La hoja de problemas · Plasmónica

Dificultad ●○○–●●●, pistas sin soluciones cerradas. La brújula de este curso son cuatro confusiones que cuestan órdenes de magnitud, no porcentajes. Una: en plasmónica se trabaja con $\varepsilon$ , no con $n$ . La permitividad del medio que rodea la partícula es $\varepsilon_m = n_m^2$ , así que la condición de resonancia en agua es Re ε = −2 × 1,77 = −3,54 y no −2 × 1,33. Meter el índice donde va la permitividad desplaza la resonancia decenas de nanómetros y no produce ningún síntoma. Dos: distingue $|E/E_0|$ de $|E/E_0|^2$ en cada frase. Con la regla del $E$ a la cuarta, un factor 2 confundido en el campo son 16 en la señal SERS, y la literatura usa las dos notaciones sin avisar. Tres: el realce de la esfera aislada —41 con oro medido en agua— es en intensidad, en el polo y en la superficie; a un radio de distancia queda 2,5. El campo cercano no decae, se desploma. Cuatro: el parámetro de tamaño se mide con la $k$ del medio, $x = 2\pi n_m a/\lambda$ , y una partícula que en aire todavía es cuasiestática puede dejar de serlo en agua.

Necesitas: el curso 03 completo. El problema 1 exige el modelo de Drude del artículo 01 llevado hasta el final —hay que calcular

\omega_p

, no citarlo—; el 2 usa el factor de depolarización del mismo artículo; el 3 y el 4 la polarizabilidad y el campo cercano del artículo 02 junto con la regla del

E

a la cuarta del 03; el 6 retoma el plasmon ruler del artículo 03. El problema 5 se apoya además en las ecuaciones de Fresnel y en la reflexión total interna del curso 02, artículo 02, y el 4 en la elección de método del curso 02, artículo 07.

Problema 1 ●○○ · La frecuencia de plasma, contando electrones

El artículo 01 dedujo $\omega_p = \sqrt{ne^2/\varepsilon_0 m}$ y luego citó una cifra sin calcularla. Calcúlala. El oro tiene densidad 19 320 kg/m³ y masa molar 196,97 g/mol, y aporta un electrón de conducción por átomo. (a) Halla $n$ , $\omega_p$ , $\hbar\omega_p$ en electronvoltios y la longitud de onda correspondiente. El artículo 01 maneja dos números, 137 nm y 432 nm, y avisa de que no son lo mismo: di cuál de los dos acabas de calcular, cuál marca de verdad la frontera metal-dieléctrico y qué separa a uno del otro. (b) Repite con la plata (10 490 kg/m³, 107,87 g/mol) y compara. (c) Si el resultado de (b) te sorprende, explica entonces por qué el oro y la plata se ven de colores distintos y por qué la plata da resonancias más estrechas.

Pista

$n = \rho N_A/M$ con un electrón por átomo; ese $n$ va en $\omega_p$ , y de ahí a electronvoltios con $\hbar$ .

Ojo: $\omega_p$ sale en rad/s, así que $\lambda_p = 2\pi c/\omega_p$ ; con $c/\omega_p$ pierdes el $2\pi$ y queda una λ seis veces menor, todavía plausible.

Cruza por el otro camino: $hc/(\hbar\omega_p)$ con $hc$ = 1240 eV·nm tiene que dar el mismo número.

Problema 2 ●○○ · Estirar una nanopartícula hasta la ventana biológica

El artículo 01 dedujo que el denominador de la polarizabilidad de una forma cualquiera es $\varepsilon + [(1-L)/L]\,\varepsilon_m$ , con $L$ el factor de depolarización, y ahí se detuvo. Sigue tú. Para un esferoide prolato —un nanorod— de relación de aspecto $R$ , el factor a lo largo del eje largo vale 0,333 ( $R$ = 1), 0,174 (2), 0,109 (3), 0,0754 (4) y 0,0558 (5). Usa el modelo de Drude para el oro del artículo 01, con $\hbar\omega_p$ = 9,01 eV y $\varepsilon_\infty$ = 9,84, y toma agua como medio. (a) Deduce una expresión para $\lambda_{\text{res}}$ en función de $L$ . (b) Tabúlala para las cinco relaciones de aspecto. (c) ¿Qué relación de aspecto pone la resonancia longitudinal en la ventana biológica de 700–900 nm? (d) Compara la fila de la esfera con el valor medido, ~530 nm, y explica la discrepancia.

Pista

Anula el denominador: Re ε $= -K\varepsilon_m$ con $K = (1-L)/L$ , mete el Drude $\varepsilon_\infty - \omega_p^2/\omega^2$ y despeja.

Ojo: $K$ es $(1-L)/L$ , no $L$ ; invertidos, la resonancia se iría al azul al estirar — al revés que un nanorod.

Comprueba con $L$ = 1/3: la condición tiene que reducirse a Re ε $= -2\varepsilon_m$ , la del artículo 02. Y de $R$ = 1 a 5, $K$ se multiplica por 8,5 pero $\lambda$ va como $1/\sqrt{\varepsilon_\infty + K\varepsilon_m}$ : no llega a duplicarse.

Problema 3 ●●○ · Cocer un tumor con una esfera de cincuenta nanómetros

Este problema recupera la nanoesfera de oro de $a$ = 25 nm del artículo 02, ahora en agua y con datos reales: a 517 nm su permitividad es $\varepsilon$ = −4,65 + 2,14 $i$ (Johnson y Christy, 1972). Ojo a ese dato, porque no es el que da el modelo: el Drude del artículo 01 pone ahí Im $\varepsilon$ = 0,41, cinco veces menos, y de esa diferencia sale el factor 18 con el que el modelo infla el campo cercano del oro. Aquí se trabaja con lo medido. (a) Calcula el factor de Clausius-Mossotti, la polarizabilidad y la sección eficaz de absorción $C_{\text{abs}} = k\,\text{Im}\,\alpha$ , con $k$ la del medio. ¿Cuánto vale respecto a la sección geométrica? (b) Calcula también $C_{\text{sca}} = (k^4/6\pi)|\alpha|^2$ . ¿Esta partícula absorbe o dispersa? (c) Iluminada con 1 mW/µm², ¿cuánta potencia absorbe, y qué salto de temperatura produce en su superficie si el agua conduce el calor con $k$ = 0,6 W/(m·K) y el régimen estacionario da $\Delta T = P/(4\pi k a)$ ? (d) ¿Qué intensidad basta para hipertermia, es decir para subir 8 K sobre los 37 °C del cuerpo? ¿Y hasta dónde llega el calentamiento?

Pista

Clausius-Mossotti, $\alpha = 4\pi a^3\,\text{CM}$ , y de ahí las dos secciones; luego $P = C_{\text{abs}}I$ y la $\Delta T$ del enunciado.

Ojo: la $k$ de las secciones es la del medio, $2\pi n_m/\lambda$ ; en $C_{\text{sca}}$ va a la cuarta, así que el error se multiplica por $n_m^4$ .

Comprueba el factor CM en los límites: cero cuando $\varepsilon = \varepsilon_m$ y 1 cuando $\varepsilon \to \infty$ .

Problema 4 ●●○ · Leer al revés un factor SERS medido

Un sustrato SERS de dímeros de oro da, sobre una banda conocida, un factor de amplificación medido de 3 × 10⁷. (a) ¿Qué campo local implica ese número, en $|E/E_0|^2$ y en $|E/E_0|$ ? (b) Compáralo con el polo de la esfera aislada del artículo 02: ¿cuánto más intenso es el gap, y cuánta más señal SERS da? (c) Se intercala entre la molécula y el metal un espaciador de 1 nm para evitar que el analito se degrade. Estima la pérdida de señal con la ley $(a/r)^{12}$ de la esfera aislada, y después explica por qué esa estimación está mal y qué escala es la correcta. (d) En un sustrato real, sólo el 1 % de las moléculas cae en un punto caliente y el 99 % restante ve un factor de 10⁴. ¿Qué fracción de la señal medida producen las del 1 %? ¿Qué consecuencia tiene eso para cuantificar por SERS?

Pista

Invierte la regla del $E$ a la cuarta: la intensidad local es $\sqrt{\text{EF}}$ y el campo, su raíz otra vez. En (d), pondera cada población por su factor.

Ojo: en $(a/r)^{12}$ la $r$ se mide desde el centro de la esfera: 1 nm de espaciador es $r = a+1$ , no $r$ = 1.

Comprueba (a): el campo tiene que ser la raíz cuarta del factor medido; si no, has aplicado la regla dos veces o ninguna.

Problema 5 ●●● · El prisma que engaña al cono de luz

El artículo 01 presentó el SPP y dejó dicho que no se puede excitar con luz porque su constante de propagación cumple $\beta > k_0$ , sin más. Ponle números. La relación de dispersión de un plasmón en la interfaz plana entre un metal ( $\varepsilon_M$ ) y un dieléctrico ( $\varepsilon_d$ ) es $\beta = k_0\sqrt{\varepsilon_M\varepsilon_d/(\varepsilon_M+\varepsilon_d)}$ . Toma plata a 633 nm, con $\varepsilon_M$ = −15,90 + 1,08 $i$ . (a) Calcula $\beta/k_0$ con aire y demuestra que ninguna onda que venga del aire puede acoplarse. (b) En la configuración de Kretschmann la luz llega desde un prisma de $n_p$ = 1,515 a través de una película metálica fina. ¿A qué ángulo resuena? Compáralo con el ángulo crítico vidrio-aire. (c) Repite con agua sobre el metal, que es el caso de un biosensor, y calcula la sensibilidad angular en grados por unidad de índice. (d) ¿Por qué la película tiene que ser fina, y qué pasa si es demasiado fina o demasiado gruesa?

Pista

Quédate con la parte real de $\varepsilon_M$ , evalúa $\beta/k_0$ y usa que el prisma multiplica el momento: resuena donde $n_p\sin\theta = \beta/k_0$ .

Ojo: ahí va $\varepsilon_d$ , no el índice — con agua, 1,77 y no 1,33; en (a) el error no se nota porque $1^2 = 1$ .

Comprueba que la resonancia cae por encima del ángulo crítico del mismo par de medios; si sale por debajo, has perdido el $n_p$ .

Problema 6 ●●● · Dónde deja de valer todo lo anterior

Un dímero de nanoesferas de oro de 60 nm de diámetro se va cerrando con un manipulador y se sigue el pico de extinción. (a) Usa el plasmon ruler del artículo 03, con $A$ = 0,15 y $\lambda_0$ = 520 nm, para predecir el desplazamiento al rojo con separaciones de 2, 1, 0,5 y 0,3 nm. ¿Qué predice el modelo clásico al cerrar del todo? (b) El experimento no hace eso: por debajo de unos 0,4 nm el desplazamiento se satura, se invierte y aparece un pico nuevo al azul. Estima con la aproximación WKB dónde empieza a importar el efecto túnel, sabiendo que la función de trabajo del oro es 5 eV y que la transmisión va como $e^{-2\kappa g}$ con $\kappa = \sqrt{2m\phi}/\hbar$ . (c) ¿Por qué la aparición de una corriente de túnel destruye el punto caliente? (d) ¿Qué herramienta de las del curso 02 puede tratar esto, y cuál no?

Pista

Evalúa $\Delta\lambda/\lambda_0 = Ae^{-g/(0{,}2D)}$ en las cuatro separaciones; en (b), $\kappa = \sqrt{2m\phi}/\hbar$ y la transmisión $e^{-2\kappa g}$ .

Ojo: $D$ es el diámetro, y el exponente lleva un 2: la transmisión decae con $1/(2\kappa)$ , no $1/\kappa$ .

Comprueba (a): con $g$ mucho menor que $0{,}2D$ la exponencial es casi plana, así que los cuatro desplazamientos tienen que salirte parecidos.

Fin del curso 03. Con esto la plasmónica queda operativa de principio a fin: sabes de dónde sale la permitividad negativa contando electrones, cómo la forma mueve la resonancia a donde te haga falta, cuánto campo hay en la superficie y a qué velocidad se desploma, cuánta luz absorbe una partícula y cuántos grados sube el agua a su alrededor, qué campo hay detrás de un factor SERS medido, cómo se acopla un plasmón que la luz no puede alcanzar, y —lo que más cuesta— dónde deja de valer el modelo clásico entero.

Lo que queda pendiente, dicho claro: aquí no hay guiado plasmónico propiamente dicho (guías de rendija, de hueco, cadenas de partículas), ni metasuperficies, ni el compromiso confinamiento-pérdidas que decide si la plasmónica sirve para hacer circuitos —y la respuesta corta, hoy, es que no del todo—. Tampoco están los materiales alternativos, los nitruros y los óxidos conductores transparentes, que buscan pérdidas menores en el infrarrojo.

Y hay un hilo que este curso ha ido dejando suelto a propósito. Aquí la luz se ha concentrado: en un polo, en un gap, en una punta, siempre quieta y siempre pagando pérdidas óhmicas. La otra mitad del problema es transportarla sin perderla, y para eso hacen falta dieléctricos, no metales. El curso 04, Guías de onda, construye esa mitad: por qué la luz se queda dentro de un núcleo de índice alto, qué formas discretas puede tomar dentro —los modos—, cómo se dimensiona una fibra de verdad y cómo se pasa luz de una guía a otra sin tocarla. Cuando llegues al acoplamiento evanescente entre dos guías, vuelve al problema 5 de esta hoja: es la misma cola de onda que se apaga fuera de su medio y que, con el espesor justo, entrega su energía al otro lado. El acoplamiento crítico con ese nombre reaparece más tarde, en el anillo resonador del curso 07, artículo 04, cuando haya que volver a igualar dos pérdidas.