Diafragmas, pupilas y campo

En un objetivo de dos lentes con un iris de 10 mm metido entre ellas, el diafragma que gobierna la luz —el que hay que poner en la fórmula del número f— tiene 15 mm y está 10 mm por detrás del iris físico, en un sitio donde no hay nada. Ese agujero fantasma se llama pupila de entrada, es lo que se ve al mirar un objetivo de frente, y es lo único que decide cuánta luz entra.

Prerrequisitos: los artículos 01 y 02. Del 01 hace falta la ley de las lentes y la condición de imagen; del 02, la focal efectiva. Aparece el disco de Airy: si no se ha visto, está en Óptica de Fourier 02, pero aquí se usa sólo como fórmula.

Dos agujeros, dos papeles

Todo sistema real está lleno de bordes: monturas, tubos, el propio contorno de cada lente, y a veces un iris puesto a propósito. De todos ellos, exactamente dos hacen un trabajo distinto de los demás:

El diafragma de apertura es el que limita el cono de rayos que llega desde un punto del eje. Decide la irradiancia de la imagen y su resolución.
El diafragma de campo es el que limita hasta qué altura de objeto se forma imagen. Decide el tamaño del cuadro. En una cámara es el propio sensor; en un ocular, un anillo metálico puesto en el plano intermedio para que el borde salga nítido.

La manera operativa de identificarlos usa dos rayos con nombre. El rayo marginal sale del centro del objeto y roza el borde del diafragma de apertura; el rayo principal sale del borde del objeto y pasa por el centro del diafragma de apertura. El primero mide aperturas; el segundo mide campos. Cualquier problema de pupilas se resuelve trazando esos dos y mirando qué borde toca cada uno primero.

Las pupilas: la imagen del diafragma, no el diafragma

Aquí está la idea que cuesta. El diafragma de apertura suele estar dentro del objetivo, con vidrio delante y detrás. La luz que entra no ve el iris directamente: lo ve a través de las lentes anteriores, es decir, ve su imagen. Esa imagen es la pupila de entrada, y es lo que hay que usar en cualquier cuenta hecha desde el espacio objeto. Simétricamente, un detector que mire hacia atrás ve el iris a través de las lentes posteriores: eso es la pupila de salida.

Con matrices no hay que dibujar nada. Sea $\mathsf{M}$ la matriz que va del plano de referencia del espacio objeto hasta el diafragma. La altura del rayo en el diafragma es

y_{\text{dia}} = A\,y + B\,u = A\left(y + \frac{B}{A}u\right)

y el paréntesis es exactamente la altura que ese mismo rayo tendría, sin refractarse, a una distancia $B/A$ del plano de referencia. Así que:

z_{\text{pupila}} = \frac{B}{A}, \qquad D_{\text{pupila}} = \frac{D_{\text{diafragma}}}{|A|}

Es todo. El aumento con el que se ve el iris es $1/A$ , y la posición sale del cociente $B/A$ . Nada de dibujar rayos notables.

Ejemplo resuelto 1 · Las dos pupilas de un objetivo de dos lentes

Problema. Lente L₁ de $f_1 = 60$ mm en $z = 0$ ; iris de 10,0 mm de diámetro en $z = 20$ mm; lente L₂ de $f_2 = 40$ mm en $z = 35$ mm. Localiza y dimensiona las dos pupilas y calcula el número f del conjunto.

Solución. Pupila de entrada: la matriz de L₁ al iris es $\mathsf{T}(20)\,\mathsf{L}(60)$ , con $A = 1 - 20/60 = 0{,}6667$ y $B = 20$ . Entonces

z_{\text{EP}} = \frac{20}{0{,}6667} = +30{,}0\ \text{mm}, \qquad D_{\text{EP}} = \frac{10{,}0}{0{,}6667} = 15{,}0\ \text{mm}

El signo positivo dice que la pupila de entrada está 30 mm a la derecha de L₁, o sea 10 mm por detrás del propio iris: es una pupila virtual. Y mide 15,0 mm, un 50 % más que el agujero real.

Pupila de salida: es la imagen del iris a través de L₂, que está 15 mm por delante de ella. Con $1/z_i = 1/f_2 + 1/z_o$ y $z_o = -15$ mm: $1/z_i = 1/40 - 1/15 = -0{,}04167$ , luego $z_i = -24{,}0$ mm (24 mm a la izquierda de L₂) y aumento $|z_i/z_o| = 1{,}60$ , o sea $D_{\text{XP}} = 16{,}0$ mm.

La focal del conjunto es $1/f = 1/60 + 1/40 - 35/2400$ , o sea $f = 36{,}92$ mm. Con la pupila de entrada:

N = \frac{f}{D_{\text{EP}}} = \frac{36{,}92}{15{,}0} = 2{,}46

Resultado. Usar el diámetro del iris habría dado $36{,}92/10 = f/3{,}7$ : un error de 1,2 pasos de diafragma, o sea un factor 2,25 en tiempo de exposición. El error no es sutil, es enorme. Y hay una consecuencia que se puede verificar sin instrumentos: si se mira un objetivo de frente, lo que se ve no es el iris sino la pupila de entrada, y por eso se ve más grande que el agujero de verdad. Ésa es la manera práctica de medir el número f de un objetivo desconocido: regla al frente, y dividir la focal por lo que se mide.

Número f, apertura numérica y el f/# de trabajo

El número f es la razón entre la focal efectiva y el diámetro de la pupila de entrada, $N = f/D_{\text{EP}}$ . La irradiancia de la imagen va como $1/N^2$ , de donde la escala de «pasos» en factores de $\sqrt2$ : 1,4 · 2 · 2,8 · 4 · 5,6 · 8 · 11 · 16 · 22.

La apertura numérica mide lo mismo desde el otro lado: $\mathrm{NA} = n\sin\theta_{\max}$ . La relación de manual es

\mathrm{NA} \approx \frac{1}{2N}

y conviene saber exactamente cuánto miente. Si se toma $\tan\theta = 1/2N$ (que es lo que dice la geometría de la pupila) y se calcula el seno, sale un 3,1 % de diferencia a f/2, un 6,2 % a f/1,4 y un 11,8 % a f/1. De f/4 en adelante —es decir, cerrando— la discrepancia baja del 0,8 % y deja de importar. Ojo: la NA no puede pasar de $n$ , así que en aire nunca llega a 1 — y un objetivo de microscopio de $\mathrm{NA} = 1{,}40$ sólo existe porque trabaja en aceite de $n = 1{,}518$ , donde ese valor corresponde a un semiángulo de 67,3°.

Y cuando el objeto no está en el infinito, el número f grabado en el barrilete deja de valer. El que gobierna la luz es el número f de trabajo:

N_w = (1 + |m|)\,N

Con $m = -1$ (macro 1:1) el f/4 se convierte en f/8: dos pasos perdidos, un factor 4 en exposición. Es el número que explica por qué la fotografía macro necesita flash aunque haya sol.

Viñeteo: por qué las esquinas están más oscuras

Aunque el diafragma sea perfectamente circular, la esquina del cuadro recibe menos luz que el centro. Sin ningún defecto de fabricación, y por cuatro razones que se multiplican:

la fuente radía hacia la pupila con un factor $\cos\theta$ de escorzo;
la pupila, vista en oblicuo, se escorza en una elipse: otro $\cos\theta$ ;
el elemento de sensor, visto desde la pupila, también se escorza: otro más;
la distancia pupila-sensor crece como $1/\cos\theta$ , y la irradiancia cae con su cuadrado.

Cuatro cosenos: la ley del $\cos^4$ , que es el viñeteo natural e irreducible. Con la esquina del formato 35 mm a 21,63 mm del eje:

Focal	θ en la esquina	cos⁴θ	Caída
14 mm	57,09°	0,0871	3,52 EV
24 mm	42,03°	0,3044	1,72 EV
35 mm	31,72°	0,5236	0,93 EV
50 mm	23,40°	0,7095	0,50 EV
85 mm	14,28°	0,8820	0,18 EV
200 mm	6,17°	0,9770	0,03 EV

Encima de esto se apila el viñeteo mecánico: a plena apertura, los rayos oblicuos chocan con la montura o con el borde de una lente que no es el diafragma, y la pupila efectiva deja de ser un círculo para convertirse en una lente de gato. Ese sí desaparece al cerrar un par de pasos; el $\cos^4$ no desaparece nunca.

Y sin embargo un 24 mm moderno no pierde 1,72 EV en la esquina. El $\cos^4$ supone que la pupila de salida está a la distancia focal del sensor, cosa que un retrofoco no cumple: su pupila de salida está mucho más lejos, el ángulo con que la luz llega al sensor es menor que el ángulo de campo, y la caída medida es sensiblemente inferior. Un diseño telecéntrico en el espacio imagen —pupila de salida en el infinito— tendría caída cero por este mecanismo. No es un truco: es la razón de que los objetivos de metrología y los de sensores industriales se hagan telecéntricos, y de que los telémetros clásicos, con la pupila de salida pegada al sensor, viñeteen tanto en digital. La ley del $\cos^4$ es el caso particular, no la ley general.

Profundidad de campo y profundidad de foco

Un punto fuera del plano enfocado no produce un punto en el sensor sino un disco. Mientras ese disco sea más pequeño que lo que el sistema de reproducción puede distinguir, se lee como nítido. Ese umbral es el círculo de confusión, $c$ , y no es una propiedad de la óptica: es un criterio, y hay que declararlo. El valor clásico para el formato 35 mm completo (diagonal 43,27 mm) es $c = 0{,}030$ mm.

Con $f$ la focal, $N$ el número f y $s$ la distancia enfocada, el diámetro del disco de un objeto a distancia $D$ es

b(D) = \frac{f^2}{N}\,\frac{|D-s|}{D\,(s-f)}

Imponer $b = c$ da los dos límites de la profundidad de campo, y la distancia hiperfocal aparece sola por el camino:

H = \frac{f^2}{Nc} + f, \qquad D_{\text{cerca}} = \frac{s(H-f)}{H+s-2f}, \qquad D_{\text{lejos}} = \frac{s(H-f)}{H-s}

Profundidad de campo contra difracción

Focal f 50 mm

Diafragma f/8

Enfoque s 3.0 m

Círculo c 30 µm

Mancha frente a distancia

Profundidad frente a diafragma

Hiperfocal 10.47 m · zona nítida de 2.34 a 4.19 m (1.85 m) · disco de Airy 10.7 µm frente a un círculo de confusión de 30 µm, lo que deja un círculo efectivo 28.0 µm.
Aún queda margen para cerrar: la difracción todavía no pesa. El máximo de profundidad real está en f/15.8.

La profundidad de foco es la versión del lado imagen: cuánto se puede mover el sensor antes de que el punto se convierta en un disco de $c$ . Sale $2Nc$ (o $2N_wc$ a distancia finita), que a f/8 con $c = 0{,}030$ mm son 480 µm y a f/1,4 sólo 84 µm. En microscopía, donde el criterio no es un círculo de confusión sino la difracción, la profundidad de foco es $n\lambda/\mathrm{NA}^2$ : para un objetivo de 1,40 NA en aceite, 0,426 µm paraxial — y la expresión exacta, $\lambda/[2n(1-\cos\theta)]$ , da 0,295 µm. La aproximación paraxial sobreestima un 44 % a esa apertura, y ahí está el propio artículo 01 cobrándose su precio.

Ejemplo resuelto 2 · Un 50 mm a f/8, y dónde deja de servir cerrar

Problema. Un 50 mm en formato completo, f/8, enfocado a 3,00 m, con $c = 0{,}030$ mm. (a) Hiperfocal, límites y profundidad de campo. (b) Compara con la aproximación de manual $2Nc(s/f)^2$ . (c) Si cerrar da más profundidad, ¿por qué no cerrar hasta f/32?

Solución. (a) $H = 50^2/(8\times0{,}030) + 50 = 10\,467$ mm = 10,47 m. Con $s = 3000$ mm: $D_{\text{cerca}} = 2{,}338$ m, $D_{\text{lejos}} = 4{,}185$ m, profundidad total 1,847 m. Reparto: 0,662 m delante y 1,185 m detrás, o sea 0,56 — el conocido «un tercio delante, dos tercios detrás» es aproximadamente cierto aquí, y deja de serlo cuando $s$ se acerca a $H$ (donde la profundidad de detrás se va al infinito) o cuando $s \ll H$ (donde el reparto tiende a la mitad).

(b) La aproximación da $2\times8\times0{,}030\times(3000/50)^2 = 1728$ mm = 1,73 m, un 6,5 % menos. Es una buena aproximación y se equivoca siempre por lo bajo, porque desprecia el término $s/H$ .

(c) Porque el disco de Airy crece con $N$ : $d_{\text{Airy}} = 2{,}44\lambda N$ , que a 550 nm son 10,7 µm a f/8, 21,5 µm a f/16 y 29,5 µm a f/22. En f/22,4 el disco de Airy solo iguala el círculo de confusión: a partir de ahí, nada del cuadro cumple el criterio, esté donde esté.

Resultado. La profundidad de campo tiene un máximo, y no está en el diafragma más cerrado. Sumando en cuadratura el disco de desenfoque con el de difracción, el círculo de confusión efectivo es $c_{\text{ef}} = \sqrt{c^2 - d_{\text{Airy}}^2}$ , que se anula en f/22,4 — y la profundidad de campo real, que crece con $N$ mientras la difracción no pesa, se derrumba a cero al acercarse a ese punto. El interactivo de arriba dibuja las dos curvas: la gris, que ignora la difracción y sube siempre, y la azul, que tiene un máximo. Y hay una vuelta más: con un criterio moderno el círculo de confusión no es 0,030 mm sino dos píxeles. Un sensor de 24 Mpx en formato completo tiene un paso de 6,00 µm, o sea $c = 12$ µm, y entonces el límite baja a f/8,9. Ése es el motivo por el que el consejo «cierra a f/16 y todo sale nítido» envejeció mal: no cambió la óptica, cambió el criterio.

Donde este artículo se acaba y empieza el de Fourier. Todo lo anterior trata la imagen de un punto como un disco geométrico que se hace pequeño hasta desaparecer. No desaparece: por debajo del disco de Airy no hay nada que discutir en el lenguaje de los rayos, y la pregunta correcta deja de ser «cuánto mide la mancha» y pasa a ser «qué frecuencias espaciales sobreviven». Ésa es la MTF de Fourier 05, y la relación con lo de aquí es directa: la frecuencia de corte incoherente vale $2\,\mathrm{NA}/\lambda$ , o sea $1/(\lambda N)$ — el mismo número f de este artículo, en el otro idioma. A f/8 y 550 nm eso son 227 ciclos/mm, que es el techo absoluto de un objetivo perfecto, y explica por qué el 24 Mpx de arriba (83 ciclos/mm de Nyquist) no ve la diferencia entre un objetivo bueno y uno excelente a esa apertura.

Ejercicios

Ejercicio 1

Un objetivo macro: grupo delantero $f_1 = +80$ mm en $z = 0$ , iris de 12,0 mm en $z = 20$ mm, grupo trasero $f_2 = -200$ mm en $z = 40$ mm. (a) Comprueba que la focal efectiva del conjunto es 100 mm y calcula el BFL. (b) Localiza y dimensiona la pupila de entrada, y da el número f nominal; comprueba el diámetro por un segundo camino, trazando el rayo marginal desde el infinito hasta el borde del iris. (c) Localiza la de salida. (d) A escala 1:1 ( $m = -1$ ), ¿cuál es el número f de trabajo, cuánta luz se pierde y qué apertura numérica ve el sensor?

Solución

(a) $1/f = 1/80 - 1/200 - 40/(80\times(-200)) = 0{,}0125 - 0{,}005 + 0{,}0025 = 0{,}0100$ , luego $f = 100{,}0$ mm. Y $A = 1 - 40/80 = 0{,}500$ , luego $\mathrm{BFL} = -A/C = 50{,}0$ mm: el objetivo entero mide 90 mm de vértice a sensor con 100 mm de focal — es un telefoto suave, razón 0,90.

(b) Matriz de L₁ al iris: $A = 1 - 20/80 = 0{,}750$ , $B = 20$ . Luego $z_{\text{EP}} = 20/0{,}75 = +26{,}67$ mm y $D_{\text{EP}} = 12/0{,}75 = 16{,}0$ mm. El número f nominal es $100/16{,}0 = f/6{,}25$ . Segundo camino: un rayo de altura $y$ que llega paralelo al eje sale de L₁ con $u = -y/80$ y llega al iris a la altura $y(1 - 20/80) = 0{,}75\,y$ ; que roce el borde ( $6{,}0$ mm) exige $y = 8{,}0$ mm, o sea 16,0 mm de diámetro. Coincide, y ésa es la comprobación que hay que hacer siempre: la pupila de entrada es el rayo marginal, mirado desde fuera.

(c) El iris está 20 mm por delante de L₂: $1/z_i = -1/200 - 1/20 = -0{,}0550$ , luego $z_i = -18{,}18$ mm (a la izquierda de L₂) y aumento 0,909: $D_{\text{XP}} = 10{,}91$ mm. Nótese que la pupila de salida es menor que el iris, porque el grupo trasero es negativo.

(d) $N_w = (1+1)\times6{,}25 = f/12{,}5$ . La pérdida es $2\log_2(12{,}5/6{,}25) = 2{,}00$ EV, un factor 4 en tiempo. Y $\mathrm{NA} \approx 1/(2\times12{,}5) = 0{,}0400$ , con la que el disco de Airy mide $2{,}44\times0{,}55\times12{,}5 = 16{,}8$ µm.

La segunda lección está en ese último número: 16,8 µm son 2,8 píxeles de un sensor de 24 Mpx (paso 6,00 µm). Un macro a 1:1 y f/6,25 nominal está ya, sólo por difracción, por debajo de la resolución del sensor — y el fotógrafo que cierre a f/16 nominal (f/32 de trabajo) tendrá 42,9 µm de Airy, 7,2 píxeles. Ésa es la razón real de que el focus stacking exista: no se puede comprar profundidad de campo con diafragma en macro, porque el precio en difracción es mayor que la ganancia. Hay que comprarla con varias fotos.

Ejercicio 2

(a) Deduce la ley del $\cos^4$ enumerando los cuatro factores y diciendo de dónde sale cada uno. (b) Calcula la caída en la esquina de formato completo para un 24 mm y para un 85 mm, en EV. (c) Un fabricante mide en su 24 mm una caída de 1,1 EV en vez de 1,72: ¿es posible sin hacer trampas? (d) ¿Y qué le pasaría a la misma óptica en un sensor de formato APS-C (recorte 1,5×)?

Solución

(a) Escorzo de la fuente hacia la pupila ( $\cos\theta$ ); escorzo de la pupila vista en oblicuo ( $\cos\theta$ ); escorzo del elemento de sensor ( $\cos\theta$ ); y ley del inverso del cuadrado con una distancia $f/\cos\theta$ en vez de $f$ ( $\cos^2\theta$ ). Producto: $\cos^4\theta$ . Ojo con no contar cinco: el escorzo de la pupila y el del sensor son dos factores distintos, y el de la distancia aporta dos por sí solo.

(b) 24 mm: $\theta = \arctan(21{,}63/24) = 42{,}03°$ , $\cos^4 = 0{,}3044$ , caída $\log_2(1/0{,}3044) = 1{,}72$ EV. 85 mm: $\theta = 14{,}28°$ , $\cos^4 = 0{,}8820$ , caída 0,18 EV — inapreciable.

(c) Sí, y sin trampas. La deducción supone que la pupila de salida está a $f$ del sensor, de modo que el ángulo de llegada coincide con el ángulo de campo. Un retrofoco tiene la pupila de salida mucho más lejos, así que el ángulo de llegada es menor y los tres primeros cosenos se calculan con él. Con $\theta_{\text{llegada}} = 35°$ en vez de 42,03° saldría $\cos^4 = 0{,}450$ y 1,15 EV, que es justo lo medido. El límite es la telecentricidad: pupila de salida en el infinito, ángulo de llegada cero, caída nula.

(d) La esquina de APS-C está a 21,63/1,5 = 14,42 mm del eje, luego $\theta = \arctan(14{,}42/24) = 31{,}00°$ , $\cos^4 = 0{,}5398$ , caída 0,890 EV. Es decir, el 51,8 % de la caída en formato completo: casi la mitad. La segunda lección: el viñeteo no es una propiedad del objetivo, es una propiedad de la pareja objetivo–formato. El mismo cristal que viñetea de forma molesta en formato completo se comporta impecablemente en un sensor menor, porque lo único que se usa es la parte central del campo. Y es la razón de que casi cualquier objetivo «mejore» al recortar el sensor — no mejora: se le está pidiendo menos.

Ejercicio 3

La cámara de un teléfono: $f = 6{,}8$ mm, f/1,8 fijo, píxeles de 1,0 µm, encuadre equivalente a un 24 mm de formato completo. (a) ¿Cuál es el factor de recorte y qué círculo de confusión le corresponde si se quiere comparar con el criterio clásico? (b) Calcula su profundidad de campo a 1,00 m y la de un 24 mm f/1,8 de formato completo a la misma distancia. ¿Cuál es la razón, y con qué número f tendría que trabajar el formato completo para igualarla? (c) Calcula el disco de Airy del teléfono a plena apertura y compáralo con su paso de píxel. (d) A la vista de (c), ¿qué sentido tiene que un teléfono no lleve diafragma?

Solución

(a) Recorte $24/6{,}8 = 3{,}53$ . El círculo de confusión escalado es $0{,}030/3{,}53 = 8{,}50$ µm.

(b) Teléfono: $H = 6{,}8^2/(1{,}8\times0{,}0085) + 6{,}8 = 3029$ mm; límites 0,753 y 1,490 m; profundidad 0,737 m. Formato completo con 24 mm: $H = 10{,}69$ m; límites 0,916 y 1,101 m; profundidad 0,185 m. Razón 3,99, casi exactamente el factor de recorte (3,53) — coinciden en el límite $s \ll H$ y se separan al acercarse a la hiperfocal. Para igualar, el formato completo necesitaría $1{,}8\times3{,}53 = f/6{,}35$ , y con ello perdería 3,6 EV de luz. Ésa es la equivalencia completa: mismo encuadre, misma profundidad, misma luz total — nunca dos de tres gratis.

(c) $2{,}44\times0{,}55\times1{,}8 = 2{,}42$ µm, o sea 2,4 veces el paso de píxel. A plena apertura y con óptica perfecta, el disco de Airy ya cubre más de dos píxeles en cada dirección.

(d) Ninguno, y ésa es la respuesta correcta: un teléfono no puede cerrar. Ya está limitado por difracción con el diafragma abierto del todo, así que cualquier iris sólo serviría para perder luz y resolución a la vez. El único parámetro libre que le queda para controlar la exposición es el tiempo (y la ganancia), y el único para controlar la profundidad de campo es el software — de ahí el «modo retrato». La segunda lección, que es incómoda y verdadera: los 50 megapíxeles de un sensor con píxeles de 1,0 µm no son 50 megapíxeles de información óptica. Sirven para muestrear sin aliasing y para agrupar píxeles en la sombra, no para resolver más detalle del que entra por una pupila de 3,8 mm. El límite lo puso la difracción antes de que el sensor existiera.