La lente gruesa y los planos principales

Una biconvexa de N-BK7 con radios de ±50 mm tiene, según la fórmula del constructor de lentes, 48,37 mm de focal. Si se le dan los 5 mm de espesor que tendría de verdad, la focal pasa a 49,21 mm — un 1,70 % más— y, peor, la distancia a la que hay que poner el sensor no es ninguna de las dos: es 47,54 mm. Tres números distintos para la misma lente. Este artículo explica por qué son tres y desde dónde se mide cada uno.

Prerrequisitos: el artículo 01 completo — hace falta el producto de matrices en el orden correcto y las tres matrices básicas. Nada más.

Cuándo deja de valer la lente delgada

La lente delgada del artículo 01 sale de pegar las dos superficies con $t = 0$ . Poner el espesor de vuelta es trivial: hay una propagación en medio.

\mathsf{M} = \mathsf{R}(n\!\to\!1, R_2)\;\mathsf{T}(t)\;\mathsf{R}(1\!\to\!n, R_1)

Multiplicando y leyendo el elemento $C$ aparece la fórmula del constructor de lentes completa, con el término que los libros suelen dejar en letra pequeña:

\frac{1}{f} = (n-1)\left[\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} + \frac{(n-1)\,t}{n\,R_1R_2}\right]

El término del espesor lleva $R_1R_2$ en el denominador, así que su peso depende de la forma y no sólo del grosor. Para la biconvexa simétrica de arriba —donde $R_1R_2 = -2500$ mm², negativo— el término resta, y por eso la lente gruesa tiene más focal que la delgada:

Espesor t	EFL	BFL	H′ desde el vértice de salida	Error de la fórmula delgada
1 mm	48,540 mm	48,209 mm	−0,331 mm	−0,34 %
2 mm	48,707 mm	48,043 mm	−0,664 mm	−0,68 %
5 mm	49,213 mm	47,536 mm	−1,677 mm	−1,70 %
10 mm	50,081 mm	46,668 mm	−3,413 mm	−3,41 %
20 mm	51,912 mm	44,837 mm	−7,075 mm	−6,81 %

De la fórmula sale una regla para la biconvexa simétrica que no es aproximada, sino exacta: sustituyendo $R_1 = -R_2 = 2(n-1)f$ en el término del espesor, con $f$ la focal que da la fórmula delgada, queda $1/f_{\text{grueso}} = (1/f)\,[1 - t/(4nf)]$ y por tanto

\frac{f - f_{\text{grueso}}}{f_{\text{grueso}}} = -\frac{t}{4nf} = -\frac{t}{6{,}07\,f} \quad (\text{N-BK7})

Es la última columna de la tabla, sin residuo: con $t = 5$ mm y $f = 48{,}37$ mm sale −1,704 %, y con $t = 20$ mm, −6,814 %. Ojo con qué focal se mete en el denominador: si se usa la gruesa (49,21 mm) la regla se queda ella misma un 1,7 % corta, −1,675 %. Y el error que la regla mide no es académico: ese 1,704 % de 49,2 mm son 0,84 mm de tornillo micrométrico.

Lente gruesa: dónde están de verdad H y H'

R₁ (cara de entrada) 50 mm

R₂ (cara de salida) -50 mm

Espesor t 5 mm

N-BK7, n = 1,5168 a 587,6 nm

EFL = 49.21 mm · BFL = 47.54 mm · H' a -1.68 mm del vértice de salida · H a 1.68 mm del de entrada · HH' = 1.65 mm.
La fórmula de lente delgada daría 48.37 mm: -1.70 % de error. El EFL y el BFL difieren en 1.68 mm — ésa es justo la distancia que hay que restar al montar la lente en un tubo.

Los puntos cardinales, leídos de la matriz

El truco entero del artículo cabe en una idea: una lente gruesa se comporta exactamente como una lente delgada, siempre que se mida desde los sitios correctos. Esos sitios son los planos principales, y salen directamente de los elementos de la matriz. Con $\mathsf{M}$ referida de vértice a vértice y todas las distancias medidas positivas hacia la derecha desde el vértice que corresponda:

Magnitud	Expresión	Se mide desde
distancia focal efectiva (EFL), f	−1/C	desde H′ hasta F′
distancia focal posterior (BFL)	−A/C	desde el vértice de salida V₂
Distancia focal frontal (FFL)	−D/C	desde el vértice de entrada V₁
Plano principal imagen H′	(1−A)/C	desde V₂
Plano principal objeto H	(D−1)/C	desde V₁

Las cinco salen del mismo cálculo de dos líneas

Entra un rayo paralelo al eje a altura $y_1$ , es decir $(y_1, 0)$ . A la salida es $(Ay_1,\, Cy_1)$ . Corta el eje a una distancia $z$ de $V_2$ tal que $Ay_1 + zCy_1 = 0$ , luego $\mathrm{BFL} = -A/C$ .

El plano principal imagen es, por definición, donde habría que poner la lente delgada equivalente: el sitio donde la prolongación del rayo de entrada y la del de salida se cortan. El rayo de salida está a altura $y_1$ cuando $Ay_1 + zCy_1 = y_1$ , o sea en $z_{H'} = (1-A)/C$ . Y entonces

f = \mathrm{BFL} - z_{H'} = -\frac{A}{C} - \frac{1-A}{C} = -\frac{1}{C}

Por el otro lado se hace lo mismo con un rayo que sale paralelo, $(y_2, 0)$ , exigiendo $Cy_1 + Du_1 = 0$ ; sale $\mathrm{FFL} = -D/C$ y $z_H = (D-1)/C$ . Nótese que para una lente delgada $A = D = 1$ y los dos planos principales colapsan sobre la lente, que es exactamente la razón de que allí no hiciera falta hablar de esto.

Y con los planos principales puestos, todo lo del artículo 01 vuelve a valer palabra por palabra: $1/s + 1/s' = 1/f$ con $s$ medido desde H y $s'$ desde H′, y $m = -s'/s$ . No es una aproximación mejor: es exacta dentro del régimen paraxial. Eso es lo que hace que los planos principales sean una idea importante y no un apaño contable.

El EFL no se mide desde ningún trozo de vidrio, y por eso los catálogos dan los tres números. Un catálogo de óptica lista, para cada lente, EFL, BFL y a veces t. La razón es puramente práctica: el EFL es lo que entra en las fórmulas y el BFL es lo que se mide con una regla desde el borde del vidrio. Confundirlos en la biconvexa de arriba son 1,68 mm con 5 mm de espesor, y 7,08 mm con 20 mm. En un montaje con tolerancia de décimas, eso no es un matiz.

Los planos nodales, y el único caso en que no coinciden con los principales

Los puntos nodales son los dos puntos del eje tales que un rayo dirigido al primero sale del segundo con el mismo ángulo. Son los puntos «de giro sin desviación», y son los que hay que usar cuando lo que interesa son ángulos y no posiciones.

El resultado, que conviene decir antes de complicarlo: si el medio es el mismo a la entrada y a la salida, los nodales coinciden exactamente con los principales. Todo sistema en aire —el 99 % de lo que se toca en un laboratorio— tiene N = H y N′ = H′. Sólo se separan cuando cambia el índice, y entonces la separación vale

\overline{HN} = f' - f = f\,\frac{n'-n}{n}

donde $f$ es la focal anterior (medida en el medio objeto) y $f'$ la posterior. El sistema donde esto importa de verdad es el que todos llevamos puestos: el ojo. Su medio imagen es humor vítreo, $n' = 1{,}336$ , así que sus dos focales son distintas: 16,67 mm en aire y 22,27 mm en vítreo. La potencia sale igual por los dos caminos, $n'/f' = n/f = 59{,}99$ dioptrías, que es el valor de manual del ojo relajado. Y los nodales están 5,60 mm por detrás de los principales.

El mito del «punto nodal» en fotografía panorámica, con el número delante. Para hacer una panorámica sin errores de paralaje hay que girar la cámara alrededor de un punto concreto, y medio internet lo llama «punto nodal». Es falso, y no por pedantería: el punto correcto es el centro de la pupila de entrada (artículo 03), porque el paralaje lo produce desde dónde mira el sistema, no por dónde pasan los rayos sin desviarse. En aire los nodales coinciden con los principales, pero ninguno de los dos coincide con la pupila. En el sistema de dos lentes del artículo 03 la diferencia es de 2,31 mm; en un gran angular retrofoco real son varios centímetros, y a un metro de distancia eso ya se ve como un salto en la costura de la panorámica. La forma correcta de decirlo: no-parallax point, que es como lo llaman los que miden.

Cuando el sensor no cabe: teleobjetivos y retrofocos

En cuanto los planos principales pueden salirse del vidrio, se abre una posibilidad que la lente delgada prohíbe: desacoplar la focal de la longitud del aparato.

teleobjetivo: grupo positivo delante, negativo detrás. H′ sale por delante de todo el vidrio, así que el conjunto es más corto que su focal. La razón de compresión, $L/f$ , se llama razón telefoto; 0,7–0,8 es lo típico y el ejercicio 2 construye uno de 0,667.
retrofoco: negativo delante, positivo detrás. H′ se va hacia atrás y el BFL acaba siendo mayor que la focal. No es un capricho: una réflex de formato completo tiene la distancia del anillo al sensor fijada en 44,0 mm (montura EF) o 46,5 mm (montura F), así que cualquier objetivo de menos de 44 mm de focal está obligado a ser retrofoco: tiene que dejar sitio para que el espejo suba. Es la razón de que los grandes angulares de réflex sean enormes, caros y peores que sus equivalentes de telémetro. En las monturas sin espejo la brida baja a unos 20 mm y la obligación desaparece — un cambio mecánico con consecuencias ópticas directas.

El sistema afocal: cuando C se anula

Si $C = 0$ , el sistema no tiene potencia: la focal es infinita y no hay planos principales ni focos. Es un sistema afocal, y con dos lentes se consigue con una única condición:

d = f_1 + f_2 \quad\Longrightarrow\quad \mathsf{M} = \begin{pmatrix} -f_2/f_1 & d \\ 0 & -f_1/f_2\end{pmatrix}

Los dos focos interiores coinciden. El aumento de anchura del haz es $|A| = |f_2/f_1|$ y el de ángulo es $|D| = |f_1/f_2|$ , y su producto vale 1 porque el determinante lo obliga: lo que se gana en tamaño se paga en divergencia, exactamente. Ésa es la versión geométrica de una ley de conservación que en este sitio aparece con tres nombres — invariante de Lagrange aquí, producto $w_0\theta$ en Láseres 04, y «el ancho de banda espacial no se regala» en Fourier 04.

Ejemplo resuelto 1 · Dónde se pone el sensor, con la lente de 5 mm

Problema. La biconvexa de N-BK7 ( $n = 1{,}5168$ ) con $R_1 = +50$ mm, $R_2 = -50$ mm y $t = 5{,}0$ mm. Calcula sus puntos cardinales. Después, con un objeto a 200,0 mm del vértice de entrada, di exactamente a cuántos milímetros del vértice de salida hay que poner el sensor y qué aumento se obtiene. Compara con lo que habría dicho la lente delgada.

Solución. La matriz completa da $C = -0{,}0203199$ mm⁻¹ y $A = D = 0{,}965927$ (la simetría de la lente obliga a $A = D$ ). De ahí:

f = 49{,}213\ \text{mm}, \quad \mathrm{BFL} = 47{,}536\ \text{mm}, \quad z_{H'} = -1{,}677\ \text{mm}, \quad z_{H} = +1{,}677\ \text{mm}

Es decir: H está 1,677 mm dentro del vidrio contando desde la cara de entrada, y H′ otros 1,677 mm dentro contando desde la de salida, hacia atrás. Están cruzados y separados $\overline{HH'} = 5 - 1{,}677 - 1{,}677 = 1{,}646$ mm.

Ahora el objeto. Está a 200,0 mm de $V_1$ , pero la fórmula quiere la distancia a H: $s = 200{,}0 + 1{,}677 = 201{,}677$ mm. Entonces

\frac{1}{s'} = \frac{1}{49{,}213} - \frac{1}{201{,}677} \;\Longrightarrow\; s' = 65{,}098\ \text{mm}\ \text{desde } H'

y H′ está 1,677 mm por delante de $V_2$ , así que desde el vidrio hay que medir $65{,}098 - 1{,}677 = 63{,}421$ mm. El aumento es $m = -s'/s = -0{,}3228$ . (Comprobación independiente: componiendo $\mathsf{T}(200)$ con las tres matrices de la lente e imponiendo $B = 0$ sale exactamente lo mismo, sin usar planos principales.)

Resultado. La lente delgada habría dicho $f = 48{,}37$ mm y, con $s = 200$ mm, $s' = 63{,}81$ mm medidos «desde la lente» — sin decir desde dónde exactamente, que es el problema. La respuesta correcta es 63,42 mm desde la cara trasera: la lente delgada se equivoca en 0,387 mm. Con un círculo de confusión de 30 µm y un objetivo f/4, la profundidad de foco es $2Nc = 0{,}24$ mm: el error de la lente delgada, aquí, es 1,6 veces la profundidad de foco entera. La imagen sale desenfocada. Y nótese dónde estaba la trampa: no sólo en la focal (1,7 % de error) sino en desde dónde se mide, que es un error que la fórmula delgada no puede ni formular.

Ejemplo resuelto 2 · Un expansor de haz, y por qué galileano

Problema. Un He-Ne de 632,8 nm sale con cintura $w_0 = 0{,}50$ mm y hay que llevarlo a 1 km con la menor mancha posible. Diseña un expansor ×4 en las dos versiones, kepleriana y galileana, y decide cuál se monta si además el láser es pulsado (10 mJ en 10 ns).

Solución. La divergencia de partida es $\theta = \lambda/(\pi w_0) = 0{,}403$ mrad. Con $d = f_1+f_2$ y $|f_2/f_1| = 4$ :

Kepleriano: $f_1 = +25$ mm, $f_2 = +100$ mm, $d = 125$ mm. $A = -4$ , $D = -0{,}25$ .
Galileano: $f_1 = -25$ mm, $f_2 = +100$ mm, $d = 75$ mm. $A = +4$ , $D = +0{,}25$ .

En los dos, la ley ABCD aplicada al parámetro complejo $q$ de Láseres 04 da $q_{\text{sal}} = (A/D)\,q + B/D$ , y como $A/D = (f_2/f_1)^2 = 16$ , el rango de Rayleigh se multiplica por 16 y la cintura por 4: $w_0' = 2{,}0$ mm y $\theta' = 0{,}101$ mrad. El radio a 1 km pasa de 403 mm a 101 mm (con un ×10 bajaría a 40,6 mm).

Resultado. Ópticamente son equivalentes: mismo ×4, misma divergencia final. Lo que decide es el foco interior. El kepleriano tiene los dos focos coincidiendo dentro del tubo, y ahí el haz se concentra en unas decenas de micras. Con 10 mJ en 10 ns eso es 1 MW de pico en una mancha de 20 µm: $3{,}2\times10^{11}$ W/cm², por encima del umbral de ruptura del aire en régimen de nanosegundos (~10¹¹ W/cm²). Se produce una chispa dentro del expansor: se pierde el pulso, se ensucia la óptica y, con repetición, se acaba tallando el vidrio. El galileano no tiene foco interior —el foco de la negativa es virtual— y además es 50 mm más corto. Por eso todos los expansores de láser de potencia son galileanos y todos los buscadores de telescopio son keplerianos: allí el foco interior es una ventaja, porque ahí es donde se pone la retícula.

Y aquí es donde la onda corrige a la geometría. En Fourier 03 la lente delgada es una máscara de fase, $t(x,y) = \exp[-i\pi(x^2+y^2)/\lambda f]$ : un plano infinitamente fino que multiplica el campo. Ese objeto no existe para una lente gruesa — no hay ningún plano donde poner la máscara, porque entre entrada y salida el campo se propaga 5 mm de vidrio. Lo que sí se puede hacer es escribir la máscara equivalente en el plano principal, con la $f$ efectiva; y eso funciona exactamente en el mismo régimen en que funciona todo esto. La versión sin ninguna refracción está en Fourier 02c: una placa zonal es una lente cuya focal no depende de ningún índice y cuyos planos principales son, literalmente, el plano de la placa. Es el único caso en el que la lente delgada no es una aproximación.

Ejercicios

Ejercicio 1

Una lente de bola de N-BK7 de 20,0 mm de diámetro ( $R_1 = +10$ , $R_2 = -10$ , $t = 20$ mm). (a) Calcula su matriz y sus puntos cardinales. (b) Demuestra que $f = nR/[2(n-1)]$ y que $\mathrm{BFL} = f - R$ . (c) ¿Dónde están H y H′? (d) Las bolas de zafiro ( $n = 1{,}77$ ) se usan para acoplar fibra: ¿qué le pasa al BFL al subir el índice, y qué ocurre exactamente en $n = 2$ ?

Solución

(a) Con $n = 1{,}5168$ : $f = 14{,}675$ mm, $\mathrm{BFL} = 4{,}675$ mm, $z_{H'} = -10{,}000$ mm y $z_{H} = +10{,}000$ mm.

(b) Componiendo salen $C = -2(n-1)/(nR)$ y $A = (2-n)/n$ , luego $f = -1/C = nR/[2(n-1)]$ . Con los números: $1{,}5168\times10/(2\times0{,}5168) = 14{,}675$ mm ✓. Y $\mathrm{BFL} = -A/C = R(2-n)/[2(n-1)] = f - R = 4{,}675$ mm ✓.

(c) Los dos en el centro exacto de la bola: $z_{H'} = -10$ mm desde el vértice de salida es justamente el centro, y lo mismo por delante. La simetría lo exigía, pero el resultado sigue siendo llamativo: los planos principales de una bola coinciden en un punto, y la bola se comporta exactamente como una lente delgada de 14,675 mm colocada en su centro. Es el único caso en que la lente delgada no comete ningún error de posición aunque el espesor sea el máximo posible.

(d) El BFL $f - R = R[n/(2(n-1)) - 1] = R(2-n)/(2(n-1))$ disminuye al subir $n$ : con zafiro, $4{,}675 \to 1{,}49$ mm. En $n = 2$ el BFL se anula: el foco cae exactamente sobre la superficie de salida de la bola. Ésa es la segunda lección y la razón de que existan vidrios de $n \approx 2$ (LaSFN9, S-LAH79) para acoplar fibra: se pega la bola contra la férula y se acabó la alineación axial. Con $n > 2$ el foco caería dentro del vidrio y la bola dejaría de servir para eso. Los tres casos, con la misma bola de 20 mm: BK7 (n = 1,5168) da BFL = 4,675 mm; zafiro (1,77), 1,494 mm; y en n = 2, exactamente cero.

Ejercicio 2

Diseña un teleobjetivo de dos lentes delgadas: focal efectiva 300 mm, con la condición de que la distancia total del vértice de la primera lente al sensor sea de sólo 200 mm. (a) Escribe BFL y EFL en función de $f_1$ , $f_2$ y $d$ . (b) Con $f_1 = +100$ mm, resuelve $d$ y $f_2$ . (c) ¿Dónde está H′? (d) ¿Qué razón telefoto se ha conseguido, y por qué no se puede bajar indefinidamente? (e) Con esas mismas dos lentes, ¿qué separación las haría afocales? Calcula entonces $A$ y $D$ y di qué aparato acabas de construir.

Solución

(a) $A = 1 - d/f_1$ y $C = -1/f$ , luego $\mathrm{BFL} = -A/C = f(1 - d/f_1)$ . La longitud total es $L = d + \mathrm{BFL}$ .

(b) Con $f = 300$ y $f_1 = 100$ : $L = d + 300(1 - d/100) = 300 - 2d = 200$ , luego $d = 50{,}0$ mm y $\mathrm{BFL} = 150{,}0$ mm. Metiéndolo en $1/f = 1/f_1 + 1/f_2 - d/(f_1f_2)$ : $1/300 = 1/100 + 0{,}5/f_2$ , de donde $f_2 = -75{,}0$ mm. Grupo negativo detrás, como anunciaba el texto.

(c) $z_{H'} = (1-A)/C = (1-0{,}5)\times(-300) = -150$ mm desde la segunda lente, o sea 100 mm por delante de la primera. El plano principal imagen está flotando en el aire, fuera de todo el vidrio del objetivo. Eso no es una patología: es la definición de un teleobjetivo.

(d) Razón telefoto $L/f = 200/300 = 0{,}667$ . La segunda lección es por qué no se baja más: al aumentar la potencia del grupo negativo para acortar el tubo, la suma de Petzval del conjunto se desequilibra y aparece curvatura de campo (artículo 04), y además el grupo negativo amplifica cualquier aberración cromática que deje el positivo — por eso los teleobjetivos serios llevan vidrios de fluorita o ED en el grupo delantero, que es donde el haz es ancho. Razones por debajo de 0,6 existen (los tele de espejo bajan a 0,3) pero al precio de un obturador central de foco fijo y un desenfoque en forma de rosquilla.

(e) La condición afocal es $d = f_1 + f_2 = 100 - 75 = 25{,}0$ mm. Comprobación: $1/f = 1/100 - 1/75 + 25/7500 = 0$ exactamente. Con esa separación, $A = -f_2/f_1 = +0{,}750$ y $D = -f_1/f_2 = +1{,}333$ : un haz colimado sale un 25 % más estrecho y los ángulos salen multiplicados por 1,333. Es un telescopio galileano al revés, o sea un conversor gran angular — exactamente el accesorio que se enrosca delante de un objetivo para multiplicar su campo por 1,33 (y su focal efectiva por 0,75). Y ésa es la segunda lección del ejercicio: las mismas dos lentes, a 25 mm, son un accesorio gran angular sin focal propia, y a 50 mm son un teleobjetivo de 300 mm. Lo que hace un sistema óptico no está en sus lentes: está en la distancia entre ellas. Todo zoom del mundo es exactamente este ejercicio con un tornillo.

Ejercicio 3

El ojo humano relajado: potencia 59,99 D, medio imagen de índice $n' = 1{,}336$ . (a) Calcula sus dos focales y comprueba que $n'/f' = n/f$ . (b) Deduce $\overline{HN} = f(n'-n)/n$ a partir de la definición de punto nodal y evalúala. (c) Calcula el tamaño de la imagen retiniana de la Luna (diámetro angular 0,52°) y di, explícitamente, qué punto cardinal y cuál de las dos focales has usado y por qué. (d) Con un paso de conos en la fóvea de unos 2,5 µm, ¿cuántos conos cubre la Luna? ¿Es coherente con que se le vean cráteres a simple vista?

Solución

(a) $f = n/P = 1/59{,}99 = 16{,}67$ mm y $f' = n'/P = 1{,}336/59{,}99 = 22{,}27$ mm. Y en efecto $1{,}336/22{,}27 = 1/16{,}67 = 0{,}05999$ mm⁻¹. La potencia es la magnitud que no depende del medio en que se mida; las focales, sí.

(b) Un rayo dirigido a N sale de N′ paralelo a sí mismo. Imponiendo esa condición sobre la matriz del sistema con medios distintos sale $\overline{HN} = f' - f$ , que con $f' = f\,n'/n$ es $f(n'-n)/n$ . Numéricamente: $22{,}27 - 16{,}67 = 5{,}60$ mm.

(c) Para un objeto en el infinito que subtiende un ángulo $\theta$ , el tamaño de la imagen es $h' = f'\tan\theta$ midiendo el ángulo desde el punto nodal — que es donde el ángulo se conserva. Con $\theta = 0{,}52° = 9{,}076$ mrad y $f' = 22{,}27$ mm sale $h' = 202$ µm. Usar la focal anterior (16,67 mm) daría 151 µm, un 25,2 % menos: es el error clásico, y la manera de no cometerlo es recordar que la focal que multiplica al ángulo en el espacio imagen tiene que ser la focal del espacio imagen.

(d) $202/2{,}5 \approx 81$ conos de diámetro. Sí es coherente, y de forma bastante ajustada: 81 elementos a lo ancho es más o menos la resolución de un icono de pantalla, suficiente para distinguir los mares grandes —que son manchas de decenas de elementos— y del todo insuficiente para un cráter, que son uno o dos. Lo que se ve a simple vista son los mares, no los cráteres, y ésa es exactamente la predicción. La segunda lección es que el límite aquí lo pone el muestreo de la retina y no la difracción: un cono de 2,5 µm subtiende $2{,}5\,\mu\text{m}/22{,}27\ \text{mm} = 23{,}2$ segundos de arco, mientras que el criterio de Rayleigh con pupila de 2 mm da 69,2 — el ojo muestrea tres veces más fino que su propia óptica, que es precisamente lo que hay que hacer cuando la óptica es mala. El artículo 04 pone el número a lo de «mala».