La hoja de problemas · Óptica geométrica

Un relé simétrico de dos lentes iguales, $f_1 = f_2 = 50$ mm, con el objeto 100 mm delante de L₁, las lentes separadas 200 mm y la imagen 100 mm detrás de L₂. Las dos lentes son de 25 mm de diámetro y el objeto mide 20 mm de alto. (a) Calcula la matriz de objeto a imagen y comprueba que hay imagen y con qué aumento. (b) Ahora coloca una tercera lente, de focal $f_c$ cualquiera, exactamente en el plano de la imagen intermedia, y demuestra con álgebra —no con números— que A y B de la matriz total no cambian para ningún $f_c$. Di qué elemento sí cambia y cuánto. (c) Elige el $f_c$ que forme la imagen de L₁ justo sobre L₂. (d) Traza el rayo que sale del borde del objeto hacia el centro de L₁ y calcula a qué altura llega a L₂ sin la tercera lente y con ella. ¿Qué parte del objeto se ve en cada caso, y por qué esa lente que «no hace nada» es imprescindible?

Un menisco de N-BK7 ($n = 1{,}51680$) con $R_1 = +50{,}0$ mm, $R_2 = +44{,}0$ mm y $t = 6{,}0$ mm — es decir, las dos superficies comparten centro de curvatura. Es el corrector de un Maksutov. (a) Calcula su matriz de vértice a vértice, la focal efectiva y el BFL. (b) Localiza H y H′ y di, en una frase, dónde caen respecto del vidrio. (c) Compara la focal con la que da la fórmula del constructor de lentes sin el término del espesor, y explica por qué el error es tan grande en un menisco y tan pequeño en la biconvexa del artículo 02. (d) El taller entrega la pieza con 0,2 mm de más de espesor. ¿Cuánto cambia la focal? Compara ese porcentaje con el que produce la misma tolerancia en la biconvexa ±50 mm de 5 mm del artículo 02, y di qué le dirías al taller.

Un microscopio moderno es un objetivo corregido a infinito de $f_{ob} = 2{,}0$ mm y NA 0,75, una distancia $d$ de aire y una lente de tubo de $f_{tl} = 200$ mm; el objeto está en el plano focal anterior del objetivo y la cámara en el focal posterior del tubo. (a) Multiplica las cinco matrices dejando $d$ como símbolo y demuestra que la posición de la imagen y el aumento no dependen de $d$. ¿Qué elemento sí depende, y para qué $d$ se anula? (b) La pupila del objetivo mide $2f_{ob}\mathrm{NA}$ y el número de campo del ocular es 22 mm. Calcula el ángulo con el que viaja por el espacio de infinito el haz que viene del borde del campo, y la semialtura que ocupa a distancia $d$. Si la lente de tubo tiene 11 mm de semiabertura útil, ¿cuál es la $d$ máxima? (c) Se mete un filtro de 5,0 mm de N-BK7 en el espacio de infinito, sin mover nada. Demuestra con la matriz que no pasa absolutamente nada. (d) El mismo filtro, en el haz convergente de un microscopio de tubo finito: calcula el desplazamiento del foco y compáralo con la profundidad de foco del lado imagen, $\lambda/\mathrm{NA}'^2$ con $\mathrm{NA}' = \mathrm{NA}/|m|$, para un 100×/0,75 y para un 10×/0,25. ¿Cuál de los dos se estropea, y esperabas ése?

Una cámara industrial fija lee un Data Matrix de módulo 0,25 mm en cajas que pasan por una cinta. Sensor de píxel 3,45 µm, objetivo de 25 mm, y las cajas son de alturas distintas: la distancia de trabajo va de 700 a 1300 mm. El integrador pide dos cosas: al menos 2 píxeles por módulo y que todo ese rango salga nítido con $c = 2$ píxeles. (a) Antes de tocar la profundidad de campo: ¿a qué distancia máxima se cumple el muestreo? Renegocia el rango con ese número. (b) Para el rango que ha sobrevivido, calcula a qué distancia hay que enfocar y qué número f exige la fórmula de la profundidad de campo. (c) Calcula el disco de Airy a ese número f y compáralo con $c$. Después halla el $N$ que maximiza de verdad la profundidad de campo con $c_{\text{ef}} = \sqrt{c^2 - d_{\text{Airy}}^2}$, y el rango que se consigue con él. (d) ¿Qué focal daría el rango pedido, y qué tamaño tendría entonces el módulo en el sensor? Cierra el problema diciendo qué hace un lector comercial de verdad.

Un newtoniano barato de 200 mm f/5 lleva el espejo esférico en vez de parabólico. (a) La diferencia de sagita entre esfera y paraboloide es $y^4/8R^3$, y en reflexión el frente de onda se lleva el doble. Calcula el coeficiente de esférica $W_{040}$ en ondas a 550 nm, y cuántas veces está por encima del límite de Rayleigh (1 onda de $\rho^4$). (b) Pásalo a RMS con el equilibrado de desenfoque del artículo 04 y aplica Maréchal. ¿Te crees el número? (c) Se le pone delante una máscara que deja libre un diámetro $D'$. Escribe cómo escalan con $D'$ el RMS y la irradiancia de pico de la PSF —que va como $S\,D'^4$— y maximiza el producto: obtén $D'$, el RMS y el Strehl en el óptimo, y qué fracción de la luz se tira. (d) Demuestra que el RMS del óptimo no depende de lo malo que sea el espejo y deduce por debajo de qué calidad no hay que enmascarar nunca. (e) Compara el telescopio enmascarado, el sin enmascarar y un refractor perfecto de 100 mm, en pico y en resolución de Rayleigh. De los tres Strehl que has calculado, ¿cuáles te crees?

Una cámara estenopeica: un agujero de diámetro $d$ a $L = 100$ mm de la película, sin lente ninguna. (a) La óptica geométrica de este curso predice que la mancha de un punto lejano es el propio agujero, y por tanto que cerrar siempre mejora. Escribe la mancha de difracción que le añade el disco de Airy a distancia $L$, súmalas en cuadratura y minimiza: obtén $d_{\text{opt}}$, la mancha resultante y el número f equivalente. (b) Compara tu constante con el 1,56 empírico que dan los manuales de estenopeica. Calcula la resolución angular y compárala con el minuto de arco del ojo. (c) Repite con una cámara oscura de habitación, $L = 3$ m, y deduce cómo escala la resolución angular con $L$: ¿por qué las cámaras oscuras del Renacimiento eran salas y no cajas? (d) Calcula el número de Fresnel $a^2/\lambda L$ del agujero óptimo en los dos casos y di qué significa que salga lo que sale. (e) Si en lugar de tapar se pone una placa zonal (Fourier 02c) que enfoque a esa misma $L$, ¿qué diámetro haría falta para mejorar diez veces la mancha de (a), y cuántas zonas son?