Aberraciones — Fotonario

Una lente plano-convexa de 50 mm y N-BK7, trabajando a f/4 sobre un haz colimado, concentra la luz en una mancha de 220 µm si se pone con la cara curva hacia el haz, y de 914 µm si se le da la vuelta. La misma lente, la misma focal —el EFL no cambia al voltearla—, y un factor 4,15 en el tamaño del foco por girarla. Ese factor es una aberración, tiene fórmula, y está entera en el término que el artículo 01 tiró al escribir $\sin\theta \approx \theta$ .

Prerrequisitos: los artículos 01 a 03. Del 03 hacen falta las pupilas y el número f, porque toda aberración se mide sobre la pupila. Del curso de Fourier, el disco de Airy: aquí se usa constantemente como la vara con la que se decide si una aberración importa.

Volver a poner el tercer orden

La aproximación paraxial cortó el seno en su primer término. Devolver el siguiente, $-\theta^3/6$ , es lo que se llama teoría de tercer orden, y da toda la estructura de las aberraciones geométricas. La forma cómoda de organizarla no es en ángulos sino en función de aberración de onda: se compara el frente de onda real que sale del sistema con la esfera perfecta que convergería al punto imagen ideal, y se llama $W$ a la diferencia, medida en longitudes de onda sobre la pupila.

$W$ depende de dos cosas: dónde estamos en la pupila ( $\rho, \varphi$ normalizados, con $\rho = 1$ en el borde) y a qué altura de campo $h$ estamos apuntando. La simetría de revolución del sistema obliga a que $W$ sólo pueda depender de tres combinaciones invariantes: $\rho^2$ , $h^2$ y $h\rho\cos\varphi$ . Escribiendo todos los productos de cuarto orden que se pueden formar con ellas quedan exactamente cinco, y son las aberraciones de Seidel:

W(\rho,\varphi;h) = \underbrace{W_{040}\rho^4}_{\text{esférica}} + \underbrace{W_{131}h\rho^3\cos\varphi}_{\text{coma}} + \underbrace{W_{222}h^2\rho^2\cos^2\varphi}_{\text{astigmatismo}} + \underbrace{W_{220}h^2\rho^2}_{\text{curvatura}} + \underbrace{W_{311}h^3\rho\cos\varphi}_{\text{distorsión}}

Que sean cinco y no cincuenta es un resultado de simetría, no de cálculo, y es la razón de que la óptica clásica sea enseñable. Lo que se ve en el detector —el desplazamiento del punto de impacto de cada rayo— es el gradiente de $W$ sobre la pupila, así que la aberración transversal lleva siempre una potencia menos de $\rho$ :

\varepsilon_x = -2N\lambda\,\frac{\partial W}{\partial x}, \qquad \varepsilon_y = -2N\lambda\,\frac{\partial W}{\partial y}

Las tres primeras de Seidel, mancha y frente

Esférica W₀₄₀ 1.0 λ

Coma W₁₃₁ 0.0 λ

Astigmatismo W₂₂₂ 0.0 λ

Campo h 1.00

Diafragma f/N f/4.0

Equilibrar reenfocar y recentrar al mínimo RMS

Diagrama de manchas (µm)

Frente de onda sobre la pupila

RMS del frente 0.298 λ · Strehl (Maréchal) 0.030 · radio RMS de la mancha 10.21 µm frente a 2.68 µm de radio de Airy.
RMS por encima de 0,15 λ: la fórmula de Maréchal ya no vale aquí y el Strehl que se muestra es sólo orientativo. Lo que sí es cierto es que este sistema está lejísimos del límite de difracción.

Las cinco, una a una

Aberración	W ∝	Mancha ∝	f/2 → f/8	Qué se ve
aberración esférica	ρ⁴	ρ³	÷64	halo simétrico, igual en todo el campo
coma	h ρ³ cos φ	h ρ²	÷16	cometa con la cola hacia fuera
astigmatismo	h² ρ² cos²φ	h² ρ	÷4	dos focos lineales perpendiculares
curvatura de campo	h² ρ²	h² ρ	÷4	el plano de mejor foco es un casquete
distorsión	h³ ρ cos φ	h³	÷1	rejilla en barril o en corsé; no borra

Esta tabla es la herramienta de diagnóstico más útil de todo el artículo, porque se puede aplicar sin saber nada del diseño: basta cerrar el diafragma y medir. La referencia cómoda es doblar el número f —dos pasos completos, porque un paso es un factor $\sqrt2$ (artículo 03)—: si al doblar $N$ la mancha se divide por ocho, es esférica. Si por cuatro, coma. Si por dos, astigmatismo o curvatura. Si no cambia, es distorsión — y entonces no es borrosidad, es desplazamiento, y se corrige por software sin perder nada. La única de las cinco que un ordenador puede arreglar de verdad.

Petzval: la que no se puede corregir con formas. La curvatura de campo tiene una componente que sólo depende de los índices y de las potencias, nunca de los radios ni de las posiciones: la suma de Petzval, $1/R_P = -\sum_i 1/(n_i f_i)$ . Para un singlete de N-BK7 de 50 mm sale $R_P = -75{,}8$ mm: el plano de mejor foco es un casquete de 76 mm de radio. A 10 mm del eje eso son 659 µm de flecha, contra 240 µm de profundidad de foco a f/4 — el borde está fuera de foco por casi tres veces. La única salida es combinar potencias positivas y negativas en vidrios de índice distinto para que la suma se anule, y ése es todo el motivo de que los objetivos fotográficos tengan grupos negativos que no hacen ninguna falta para la focal. Un Petzval portrait de 1840 no los tenía y por eso tiene ese desenfoque característico en los bordes; un Cooke triplet de 1893 sí, y por eso existe la fotografía moderna.

Esférica: el caso que se puede calcular hasta el final

Para una lente delgada de índice $n$ y focal $f$ , la teoría de tercer orden da la aberración esférica en forma cerrada en función de dos parámetros adimensionales: el factor de forma de Coddington $q = (R_2+R_1)/(R_2-R_1)$ y el factor de posición $p$ (que vale −1 para objeto en el infinito):

\Delta\!\left(\frac{1}{s'}\right) = \frac{h^2}{8f^3n(n-1)}\left[\frac{n+2}{n-1}q^2 + 4(n+1)pq + (3n+2)(n-1)p^2 + \frac{n^3}{n-1}\right]

Es una parábola en $q$ , y eso ya contiene dos resultados que merecen decirse por separado:

Hay una forma óptima, en el vértice de la parábola: $q_{\text{opt}} = -2(n^2-1)p/(n+2)$ , que para $p = -1$ y N-BK7 vale 0,740. Ésa es la best form que venden los catálogos.
El mínimo no es cero. El término independiente $(3n+2)(n-1)p^2 + n^3/(n-1)$ no se puede cancelar con ninguna $q$ . Ninguna forma, ningún radio, ninguna combinación de curvaturas hace que un singlete esférico esté libre de aberración esférica. Hace falta cambiar de herramienta: asfericidad, doblete, o gradiente de índice.

Ejemplo resuelto 1 · La plano-convexa al revés, y cuánto cuesta

Problema. Plano-convexa de N-BK7, $f = 50{,}0$ mm ( $R = 25{,}84$ mm), 5,0 mm de espesor, sobre haz colimado a f/4 (rayo marginal a 6,25 mm del eje). Calcula la aberración esférica longitudinal en las dos orientaciones, compárala con la teoría de tercer orden, y decide cuánto se gana pasando a la forma óptima.

Solución. Trazando exactamente —Snell vectorial, sin linealizar nada— el rayo paraxial y el marginal y viendo dónde corta cada uno el eje:

Orientación	q	LSA exacta	LSA 3.er orden	Mancha a f/4
Curva hacia el haz	+1	−0,857 mm	−0,857 mm	220 µm
Plana hacia el haz	−1	−3,458 mm	−3,365 mm	914 µm
Best form (q = 0,740)	+0,740	−0,791 mm	−0,799 mm	203 µm

El acuerdo entre el trazado exacto y el tercer orden es del 0,02 % en la orientación buena y del 2,7 % en la mala. Que la teoría falle más justo donde la aberración es mayor no es sorpresa: es el quinto orden asomando, y confirma que se está usando la herramienta en su límite.

Resultado. Voltear la lente cuesta un factor 4,04 en aberración longitudinal y 4,15 en diámetro de mancha. Pasar de la plano-convexa bien puesta a la best form ahorra sólo un 8 % — y ésa es la lección de verdad, porque es contraintuitiva: la plano-convexa con la cara curva al frente ya está casi en el óptimo (q = 1 contra q = 0,740, y la parábola es plana cerca del vértice), mientras que la misma lente al revés está en el otro extremo. Es decir: de las dos decisiones que puede tomar quien monta una lente, la de orientarla vale cuatro veces más que la de comprar la cara. La regla operativa, que sirve siempre: reparte la desviación entre las superficies. Con la cara curva al frente, cada superficie desvía la mitad del ángulo total; con la plana al frente, la primera no hace nada y la segunda tiene que hacerlo todo, en incidencia mucho más oblicua. Y para conjugados 1:1 la regla se invierte: allí la best form es $q = 0$ , la biconvexa simétrica, por exactamente el mismo argumento.

Con todo, ninguna de las tres sirve para trabajo fino: el disco de Airy a f/4 mide 5,37 µm, así que hasta la best form da una mancha 38 veces mayor que el límite de difracción. Ese singlete no alcanza el límite de difracción hasta f/9,8, y para entonces ya ha perdido cinco sextos de la luz.

Cromáticas: cuando el índice depende del color

Ninguna de las cinco de Seidel tiene nada que ver con esto. La aberración cromática longitudinal aparece simplemente porque $n = n(\lambda)$ y, por tanto, $f = f(\lambda)$ . La medida estándar de cuánto es el número de Abbe:

V_d = \frac{n_d - 1}{n_F - n_C}

con las tres rayas de Fraunhofer d (587,6 nm), F (486,1 nm) y C (656,3 nm). Calculado desde los coeficientes de Sellmeier —no copiado del catálogo— sale $V_d = 64{,}17$ para el N-BK7, 36,37 para el F2 y 25,68 para el N-SF11. Vidrios con $V > 50$ se llaman coronas y los de $V < 50$ , flints.

Para un singlete, la focal se dispersa aproximadamente $\Delta f \approx -f/V$ entre F y C. Un singlete de N-BK7 de 100 mm tiene focales de 98,933 mm en el azul y 100,482 en el rojo: 1,55 mm de diferencia, el 1,55 % de la focal. Con el violeta de la raya g (435,8 nm) el recorrido total sube a 2,36 mm, que son casi diez profundidades de foco a f/4 (0,24 mm). Un singlete es inservible para imagen en luz blanca, y no por poco.

Ejemplo resuelto 2 · Diseñar un doblete acromático de 100 mm

Problema. Con N-BK7 ( $V_1 = 64{,}17$ ) y F2 ( $V_2 = 36{,}37$ ) pegados, diseña un doblete acromático de 100 mm. Calcula las dos focales, comprueba que anula la dispersión F–C y cuantifica lo que queda.

Solución. La condición de acromatismo es que las dos contribuciones a $dP/d\lambda$ se cancelen, y como cada elemento aporta $P_i/V_i$ :

P_1 + P_2 = P, \qquad \frac{P_1}{V_1} + \frac{P_2}{V_2} = 0 \;\Longrightarrow\; P_1 = P\,\frac{V_1}{V_1-V_2},\quad P_2 = -P\,\frac{V_2}{V_1-V_2}

Con $P = 0{,}0100$ mm⁻¹: $f_1 = +43{,}33$ mm (corona, positiva y muy potente) y $f_2 = -76{,}45$ mm (flint, negativa). Nótese que ambas son mucho más potentes que el conjunto: se están restando 0,0231 y −0,0131 dioptrías por milímetro para dejar 0,0100. Ahí está el coste oculto del acromatismo, y la razón de que un doblete tenga superficies mucho más curvas que un singlete equivalente —y, con ellas, más esférica que corregir.

Evaluando la focal en las cinco rayas con los índices de Sellmeier de cada vidrio:

Raya	λ	Singlete BK7	Doblete BK7 + F2
g	435,8 nm	98,123 mm	100,223 mm
F	486,1 nm	98,933 mm	100,050 mm
e	546,1 nm	99,630 mm	99,994 mm
d	587,6 nm	100,000 mm	100,000 mm
C	656,3 nm	100,482 mm	100,050 mm

Resultado. F y C caen exactamente en el mismo plano (el residuo calculado es de 4×10⁻¹⁴ mm, o sea cero numérico), que es lo que se pidió. Pero mírese la columna: el amarillo no está donde el azul y el rojo. Queda un espectro secundario de 0,050 mm, y ése ya no se puede quitar eligiendo potencias: es $f/2002$ , la cifra que todo el mundo redondea a « $f/2000$ » y que es el techo real de un acromático de vidrios ordinarios.

La comparación honrada: el singlete tenía 1,55 mm de dispersión F–C, el doblete deja 0,050 mm de espectro secundario — una mejora de 31 veces. En el rango completo g→C, de 2,36 mm a 0,173 mm: 13,7 veces. Y aquí está la segunda lección, la que distingue un acromático de un apocromático: el residuo no es proporcional a la diferencia de números de Abbe, sino a la diferencia de dispersiones parciales. Dos vidrios con la misma dispersión parcial relativa darían residuo cero, y por eso los apocromáticos usan fluorita o vidrios ED, que se salen de la línea normal del diagrama de Abbe. Cuestan diez veces más y no dan más apertura: dan 0,05 mm menos de espectro secundario.

Y hay una segunda cromática, la aberración cromática lateral, que es distinta y peor de corregir: si la focal cambia con el color, también cambia el aumento, así que cada color forma una imagen de tamaño distinto. En el eje no se ve nada; en la esquina, todo. Con el singlete de arriba, la esquina del formato 35 mm está a 21,63 mm y la dispersión relativa es $1/V = 1{,}55\ \%$ : 335 µm de franja de color, que en un sensor de 24 Mpx son 56 píxeles. El doblete la baja a 10,8 µm — menos de dos píxeles—, y por eso se corrige a la vez que la longitudinal, aunque sean fenómenos distintos. Que el software de revelado sepa quitarla (es un reescalado radial dependiente del canal, igual que la distorsión) y no sepa quitar la longitudinal (que es desenfoque real) es una consecuencia directa de esta diferencia.

Zernike: la forma moderna de decir todo lo anterior

Seidel clasifica las aberraciones por cómo se generan. Para medirlas y corregirlas hace falta otra cosa: una base ortonormal sobre la pupila, en la que cada coeficiente se pueda calcular independientemente de los demás y en la que el error total se sume en cuadratura. Ésos son los polinomios de Zernike, $Z_n^m(\rho,\varphi)$ , normalizados de modo que

\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1 Z_i\,Z_j\;\rho\,d\rho\,d\varphi = \delta_{ij}

Nombre	Polinomio ortonormal	Seidel emparentado
Desenfoque	√3 (2ρ² − 1)	—
Astigmatismo 0°	√6 ρ² cos 2φ	W₂₂₂
Coma x	√8 (3ρ³ − 2ρ) cos φ	W₁₃₁
Esférica	√5 (6ρ⁴ − 6ρ² + 1)	W₀₄₀

La consecuencia práctica de la ortonormalidad es que el error RMS del frente de onda es simplemente la raíz de la suma de los cuadrados de los coeficientes, $\sigma = \sqrt{\sum_{i\neq 0} c_i^2}$ , sin términos cruzados. Se puede rankear aberraciones, cosa que con Seidel no se puede.

Y de paso resuelve el problema del equilibrado, que Seidel no ve. Fíjate en que la esférica de Zernike lleva un $-6\rho^2$ dentro. No es decoración: es desenfoque, y está ahí porque es la cantidad exacta de desenfoque que minimiza el RMS de una esférica pura. Los números: una onda de esférica de Seidel ( $W = \rho^4$ ) tiene un RMS de $\sqrt{1/5-1/9} = 0{,}2981\ \lambda$ tal cual. Añadiéndole $W_{020} = -1$ onda de desenfoque —o sea, simplemente moviendo el sensor— el RMS baja a $1/(6\sqrt5) = 0{,}0745\ \lambda$ : exactamente cuatro veces menos, sin haber tocado la lente. Ése es el famoso «mejor foco» que no coincide con el foco paraxial, y por eso todo banco de medida busca el foco antes de dar un número. En el interactivo de arriba, el interruptor «Equilibrar» hace justo esto.

Strehl, Maréchal y el criterio de Rayleigh, que son el mismo

La razón de Strehl es la intensidad en el pico de la PSF real dividida por la del sistema perfecto. Para errores pequeños vale la aproximación de Maréchal:

S \approx \exp\!\left[-(2\pi\sigma)^2\right], \qquad \sigma \text{ en ondas}

Con $\sigma = \lambda/14$ sale $S = 0{,}818$ , que es el criterio estándar de «límite de difracción». Y ahora la coincidencia que no lo es: el criterio clásico de Rayleigh dice $\lambda/4$ pico-valle. Para desenfoque puro, $\mathrm{RMS} = \mathrm{PV}/(2\sqrt3)$ , así que $\lambda/4$ PV son λ/13,9 RMS y dan $S = 0{,}814$ . Los dos criterios, formulados con setenta años de diferencia y con magnitudes distintas, son el mismo criterio. La ventaja del RMS es que no depende de la forma del error: un λ/4 PV de esférica y un λ/4 PV de astigmatismo estropean cosas distintas, y sus RMS lo dicen; sus PV, no.

Honestidad sobre el límite: Maréchal es una expansión para $\sigma \lesssim 0{,}1\lambda$ . Por encima, la fórmula sigue dando números y dejan de significar nada; con $\sigma = 0{,}25\lambda$ predice $S = 0{,}085$ , y lo único que se puede afirmar con seguridad es «mucho peor que el límite de difracción». Para eso están el cálculo completo de la PSF por la integral de difracción (Fourier 02) y la MTF, que es la manera correcta de medir lo que una aberración estropea: no cuánto se ensancha el punto, sino qué contraste queda a cada frecuencia espacial (Fourier 05).

El ojo, medido con esta vara, es un instrumento pésimo — y funciona. La aberrometría publicada da, para una pupila de 6 mm, un error RMS de alto orden de 0,2–0,3 µm. Con 0,25 µm a 550 nm eso es $\sigma = 0{,}455\lambda$ : Maréchal, ya fuera de rango, sugiere un Strehl de 3×10⁻⁴. Con la pupila cerrada a 3 mm el RMS típico baja a ~0,06 µm, $\sigma = 0{,}109\lambda$ , y el Strehl sube a 0,63 — ya al alcance del 0,80 que define el límite de difracción. Es decir: el ojo humano con la pupila dilatada está fuera de toda escala razonable de calidad óptica, y con la pupila de día está a un paso del límite de difracción, sin que cambie nada del ojo. Cambia la pupila. Es exactamente la tabla de escalados de este artículo aplicada a un sistema vivo: la esférica va como $\rho^4$ , así que dividir el diámetro de pupila por dos divide su contribución al frente por dieciséis. Que la visión nocturna sea borrosa no es sólo cuestión de fotones: es aberración esférica, y es la razón de que la cirugía refractiva se mida con pupila dilatada y no con pupila de consulta.

Ejercicios

Ejercicio 1

De un objetivo se mide el diámetro de la mancha geométrica (ya descontada la difracción) en el centro y en la esquina del formato completo, a 550 nm:

Apertura	Centro	Esquina (h = 21,63 mm)
f/2	64,0 µm	124,0 µm
f/4	8,0 µm	28,0 µm
f/8	1,0 µm	8,5 µm

(a) ¿Qué aberración domina en el centro, y cómo lo sabes sin más datos? (b) En la esquina la razón f/2 → f/4 es 4,43, que no es ni 4 ni 8. Explica por qué y descompón las tres contribuciones resolviendo el sistema. (c) Calcula la apertura óptima en el centro y en la esquina sumando en cuadratura la mancha geométrica con el disco de Airy ( $2{,}44\lambda N$ ). (d) ¿Qué recomendarías al usuario?

Solución

(a) 64,0/8,0 = 8,00 y 8,0/1,0 = 8,00. Dividir por 8 al doblar $N$ (dos pasos de diafragma, o sea factor ½ en $\rho$ ) significa $\varepsilon \propto \rho^3$ : aberración esférica. Y tiene que serlo también porque es lo único que sobrevive en el eje, donde $h = 0$ .

(b) Porque en la esquina coexisten las tres, y cada una escala distinto. Escribiendo $\varepsilon = a u^3 + b u^2 + c u$ con $u = 2/N$ (normalizado a f/2, de modo que $u = 1, \tfrac12, \tfrac14$ ):

\begin{cases} a + b + c = 124{,}0 \\ 0{,}125a + 0{,}25b + 0{,}5c = 28{,}0 \\ 0{,}015625a + 0{,}0625b + 0{,}25c = 8{,}5\end{cases}

cuya solución es $a = 64{,}0$ (esférica), $b = 40{,}0$ (coma) y $c = 20{,}0$ (astigmatismo + curvatura, que este método no distingue porque escalan igual). La esférica coincide con la medida en el eje, como tenía que ser: es independiente del campo. Ésa es la comprobación de que la descomposición no es un ajuste sino una medida.

(c) Sumando en cuadratura con $2{,}44\times0{,}55\times N$ µm y barriendo $N$ : en el centro el mínimo está en f/5,1 con 7,9 µm; en la esquina, en f/7,9 con 13,7 µm. (Comprobación de orden: a f/5,1 la geométrica vale 3,9 µm y el Airy 6,8; a f/8 en la esquina, 8,5 y 10,7. En el óptimo las dos son comparables, que es siempre la señal.)

(d) «Cierra a f/5,6 si lo que importa es el centro y a f/8 si importa la esquina» — y la segunda lección es que esos dos óptimos difieren en 1,29 pasos y no hay ninguna apertura que sea la mejor para todo el cuadro. Es exactamente lo que dicen las pruebas de objetivos que publican curvas separadas de centro y borde, y la razón de que no exista «la apertura óptima» de un objetivo sino una para cada uso. Nótese también que en el centro cerrar de f/2 a f/5,1 mejora ocho veces y de f/5,1 a f/16 empeora casi tres: la difracción no es un límite lejano, es el vecino de al lado.

Ejercicio 2

Diseña un doblete acromático de $f = 200$ mm con N-BK7 ( $V_1 = 64{,}17$ ) y N-SF11 ( $V_2 = 25{,}68$ , $n_d = 1{,}78472$ ). (a) Calcula $f_1$ y $f_2$ . (b) Compáralos con los del par BK7 + F2 escalados a 200 mm: ¿qué par exige superficies menos curvas y por qué? (c) Calcula la aberración cromática longitudinal del singlete de BK7 equivalente, la mejora que aporta cada doblete, y la franja de color lateral que deja cada uno en la esquina del formato completo ( $h = 21{,}63$ mm). (d) Si la única diferencia entre los dos pares fuera $V_2$ , ¿por qué no se usa siempre el flint más denso posible? (e) Calcula la suma de Petzval de los dos dobletes y la del singlete de 200 mm, y saca la conclusión incómoda. (f) Con la fórmula de tercer orden, calcula $q_{\text{opt}}$ y el valor mínimo del corchete para el N-SF11 ( $n_d = 1{,}78472$ ) y para el N-BK7: ¿qué le hace el índice alto a la esférica?

Solución

(a) $P = 0{,}00500$ mm⁻¹ y $V_1 - V_2 = 38{,}49$ . Entonces $P_1 = 0{,}00500\times64{,}17/38{,}49 = 8{,}336\times10^{-3}$ → $f_1 = +120{,}0$ mm, y $P_2 = -0{,}00500\times25{,}68/38{,}49 = -3{,}336\times10^{-3}$ → $f_2 = -299{,}7$ mm.

(b) Con F2 a 200 mm: $V_1-V_2 = 27{,}80$ , luego $f_1 = +86{,}65$ mm y $f_2 = -152{,}9$ mm. El par con N-SF11 exige superficies bastante menos curvas: 120,0 mm de focal en el elemento positivo frente a 86,65 mm, o sea un 27,8 % menos de potencia. La razón es directa: la potencia de cada elemento va como $1/(V_1-V_2)$ , y el N-SF11 se separa más del BK7 en el diagrama de Abbe. Menos curvatura significa menos aberración esférica y menos coma que corregir después: ésa es la razón real de que los flints densos se usen tanto pese a ser caros y frágiles.

(c) El singlete de BK7 de 200 mm tiene $\Delta f_{FC} = -f/V = -3{,}12$ mm (el cálculo exacto desde Sellmeier da −3,10 mm; la diferencia del 0,59 % es porque la fórmula de manual usa $(n_d-1)^2$ donde la exacta lleva $(n_F-1)(n_C-1)$ ). Los dos dobletes anulan F−C exactamente; lo que queda es el espectro secundario, 0,0999 mm con F2 (f/2002) y 0,108 mm con N-SF11 (f/1849) — o sea mejoras de 31,0 y 28,6 veces respectivamente. El color lateral sigue la misma proporción, porque $\Delta h/h = \Delta f/f$ : en la esquina (21,63 mm) el singlete deja 335 µm de franja, el doblete con F2 10,8 µm y el de N-SF11 11,7 µm.

(d) Porque la ganancia y la pérdida no son del mismo tamaño, y ésa es la segunda lección: el par con el flint más denso da elementos un 28 % menos potentes —una ventaja grande, porque la esférica de una superficie escala con el cubo de su potencia— a cambio de un espectro secundario sólo un 8 % peor (0,108 contra 0,0999 mm; en el rango completo g→C, 0,421 contra 0,345 mm). Es decir: la fórmula del acromatismo favorece el flint denso, y con bastante claridad. Lo que lo frena no está en ninguna de las ecuaciones de este artículo — es que el N-SF11 es más denso, más caro, absorbe más en el azul, tiene un coeficiente térmico del índice mayor y se raya con mirarlo. Un doblete se decide con al menos seis variables, y sólo dos de ellas aparecen en la condición de acromatismo.

(e) $\sum P_i/n_i$ , con $n_d(\text{F2}) = 1{,}62004$ y $n_d(\text{N-SF11}) = 1{,}78472$ :

Sistema	Σ Petzval (mm⁻¹)	R_P	Flecha en la esquina
Singlete BK7 200 mm	0,003296	−303,4 mm	771 µm
Doblete BK7 + F2	0,003571	−280,0 mm	836 µm
Doblete BK7 + N-SF11	0,003627	−275,7 mm	849 µm

La conclusión incómoda: los dos dobletes tienen PEOR curvatura de campo que el singlete al que sustituyen, un 8 y un 10 % peor. Y no es un accidente de estos vidrios: el elemento positivo de un acromático es siempre mucho más potente que el conjunto (86,7 mm para dar 200), y la suma de Petzval sólo pesa las potencias divididas por índices parecidos, así que el negativo no llega a compensar lo que el positivo añade. Un doblete cementado no puede dar campo plano, y por eso todos los objetivos de campo plano —desde el Petzval de 1840 hasta un apocromático de astrofotografía moderno— tienen al menos tres elementos y los tienen separados: hace falta un negativo potente en un sitio donde el haz sea estrecho, y en un doblete cementado no hay tal sitio.

(f) $q_{\text{opt}} = 2(n^2-1)/(n+2)$ vale 0,740 para el N-BK7 y 1,155 para el N-SF11 (más índice, forma más de menisco). El corchete en su mínimo apenas cambia —6,414 contra 6,584— pero el prefactor lleva $n(n-1)$ en el denominador, que pasa de 0,784 a 1,401. El cociente completo es

\frac{\Delta(1/s')_{\text{SF11}}}{\Delta(1/s')_{\text{BK7}}} = \frac{6{,}584/1{,}401}{6{,}414/0{,}784} = 0{,}575

Es decir: a igual focal, apertura y forma óptima, el singlete de índice alto tiene un 42,6 % menos de aberración esférica. Y ahí está la segunda lección, que cierra el ejercicio: el índice alto no sirve principalmente para acromatizar —para eso lo que importa es $V$ , no $n$ —, sirve para doblar la luz con menos curvatura, y menos curvatura es menos de las cinco de Seidel a la vez. Es el motivo real por el que el catálogo de vidrios ópticos es una búsqueda bidimensional en el plano $(n_d, V_d)$ y no una lista ordenada, y por el que el diagrama de Abbe se dibuja con esos dos ejes y no con uno.

Ejercicio 3

Un aberrómetro mide un ojo con pupila de 6 mm y devuelve estos coeficientes de Zernike ortonormales, en ondas a 550 nm: desenfoque 0,150; astigmatismo 0,100; coma 0,080; esférica 0,050. (a) Calcula el RMS del frente de onda y el Strehl de Maréchal, y di si la fórmula es aplicable. (b) ¿Está en el límite de difracción? (c) Unas gafas corrigen desenfoque y astigmatismo, nada más: ¿qué RMS y qué Strehl quedan? ¿Y si además se corrigiera la coma con óptica adaptativa? (d) ¿A cuántas ondas de esférica de Seidel ( $W = W_{040}\rho^4$ ) corresponde ese coeficiente de 0,050, y qué RMS tendría esa misma esférica sin reenfocar al mejor foco?

Solución

(a) Como la base es ortonormal, los cuadrados se suman sin términos cruzados: $\sigma = \sqrt{0{,}150^2+0{,}100^2+0{,}080^2+0{,}050^2} = \sqrt{0{,}0414} = 0{,}2035\ \lambda$ . Maréchal daría $S = e^{-(2\pi\times0{,}2035)^2} = 0{,}195$ , pero σ > 0,1 λ y la fórmula está fuera de su rango: ese 0,195 no es un número, es una señal de «muy mal».

(b) No, y por mucho: el límite de difracción pide $\sigma \le \lambda/14 = 0{,}0714$ , y hay 0,2035. Falta un factor 2,85.

(c) Quitando desenfoque y astigmatismo: $\sigma = \sqrt{0{,}080^2+0{,}050^2} = 0{,}0943\ \lambda$ , con $S = 0{,}704$ — y ahora sí, dentro del rango de Maréchal. Quitando además la coma queda $\sigma = 0{,}050\ \lambda$ y $S = 0{,}906$ : por encima del 0,80, límite de difracción.

(d) Una onda de $\rho^4$ se proyecta sobre el Zernike de esférica con coeficiente $1/(6\sqrt5) = 0{,}07454$ , así que $0{,}050/0{,}07454 = 0{,}671$ ondas de esférica de Seidel. Y sin reenfocar, esas 0,671 ondas de $\rho^4$ tendrían un RMS de $0{,}671\times0{,}2981 = 0{,}200\ \lambda$ — cuatro veces más. Nótese lo que eso significa: el aberrómetro ya ha reenfocado. El «0,050 de esférica» que devuelve es la parte que no se puede quitar moviendo la lente ni la pantalla, y por eso el desenfoque aparece como una línea separada del informe. Un aparato que no separase las dos cosas diría que el ojo tiene cuatro veces más esférica de la que tiene.

Las dos lecciones. La primera es cuantitativa: las gafas —dos términos de los cuatro, los dos de orden más bajo— llevan el Strehl de «indefinible» a 0,70. Ésa es la razón de que una graduación de dos números resuelva el 95 % de los problemas de visión, y de que la óptica adaptativa de un ojo, que corregiría los otros dos, sea un lujo de laboratorio con una ganancia mucho menor. La segunda es de método: este análisis no se puede hacer con Seidel. Los términos de Seidel no son ortogonales, así que sus coeficientes no se pueden sumar en cuadratura ni corregir por separado; en cuanto se quita uno, cambian los demás. La ortonormalidad no es una elegancia matemática — es lo que convierte «el frente está mal» en una lista de piezas que se pueden arreglar de una en una y en orden de importancia.

Resumen en frío · Óptica geométrica y aberraciones

Todo lo que este curso deja utilizable para resolver un problema de óptica de rayos: las matrices, los puntos cardinales, las pupilas, los criterios de nitidez y las aberraciones con su escalado. Cada fila se ha recalculado desde los datos, no copiado del párrafo que la enuncia — el guion está en scripts/verificar-optica-geometrica.py, y cruza tres caminos independientes (matrices, trazado exacto de Snell y teoría de tercer orden). Si para dimensionar un montaje hay que volver al texto a buscar un número, esta tabla ha fallado.

Qué	Fórmula o valor	Dónde
Aproximación paraxial	sen θ ≈ tan θ ≈ θ. Error relativo θ²/6: 0,127 % a 5° · 0,510 % a 10° · 2,06 % a 20° · 4,72 % a 30°. La tangente falla el doble que el seno	art. 01
Vector de rayo y matriz	r = (y, u); r₂ = M r₁ con M = [[A,B],[C,D]]. A = aumento si B = 0 · C = −potencia · D = aumento angular si C = 0	art. 01
Los tres ladrillos	Propagación [[1,d],[0,1]] · Refracción [[1,0],[−P/n₂, n₁/n₂]] con P = (n₂−n₁)/R · Lente delgada [[1,0],[−1/f,1]]	art. 01
Orden de composición	M = M_N···M₂M₁: el ÚLTIMO elemento a la IZQUIERDA. Mismo convenio que las matrices de Jones del curso 10	art. 01
El control de calidad	det M = n_entrada/n_salida, y vale exactamente 1 en cualquier sistema aire→aire. Un espejo tiene det = −1	art. 01
Ecuación del constructor de lentes	1/f = (n−1)(1/R₁ − 1/R₂). N-BK7 a 587,6 nm: n_d = 1,51680 desde Sellmeier. Biconvexa R = ±50 mm → f = 48,37 mm (delgada)	art. 01
Condición de imagen	B = 0. Entonces m = A. De ahí salen 1/s + 1/s′ = 1/f y m = −s′/s sin dibujar un rayo	art. 01
Lámina plano-paralela	M = T(t/n): equivale a t/n de aire. Desplaza el foco t(1−1/n). Cubreobjetos de 170 µm y n = 1,5255: 58,6 µm = 60 profundidades de foco de un 0,75 NA (0,978 µm)	art. 01
Espejo esférico	M = [[1,0],[−2/R, −1]], obtenida con n₂ = −n₁. \|f\| = \|R\|/2: R = 200 mm → f = 100 mm	art. 01, ej. 1
Relé 4f	M = diag(−f₂/f₁, −f₁/f₂). B = 0 y C = 0 a la vez: aumento constante e independiente de la posición del objeto. Con 100/200 mm, m = −2	art. 01
Lente gruesa	1/f = (n−1)[1/R₁ − 1/R₂ + (n−1)t/(nR₁R₂)]. Biconvexa ±50 mm de BK7: 48,54 mm con t = 1 · 49,21 con t = 5 · 51,91 con t = 20. Error de la delgada, EXACTO en la biconvexa simétrica: (f−f_grueso)/f_grueso = −t/(4nf) = −t/(6,07f) en BK7, con f la focal DELGADA. Con t = 5: −1,704 %	art. 02
Puntos cardinales desde la matriz	EFL = −1/C · BFL = −A/C (desde V₂) · FFL = −D/C (desde V₁) · z_H′ = (1−A)/C (desde V₂) · z_H = (D−1)/C (desde V₁). Derecha positiva	art. 02
La lente gruesa de referencia	BK7 R = ±50 mm, t = 5 mm: EFL 49,213 · BFL 47,536 · H′ a −1,677 de V₂ · H a +1,677 de V₁ · HH′ = 1,646 mm. EFL − BFL = 1,68 mm	art. 02
Lente de bola	f = nR/[2(n−1)] y BFL = f − R. BK7 de 20 mm de diámetro: f = 14,675 mm, BFL = 4,675 mm, H y H′ AMBOS en el centro. El BFL se anula en n = 2	art. 02, ej. 1
Planos nodales	Coinciden con los principales SIEMPRE que el medio sea el mismo a los dos lados. Si no: HN = f′ − f = f(n′−n)/n	art. 02
El ojo relajado	P = 59,99 D · f = 16,67 mm (aire) · f′ = 22,27 mm (vítreo, n′ = 1,336) · HN = 5,60 mm. Imagen retiniana de la Luna (0,52°): 202 µm ≈ 81 conos	art. 02
Teleobjetivo	Positivo + negativo: H′ sale por delante del vidrio. f = 300 mm en 200 mm de largo → f₁ = +100, d = 50, f₂ = −75, BFL = 150, H′ a 100 mm DELANTE de la primera lente. Razón telefoto 0,667	art. 02, ej. 2
Retrofoco	Obligatorio si f < distancia de brida: 44,0 mm en montura EF, 46,5 mm en F, ~20 mm sin espejo	art. 02
Sistema afocal	C = 0 ⟺ d = f₁ + f₂. Anchura ×\|f₂/f₁\|, ángulo ×\|f₁/f₂\|, y el producto vale 1. Galileano −25/+100 mide 75 mm; el kepleriano equivalente, 125 mm y con foco interior	art. 02
Expansor sobre haz gaussiano	q_sal = (A/D)q + B/D con A/D = m²: la cintura escala ×m y la divergencia ÷m. He-Ne w₀ = 0,5 mm → θ = 0,403 mrad; ×4 da 2,0 mm y 0,101 mrad (radio a 1 km: 403 → 101 mm)	art. 02
Por qué galileano en potencia	10 mJ en 10 ns = 1 MW; en un foco interno de 20 µm son 3,2×10¹¹ W/cm², por encima del umbral de ruptura del aire (~10¹¹)	art. 02
Pupilas desde la matriz	Con M del plano de referencia al diafragma: z_pupila = B/A y D_pupila = D_diafragma/\|A\|	art. 03
Sistema de referencia de pupilas	L₁ 60 mm, iris ⌀10 a 20 mm, L₂ 40 mm a 35 mm: EFL 36,92 · EP a +30 mm con ⌀15,0 (virtual) · ExP a −24 mm de L₂ con ⌀16,0 · N = f/2,46 (el iris solo diría f/3,7: 1,2 pasos de error)	art. 03
Número f y NA	N = f/D_EP · NA = n sen θ ≈ 1/(2N). El error de la aproximación: 11,8 % a f/1 · 3,1 % a f/2 · 0,78 % a f/4. NA 1,40 en aceite (n = 1,518) = 67,3°. Un paso de diafragma es ×√2 en N (1,4 · 2 · 2,8 · 4 · 5,6 · 8 · 11 · 16 · 22): doblar N son DOS pasos	art. 03
Número f de trabajo	N_w = (1+\|m\|)N. A 1:1 se pierden 2,00 EV exactos	art. 03
Viñeteo natural	cos⁴θ (escorzo de fuente × escorzo de pupila × escorzo de sensor × distancia²). Esquina de formato completo (21,63 mm): 3,52 EV con 14 mm · 1,72 con 24 · 0,50 con 50 · 0,18 con 85. Un retrofoco con la ExP lejana cae menos; el telecéntrico, nada	art. 03
Mancha de desenfoque	b(D) = (f²/N)·\|D−s\|/[D(s−f)]	art. 03
Profundidad de campo	H = f²/(Nc) + f · cerca = s(H−f)/(H+s−2f) · lejos = s(H−f)/(H−s). Enfocando a H, el límite cercano es exactamente H/2	art. 03
Caso de referencia de DOF	50 mm, f/8, s = 3,00 m, c = 0,030 mm: H = 10,47 m, de 2,338 a 4,185 m, DOF 1,847 m (reparto 0,56). La aproximación 2Nc(s/f)² da 1,73 m, un 6,5 % de menos	art. 03
Profundidad de foco	2N_wc. A f/8 con c = 0,030 mm: 480 µm; a f/1,4: 84 µm. En microscopía manda la difracción: nλ/NA² = 0,426 µm a NA 1,40 (paraxial), 0,295 µm exacta — la paraxial sobreestima un 44 %	art. 03
Dónde acaba la geometría	Disco de Airy 2,44λN: 5,37 µm a f/4 · 10,74 a f/8 · 29,5 a f/22. Iguala c = 0,030 mm en f/22,4 y c = 2 píxeles de un 24 Mpx (12 µm) en f/8,9	art. 03
Teléfono frente a formato completo	f = 6,8 mm f/1,8 ≡ 24 mm con recorte 3,53. A 1 m: DOF 0,737 m contra 0,185 m (razón 3,99). El formato completo igualaría a f/6,35, perdiendo 3,6 EV. Airy del teléfono: 2,42 µm sobre píxeles de 1,0 µm	art. 03, ej. 3
Función de aberración de onda	W = W₀₄₀ρ⁴ + W₁₃₁hρ³cosφ + W₂₂₂h²ρ²cos²φ + W₂₂₀h²ρ² + W₃₁₁h³ρcosφ. Cinco términos, por simetría de revolución. Transversal: ε = −2Nλ ∇_pupila W	art. 04
Escalado de las cinco	Mancha ∝ ρ³ (esférica) · hρ² (coma) · h²ρ (astigmatismo y curvatura) · h³ (distorsión, que NO borra). De f/2 a f/8: ÷64, ÷16, ÷4, ÷1	art. 04
Suma de Petzval	1/R_P = −Σ 1/(n_i f_i). Singlete BK7 de 50 mm: R_P = −75,8 mm y 659 µm de flecha a h = 10 mm, contra 240 µm de profundidad de foco a f/4. Sólo se anula mezclando potencias de signo opuesto en vidrios distintos	art. 04
Esférica de tercer orden	Δ(1/s′) = h²/[8f³n(n−1)]·[(n+2)q²/(n−1) + 4(n+1)pq + (3n+2)(n−1)p² + n³/(n−1)], con q = (R₂+R₁)/(R₂−R₁) y p = −1 en conjugado infinito	art. 04
Forma óptima	q_opt = −2(n²−1)p/(n+2) = 0,740 para BK7 en conjugado infinito (q = 0 a 1:1). El mínimo NO es cero: ninguna forma anula la esférica de un singlete	art. 04
Plano-convexa de 50 mm a f/4	Cara curva al haz: LSA −0,857 mm, mancha 220 µm. Al revés: −3,458 mm y 914 µm (×4,04 y ×4,15). Best form: −0,791 mm y 203 µm, sólo un 8 % mejor que la bien puesta. Airy a f/4: 5,37 µm — la best form no llega al límite de difracción hasta f/9,8	art. 04
Número de Abbe	V_d = (n_d−1)/(n_F−n_C) con d 587,6 · F 486,1 · C 656,3 nm. Desde Sellmeier: N-BK7 64,17 · F2 36,37 · N-SF11 25,68. Corona si V > 50, flint si V < 50	art. 04
Cromática de un singlete	Δf_FC ≈ −f/V (la exacta lleva (n_F−1)(n_C−1) y difiere un 0,6 %). BK7 de 100 mm: −1,549 mm entre F y C, −2,358 mm de g a C = 10 profundidades de foco a f/4	art. 04
Doblete acromático	P₁ = P·V₁/(V₁−V₂), P₂ = −P·V₂/(V₁−V₂). BK7+F2 de 100 mm: f₁ = +43,33 y f₂ = −76,45 mm. Ambos MÁS potentes que el conjunto	art. 04
Espectro secundario	Lo que queda tras igualar F y C. BK7+F2 de 100 mm: 0,050 mm = f/2002 (31 veces mejor que el singlete; 13,7 veces en el rango g→C). Depende de las dispersiones PARCIALES, no de V: por eso hacen falta fluorita o ED para bajarlo	art. 04
Cromática lateral	Δh/h = Δf/f = 1/V. Singlete de 100 mm en la esquina de formato completo (21,63 mm): 335 µm = 56 píxeles de un 24 Mpx. Doblete: 10,8 µm = 1,8 píxeles. Se corrige por software (es un reescalado); la longitudinal, no	art. 04
Zernike	Base ortonormal en el disco unidad: ⟨Z_iZ_j⟩ = δ_ij. Desenfoque √3(2ρ²−1) · astigmatismo √6ρ²cos2φ · coma √8(3ρ³−2ρ)cosφ · esférica √5(6ρ⁴−6ρ²+1). RMS = √(Σc_i²), sin términos cruzados	art. 04
Equilibrado	1 onda de ρ⁴ tiene RMS 0,2981 λ; con W₀₂₀ = −1 onda de desenfoque baja a 1/(6√5) = 0,0745 λ, exactamente 4 veces menos. Es «mover el sensor», no rehacer la lente	art. 04
Strehl y límite de difracción	S ≈ exp[−(2πσ)²] (Maréchal, válida hasta σ ≈ 0,1 λ). σ = λ/14 → S = 0,818. λ/4 pico-valle de desenfoque = λ/13,9 RMS → S = 0,814: los dos criterios clásicos son el MISMO	art. 04
El ojo con esta vara	Pupila de 6 mm: RMS de alto orden 0,2–0,3 µm = 0,455 λ (fuera del rango de Maréchal). Pupila de 3 mm: ~0,06 µm = 0,109 λ, S ≈ 0,63. Y el muestreo por delante de la óptica: cono de 2,5 µm = 23,2″ contra 69,2″ de Rayleigh con pupila de 2 mm	art. 04 · art. 02, ej. 3