Dificultad ●○○–●●●, pistas sin soluciones cerradas. La brújula del curso, en tres avisos y una trampa. Primero, distingue siempre campo de intensidad: χ⁽²⁾ y χ⁽³⁾ multiplican potencias del campo, y casi todo lo que se mide es intensidad, que va con el campo al cuadrado. Por eso la eficiencia de SHG va como el cuadrado de la intensidad fundamental cuando se mira la potencia del armónico, y como la cuarta potencia del campo local cuando se mira un hotspot. Equivocar el escalón cambia un factor 10⁸ por un factor 10⁴. Segundo, todo proceso χ⁽²⁾ exige dos conservaciones, no una: la de energía —trivial, con 1/λp = 1/λs + 1/λi— y la de momento, que es el phase matching y es la que decide si el proceso ocurre. La primera se cumple siempre; la segunda casi nunca, y no cumplirla no atenúa la conversión: la anula. Y tercero, el error que más veces se comete en este tema: creer que un cristal más largo siempre convierte más. La eficiencia crece como L² sólo mientras Δk·L ≪ 1, y en cuanto se sale de ahí el cristal deja de sumar; peor todavía, con pulsos cortos el propio phase matching tiene un ancho de banda que se estrecha como 1/L, así que el cristal que más convierte una onda continua es el que menos convierte un pulso de femtosegundos. Los problemas 1 y 3 son las dos mitades de esa moneda.
Tienes un vatio de potencia media a 1064 nm y un cristal doblador bien orientado. Puedes entregarlo de dos maneras: como onda continua, o como un tren de pulsos de 10 ns a 10 Hz de repetición con la misma potencia media. (a) Calcula el ciclo de trabajo y la potencia de pico del tren. (b) Sabiendo que la eficiencia instantánea de SHG es proporcional a la intensidad fundamental, ¿cuánta potencia media a 532 nm sale en cada caso? (c) Si la versión continua convierte un 0,01 %, ¿qué convierte la pulsada? ¿Dónde deja de valer esta cuenta?
Pista
El camino. Lo que hay que promediar no es la potencia sino su cuadrado, porque P2ω ∝ Pω². Escribe ⟨P²⟩ del tren.
La trampa. El ciclo de trabajo es Δt·frep, no Δt/frep: con 10 ns y 10 Hz los dos números son creíbles y sólo uno es adimensional.
La comprobación cruzada. Si tu eficiencia pulsada pasa del 100 % no te has equivocado: la cuenta lineal se ha roto, y (c) es decir por dónde.
Quieres un detector de metano. La molécula absorbe con fuerza cerca de 3,39 μm y no hay láser cómodo emitiendo ahí, así que lo vas a generar por diferencia de frecuencias en niobato de litio con poling periódico, bombeando con un Nd:YAG a 1064 nm y una señal de telecomunicaciones a 1550 nm. (a) Comprueba que el idler cae donde quieres. (b) Con los índices extraordinarios a 25 °C —n(1,064 μm) = 2,1558, n(1,550 μm) = 2,1379, n(3,393 μm) = 2,0822— calcula Δk = kp − ks − ki y el periodo de poling Λ = 2π/Δk. (c) ¿Es fabricable? ¿Y qué pasa si el cristal se calienta hasta 150 °C?
Pista
El camino. Trabaja en frecuencias: la energía es aditiva en ν, y Δk se monta sumando n/λ con los tres índices del enunciado.
La trampa. El idler es la diferencia, 1/λi = 1/λp − 1/λs, no la suma: cambiar señal y bombeo de papel da un idler imposible.
La comprobación cruzada. Compara tu Λ con el del doblado de KTP del artículo 02: en el infrarrojo medio tiene que salir mayor, no menor.
Vas a doblar a 400 nm el pulso de Ti:zafiro del ejercicio 3 del artículo 06 del curso 05: 12 fs de duración y 37,5 THz de ancho de banda en torno a 800 nm, en un BBO cortado al ángulo de phase matching tipo I (θ = 29,2°). El fundamental viaja con índice de grupo ng(ω) = 1,6845 y el armónico con ng(2ω) = 1,7426 — cuatro decimales, y hacen falta: la resta vale 0,058 y perder la última cifra mueve el resultado un 1,5 %. (a) Calcula el desajuste de velocidad de grupo entre los dos, en fs por milímetro. (b) ¿Qué espesor de cristal hace que el armónico se retrase respecto al fundamental exactamente lo que dura el pulso? (c) La anchura espectral de aceptación, medida a media altura de la sinc², es Δν = 2,783/(2π·GVM·L). Calcúlala para ese espesor y compárala con el ancho de banda del pulso. (d) ¿Cuánta eficiencia has sacrificado respecto a un cristal de 5 mm, y qué le pasa a un pulso de 12 fs si insistes en usar los 5 mm?
Pista
El camino. GVM = Δng/c; el espesor sale de igualar retardo acumulado y duración del pulso.
La trampa. Los índices son de grupo, no de fase, y el ángulo de 29,2° sólo dice que el cristal está cortado: no entra en ninguna cuenta.
La comprobación cruzada. (b) y (c) tienen que decir lo mismo: si la aceptación no cae sobre el ancho de banda del pulso, hay un 2π suelto.
En un amplificador paramétrico de BBO de 5 mm bombeado a 50 GW/cm² mides una ganancia de una sola pasada de 10⁴. Usa con . (a) Deduce Γ. (b) ¿Qué ganancia queda si el bombeo cae a la mitad? ¿Y si se dobla? (c) ¿Y si duplicas la longitud del cristal en vez de la intensidad? (d) El bombeo ilumina 1 mm² durante 100 fs. ¿Cuánta energía es? Si amplificas una señal de 1 nJ hasta 10 μJ, ¿qué fracción del bombeo se ha llevado, y por qué el apartado (c) no es tan buena idea como parece?
Pista
El camino. Despeja Γ del logaritmo y luego reescala: Γ ∝ √Ip en (b), y en (c) L multiplica a Γ dentro del exponente.
La trampa. El ¼ no se reescala: al cambiar bombeo o longitud sólo cambia 2ΓL. Quien reescale G entera se lleva un factor 4.
La comprobación cruzada. Antes de creerte (c), mira cuánta energía trae el bombeo y cuánta pide la salida: si pide más de la que hay, la fórmula ya no vale.
Retoma el ejercicio 1 del artículo 05: un pulso de 1 nJ y 100 fs en 1 m de fibra de sílice con Aeff = 80 μm² acumula una fase no lineal máxima de unos 13,7 rad (el artículo escribe 13,8 porque redondea Δn a dos cifras por el camino; parte de los datos, no de su resultado). (a) Reobténla, esta vez con el coeficiente no lineal de la fibra γ = 2πn₂/(λAeff), y comprueba que φ = γPL. (b) El pulso entró limitado por transformada: con K = 0,44 para un gaussiano, ¿cuál era su ancho de banda, en THz y en nm? (c) La automodulación de fase ensancha el espectro por un factor . ¿Cuánto se ensancha, y hasta dónde llega? (d) Si a la salida colocas un par de rejillas que deshaga el chirp, ¿cuál es el pulso más corto que puedes obtener? ¿De dónde ha salido ese ancho de banda, y qué no ha cambiado en todo el proceso?
Pista
El camino. Todo el problema es la misma K = 0,44 usada dos veces: a la entrada da el ancho de banda, a la salida la duración mínima.
La trampa. A la salida de la fibra el pulso no se ha acortado: la SPM fabrica colores y los ordena; quien acorta son las rejillas.
La comprobación cruzada. La energía no cambia: potencia de pico final por duración final tiene que devolverte el nanojulio de entrada.
Una guía de silicio de sección 450 × 220 nm confina el modo en un área efectiva de unos 0,1 μm², y el silicio tiene n₂ ≈ 4,5 × 10⁻¹⁸ m²/W a 1550 nm. (a) Calcula su coeficiente no lineal γ = 2πn₂/(λAeff) y compáralo con el de la fibra estándar del artículo 05, 1,3 W⁻¹km⁻¹. ¿A cuánta fibra equivale un centímetro de hilo de silicio? (b) A 1550 nm el silicio absorbe dos fotones a la vez, con βTPA ≈ 0,8 cm/GW. La figura de mérito no lineal de un material es FOM = n₂/(λβTPA). Calcúlala. (c) Con absorción de dos fotones, la fase acumulada es φ = 2π·FOM·ln(1 + βI₀L). ¿Qué fracción de la luz se pierde para llegar a φ = π? (d) El nitruro de silicio tiene n₂ ≈ 2,4 × 10⁻¹⁹ m²/W, Aeff ≈ 0,7 μm² y no absorbe dos fotones a 1550 nm. ¿Quién gana?
Pista
El camino. Aplica la misma γ = 2πn₂/(λAeff) a los tres materiales; luego separa cuánto de la ventaja es n₂ y cuánto Aeff.
La trampa. β viene en cm/GW y n₂ en m²/W: 0,8 cm/GW son 8 × 10⁻¹² m/W, y un FOM equivocado por 10⁴ sigue pareciendo razonable.
La comprobación cruzada. Esa misma fórmula aplicada a la fibra tiene que devolver el 1,3 W⁻¹km⁻¹ del artículo 05; si no, está mal montada.
Fin del curso 06. Con esto ya sabes hacer las cuentas que decide un laboratorio de óptica no lineal: cuánta ventaja da pulsar, qué periodo de poling encargar para una frecuencia que no existe en ningún catálogo, de qué espesor pedir un cristal según lo corto que sea el pulso, qué ganancia da un amplificador paramétrico y a costa de qué, cómo fabricar ancho de banda de la nada y volver a cobrarlo en duración, y qué material elegir cuando dos candidatos difieren en dos órdenes de magnitud de χ⁽³⁾ y gana el pequeño. Lo que falta es el sitio donde todo esto deja de ser una mesa óptica: el problema 6 termina en un anillo de nitruro de alto factor de calidad y el problema 4 en un cristal de milímetros, y ninguno de los dos se ha construido aquí. El curso 07 lo hace —guías en silicio, curvas, cruces, el anillo resonador y su acoplamiento crítico, los filtros add-drop y los moduladores Mach-Zehnder—, y con ello se puede por fin poner sobre un chip de un centímetro cuadrado lo que hasta aquí ha ocupado una mesa: la fuente del curso 05, la guía del 04 y la no linealidad del 06, cableadas entre sí. El acoplador direccional del problema 4 de la hoja de guías de onda, el que veinte nanómetros arruinaban, es el primer componente que se vuelve a encontrar allí.