La hoja de problemas · Polarización

El ejemplo resuelto del artículo 03 midió seis intensidades que cerraban a la primera. Éstas no. El mismo montaje —polarizador giratorio, y una lámina de cuarto de onda con el eje rápido horizontal para las dos últimas— entrega, en unidades arbitrarias:

(a) Haz la comprobación de consistencia y di qué pareja falla. Explica por qué esa comprobación, por sí sola, no puede decir cuál de las dos lecturas de esa pareja es la culpable. (b) De las seis medidas, ¿cuántas son estrictamente necesarias para reconstruir $\mathbf{S}$? Da un subconjunto mínimo que funcione y otro del mismo tamaño que no funcione, y di qué se pierde al quedarse con el mínimo. (c) Suponiendo que sólo una de las seis lecturas está mal, demuestra primero que tiene que estar en la pareja del apartado (a) y decide después cuál de las dos es, con un argumento físico y no estadístico. Reconstruye $\mathbf{S}$, el grado de polarización, $\psi$, $\chi$ y el valor que debería haber dado la lectura mala. (d) En otra sesión, las tres sumas salen 8,00, 7,84 y 7,68 en el orden en que se midieron, y ninguna lectura es absurda. ¿Qué ha pasado, cómo se distingue de un fallo de lectura, y qué parte de la información se salva sin repetir el experimento?

El artículo 02 multiplicó dos láminas; aquí hay tres, ya pegadas en sus monturas con los ejes fijos, y lo único que se puede elegir es el orden. A es una lámina de cuarto de onda con el eje rápido a 0°, B una lámina de media onda con el eje rápido a 22,5° y C otra $\lambda/4$ con el eje rápido a 45°. Entra luz lineal horizontal.

(a) Escribe las tres matrices con $W(\delta,\theta) = R(\theta)\,\text{diag}(1, e^{i\delta})\,R(-\theta)$ y comprueba que las tres son unitarias. (b) Calcula la salida de las seis permutaciones e identifica cada estado por su nombre. ¿Cuántos estados distintos producen los seis órdenes? (c) Los órdenes que coinciden, ¿coinciden por casualidad? Explícalo sobre la esfera de Poincaré, donde cada lámina es un giro rígido de la bola alrededor del eje de sus autoestados: di el eje y el ángulo de cada una de las tres y traduce el resultado de (b) a composición de giros. (d) De los estados de (b), ¿cuáles son circulares y de qué mano? Si necesitas la contraria, ¿cuál es el cambio más pequeño que se puede hacer en una montura para conseguirla? Y compara dos tolerancias frente a un error $\epsilon$ en el ángulo de la lámina B: cuánto aguanta el orden que da circular antes de que la fracción circular baje del 99 %, y cuánto aguanta el que devuelve horizontal. Una de las dos respuestas no es un número: explica por qué.

El ejercicio 3 del artículo 02 avisó de que un retardador es recíproco y de que lo que bloquea un retorno cualquiera es el giro de Faraday. Aquí se construyen los dos montajes y se mide la diferencia. Un aislador de 1064 nm lleva un $\text{Tb}_3\text{Ga}_5\text{O}_{12}$ (TGG) con constante de Verdet $V = 40$ rad/(T·m) a esa longitud de onda, dentro de un imán de $B = 1{,}00$ T, entre un polarizador de entrada a 0° y un analizador a 45°. El giro vale $\varphi = VBL$. Trabaja siempre en los ejes fijos del laboratorio.

(a) Dimensiona $L$ para 45°. (b) Escribe con matrices de Jones la ida y la vuelta —el retorno es un haz que entra por el analizador— para dos versiones del aparato: una con el TGG y otra en la que el rotador es activo ópticamente (cuarzo cortado perpendicular al eje, que gira los mismos 45° a la ida). Da la transmisión de ida y la de vuelta de cada uno. (c) El mismo aparato se instala en un láser de Yb a 1030 nm. Con $V \propto 1/\lambda^2$, calcula el nuevo giro, la fuga en retorno en decibelios y la pérdida de ida; después di qué habría que cambiar —y cuánto— para recuperar los 45°, por los dos caminos posibles. ¿Qué error de longitud del cristal tolera un aislamiento de 30 dB? (d) Demuestra que ninguna combinación de polarizadores y retardadores, por larga que sea, puede aislar. Pista de método: mira la simetría de las matrices de Jones de cada familia y qué le pasa a un elemento recíproco cuando el haz lo atraviesa al revés.

Un proveedor ofrece una celda de nemático torcido y adjunta esta ficha: espesor $d = 3{,}0$ μm, mezcla con $\Delta n = 0{,}085$ «elegida para minimizar la dispersión cromática», $K_{11} = 12$ pN, $\Delta\varepsilon = -4{,}5$, $V_{th} = 1{,}7$ V, tiempo de apagado 12 ms y contraste 300:1 en todo el visible. La celda de 5CB del artículo 04 —5 μm, $\Delta n = 0{,}18$— sirve de referencia. Hay más de un error, y uno de ellos no hace la celda mala sino imposible.

(a) Comprueba la condición de Mauguin a 450, 550 y 650 nm y di qué le pasa al contraste prometido. (b) Recalcula $V_{th}$ con las constantes de la ficha. El número que sale coincide con el declarado: explica entonces qué está mal, y qué geometría de panel —de las que el artículo 04 nombra al final— es la que corresponde de verdad a ese material. (c) El proveedor se ofrece a arreglar Mauguin engordando la celda sin cambiar la mezcla. Calcula el espesor que haría falta y el tiempo de apagado resultante, y enuncia el compromiso entre $d$, $\Delta n$ y $\tau$ como una desigualdad entre las tres especificaciones. (d) Propón el único cambio de una línea de la ficha que salva el mayor número de especificaciones, di cuál queda sin salvar y en cuánto, y comprueba qué le pasa al voltaje umbral y al campo umbral con ese cambio.

El ejercicio 5 del artículo 04 cerró con que la sílice fundida se queda en $\Delta_{\max} = 42{,}2°$, por debajo de los 45° que exige un rombo de dos reflexiones, y concluyó que en el ultravioleta —donde la sílice es el material obligado— hay que renunciar al rombo. Aquélla era la sílice del visible. Rehaz la cuenta donde se va a usar el aparato. Índices, de las ecuaciones de Sellmeier de Malitson:

(a) Tabula $\Delta_{\max}$ para los diez casos y di, con el $n_{\min}$ del artículo, dónde hay rombo de dos reflexiones y dónde no. Localiza además la longitud de onda por encima de la cual la sílice deja de servir: ese número convierte la frase del artículo en una frase con dominio de validez. (b) Diseña el rombo de KrF: los dos ángulos que dan 45° por reflexión, cuál se elige y por qué, con $d\Delta/d\theta$ y $d\Delta/dn$ en los dos. (c) Ese rombo se usa también con el cuarto armónico de un Nd:YAG (266 nm) y con un XeF (351 nm): calcula el retardo total en cada caso y di hasta dónde llega su acromatismo. Compara con la excursión de la $\lambda/4$ de cuarzo del artículo 04. (d) El catálogo ofrece además MgF₂, que transmite hasta 120 nm y tiene $n_o \approx 1{,}42$ a 248 nm. Da las dos razones independientes por las que no sirve, y estima el retardo parásito que introduciría un prisma de 20 mm con el eje óptico mal orientado. ¿Y el CaF₂ a 193 nm: sirve, y con qué margen?

El ejercicio 2 del artículo 04 llevó el BBO de 800 a 400 nm y observó que focalizar más satura. Aquí esa observación se convierte en un número de diseño y se usa para elegir cristal. Se quiere doblar un Nd:YAG de 1064 nm a 532 nm con un BBO de tipo I. Índices, con cinco decimales porque el ángulo de corte sale de una diferencia de recíprocos casi iguales: $n_o(1064) = 1{,}65513$, $n_o(532) = 1{,}67497$, $n_e(532) = 1{,}55551$. La eficiencia de conversión de un haz de cintura $w_0$ y potencia $P$ escala como $\eta \propto d_{\text{eff}}^2\,L_{\text{ef}}^2\,P/w_0^2$, con $L_{\text{ef}} = \min(L, L_a)$ y $L_a = w_0/\tan\rho$ la longitud de apertura del artículo 04.

(a) Halla $\theta_{PM}$ con el elipsoide de índices y el walk-off en ese ángulo. (b) Demuestra que, en cuanto $L > L_a$, la eficiencia deja de depender de $L$ y de $w_0$, y escribe ese techo. Comenta qué significa que el único parámetro que sobrevive sea $\rho$. (c) Con $w_0 = 40$ μm, calcula $L_a$, qué fracción de un BBO de 7 mm trabaja de verdad y cuánto se ha desplazado el armónico al salir. (d) Un LBO cortado para conversión no crítica trabaja con walk-off exactamente cero —por la misma razón que el quasi-phase matching del artículo 04— pero tiene $d_{\text{eff}} = 0{,}83$ pm/V frente a los 2,0 del BBO. Con un LBO de 15 mm, halla la cintura por debajo de la cual el LBO gana, di por cuánto gana con los 40 μm del apartado (c) y explica en una frase por qué la industria del verde no usa BBO. (El LBO es biáxico y su tratamiento completo queda fuera del curso; aquí sólo se usa su walk-off nulo.)