se observa la emisión del sodio, que a 589 nm es en realidad un doblete de dos líneas separadas 0,597 nm. (a) ¿En qué ángulos aparecen los órdenes 1 y 2, y por qué no hay orden 3? (b) ¿Cuántas rendijas ilumina el haz, y basta el poder resolutivo del primer orden para separar el doblete? ¿Qué anchura mínima de rejilla habría bastado? (c) ¿Cuánto mide angularmente un máximo principal, y cuántos ceros y cuántos máximos secundarios hay entre dos consecutivos?

Pista

Todo sale de $d\sin\theta = m\lambda$ con $d$ = 1/600 mm: los ángulos, el orden que ya no cabe, el $R = mN$ y la anchura $\lambda/(Nd\cos\theta)$ .

Ojo: $N$ son las rendijas iluminadas, los 25 mm, no las que tenga la rejilla — y $Nd$ es esa misma anchura.

Cruza (b): la anchura mínima que despejes tiene que dar el mismo margen que $R/(\lambda/\Delta\lambda)$ . Si no, una de las dos está mal.

Problema 2 ●○○ · Borrar el tramado de una revista

Una fotografía impresa en una revista lleva un tramado de semitonos de 60 líneas/cm que se quiere eliminar sin tocar la imagen. Se monta un sistema 4f con dos lentes de $f$ = 200 mm y 50 mm de diámetro, iluminado con un He-Ne de 633 nm. (a) ¿Dónde caen en el plano de Fourier los órdenes del tramado? Diseña la máscara. (b) Un compañero propone algo más simple: un agujero centrado que deje pasar sólo lo que hay por dentro del primer orden. ¿Qué detalle mínimo sobrevive a esa solución? (c) ¿Cuál es la frecuencia espacial más alta que el montaje puede transmitir, y qué la limita?

Pista

Pasa el tramado a ciclos/mm y llévalo al plano de Fourier con $x' = \lambda f u$ ; la máscara se diseña sobre posiciones, no sobre bandas.

Ojo: en (c) el límite lo pone el radio de la lente, $\lambda f u \le D/2$ , y el enunciado te da el diámetro.

Comprueba las posiciones por otro camino: el tramado difracta a $\theta = \arcsin(\lambda u)$ y la lente lo lleva a $f\tan\theta$ ; tiene que coincidir.

Problema 3 ●●○ · La rejilla que se ve con lámpara y no con láser

Un objetivo seco de apertura numérica 0,65 se usa a 550 nm para mirar una rejilla de prueba de 600 nm de periodo. (a) Calcula las dos frecuencias de corte del objetivo, la coherente y la incoherente, y los periodos que les corresponden. (b) ¿Se ve la rejilla con iluminación incoherente? ¿Y con un láser en incidencia axial? ¿Y con un láser en incidencia oblicua? (c) «Se ve» y «se ve bien» no son lo mismo: calcula el contraste con el que llega esa rejilla a la imagen incoherente sabiendo que la MTF de una pupila circular limitada por difracción es $\text{MTF}(s) = (2/\pi)\left[\arccos s - s\sqrt{1-s^2}\right]$ , con $s$ la frecuencia normalizada al corte.

Pista

Pon la rejilla y los dos cortes en la misma unidad y compáralos: el coherente es $\text{NA}/\lambda$ , el incoherente $2\,\text{NA}/\lambda$ .

Ojo: la $s$ de la MTF se normaliza al corte incoherente; con el coherente sale $s$ > 1 y el arccos no existe.

Comprueba (a): el periodo del corte incoherente tiene que ser justo el límite de Abbe $\lambda/(2\,\text{NA})$ del artículo 04.

Problema 4 ●●○ · Veinte micras de barrido, y lo que se puede deshacer

Una cámara de vigilancia con píxeles de 4 µm dispara mientras el encuadre se desplaza: durante la exposición, la imagen barre 20 µm sobre el sensor en horizontal. (a) Escribe la PSF y su MTF, y localiza los ceros. ¿Cuántos caen por debajo de la frecuencia de Nyquist del sensor? (b) La imagen tiene una relación señal-ruido de 40 dB en potencia. Con el filtro de Wiener del artículo 06, ¿qué banda de frecuencias es irrecuperable, y cuál es su anchura? (c) Compara el resultado con lo que pasaría si la degradación fuese un desenfoque gaussiano de la misma anchura. ¿Cuál de las dos se deshace mejor, y por qué?

Pista

Rectángulo de anchura $L$ en la PSF, sinc en la MTF, ceros en múltiplos de $1/L$ ; la muesca irrecuperable se acota linealizando el sinc en cada cero.

Ojo: Wiener se rinde donde $|H|^2$ baja de $K$ , o sea donde $|H|$ baja de $\sqrt K$ ; con $K$ salen cien veces más estrechas.

Al linealizar queda un factor $k$ , el orden del cero: si las dos muescas te salen iguales, revísalo antes de sumar la banda perdida.

Problema 5 ●●● · Medir Betelgeuse sin llegar a resolverla

En diciembre de 1920, Michelson y Pease montaron sobre el telescopio Hooker de 100 pulgadas una viga con dos espejos separables y apuntaron a Betelgeuse. Al abrir la separación, las franjas de interferencia se desvanecieron por completo con los espejos a 3,07 m, trabajando a unos 570 nm. (a) Modelando la estrella como un disco uniforme, deduce su diámetro angular. (b) A 168 pc de distancia, ¿cuánto mide en unidades astronómicas y en radios solares? (c) ¿Podría el propio Hooker haberla resuelto en imagen directa? ¿Y desde el suelo, con un seeing de 1 segundo de arco? Explica por qué la medida de coherencia sí funciona donde la imagen no.

Pista

Van Cittert-Zernike al revés: la visibilidad de un disco uniforme se anula cuando el argumento de $J_1$ llega a su primer cero; de ahí sale el diámetro angular.

Ojo: la $d$ de esa fórmula es la separación de los espejos; la $D$ del apartado (c) es el diámetro del telescopio.

Comprueba (b) por la definición de pársec: el ángulo en segundos de arco por la distancia en pc da el tamaño en UA directamente.

Problema 6 ●●● · Por qué un FTIR no puede medir la anchura de un He-Ne

Un espectrómetro FTIR es un interferómetro de Michelson cuyo brazo móvil barre una diferencia de camino máxima de 2 cm; lo que registra es la intensidad frente a la diferencia de camino —el interferograma— y el espectro se obtiene transformándolo. (a) ¿Por qué el interferograma es la función de autocorrelación del campo, y por qué su transformada es el espectro? (b) ¿Qué resolución espectral tiene el instrumento, en cm⁻¹ y en GHz? (c) Se mete en el interferómetro un He-Ne con Δν = 1,5 GHz. ¿Qué anchura mide el aparato, y qué barrido haría falta para medir la de verdad? Compárala con la longitud de coherencia del propio láser. (d) ¿Qué se ve si en vez del láser se mete luz solar?

Pista

Desarrolla $|E(t)+E(t+\tau)|^2$ y promedia: el término cruzado es la autocorrelación, y la ventana finita del barrido fija la resolución.

Ojo: los términos cuadráticos dejan un fondo constante; sin restarlo, la FFT devuelve una delta en $\sigma = 0$ que se come el espectro.

Comprueba (b): $\delta_{\max}\Delta\sigma = 1$ , así que duplicar el barrido tiene que partir la resolución exactamente por dos.

Fin del curso 01. Con esto sabes leer cualquier montaje óptico como una cadena de transformadas: qué frecuencia espacial ocupa cada detalle, dónde cae en el plano de Fourier, qué se la come, con qué contraste sobrevive y qué parte de lo comido se puede devolver. Puedes dimensionar un espectrómetro, decidir si un objetivo verá una estructura, diseñar la máscara que borra un tramado, saber cuánto de una foto movida es recuperable y medir una estrella que no se resuelve. Y sabes lo más difícil de todo, que es cuándo dejar de fiarte: la palabra «resolución» esconde una MTF entera, y el detector siempre tira la fase.

Lo que falta, dicho sin disimulo. El campo cercano ya no falta: los artículos 02b y 02c traen el número de Fresnel, la integral de Fresnel, el espectro angular, las zonas y la placa zonal, y ninguno de los seis problemas de esta hoja los toca — entrénalos con los ejercicios de esos dos artículos. Lo que sigue faltando es todo lo que exige tratar la luz como un vector: aquí no hay polarización, ni una sola cuenta que distinga la componente s de la p, ni el paso de la teoría escalar de la difracción a la vectorial. Tampoco hay holografía ni speckle. Son huecos declarados, no olvidos.

Todo lo de aquí, además, se apoya en aproximaciones: paraxial, escalar, y con las lentes tratadas como fases cuadráticas perfectas. Funciona asombrosamente bien y tiene un límite, y ese límite se llama resolver Maxwell sin aproximar. El curso 02, Óptica numérica, es exactamente eso: discretizar las ecuaciones y dejar que un ordenador las integre —capa a capa con matrices, celda a celda en el tiempo, dipolo a dipolo, sobre una malla o sólo sobre el borde— para geometrías donde no hay ninguna fórmula que aplicar. Empieza donde éste acaba: en el momento en que la abertura deja de ser una función de transmisión y pasa a ser una estructura con volumen, índice y esquinas.